Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf

Производная f'(x) функции f(x) есть тоже некоторая функ­ ция от х (см. гл. I, § 3). Дифференцируя ее, получим новую функцию, которая называется второй производной, или про­ изводной второго порядка, и обозначается через у" или f"(x).

В связи с этим производная f'(x) называется первой произ­ водной, или производной первого порядка. Дифференцируя вторую производную, получим третью производную у"' или f"'(x). Продолжая дифференцирование подобным же обра­ зом, получим производную любого п-го порядка, или и-ую производную г/(л) или /<л) (х).

Например, для степенной функции

У = хп

имеем:

у' = пхп~г, у" — п(п—1)хл2 , . .

Для логарифмической функции

у = 1пх

имеем:

Для показательной функции

У = ех

имеем

у№ = ех.

Если же

У = еах,

то

у№ = апеах.

Для функции

у = sin х

имеем:

у = cosx, у" =— sinx, у'" = — cosx, r/IV=sinx, z/'v= cosx,...,

т. e. последовательные производные образуют периодический ряд с периодом 4, так что для любого п

2/(4z!) = sinx, г/(4л+1> = cos х, т/(4л+2) =_ sinx, у^+Ъ= - cos ж.

функций равна сумме производных того же порядка от сла­

гаемых функций.

у'' — uv" -ф 2u'v' -f- u"v,

у'" = uv'" + 3u'v" + 3u"v' + u'"v.

Таким образом, чтобы составить производную n-го поряд­ ка произведения uv, надо (u-\-v)n разложить по формуле би­ нома и в полученном разложении заменить показатели сте­ пеней у и и v указателями порядка производных, причем ну­ левые степени (и° = о°= Г), входящие в крайние члены раз­ ложения, заменить самими функциями.

Это правило называется правилом Лейбница.

Производные высших порядков служат для определения

важных понятий математики и механики и для более полного исследования функций.

В частности, вторая производная имеет определенный ме­ ханический смысл.

Рассмотрим прямолинейное движение точки

точки прямой.

Дифференцируя рассматриваемую функцию по t, получим скорость движения

(см. гл. I, § 1).

Вторая производная пути х по времени t представляет

Отношение характеризует быстроту изменения скоро­

сти за.промежуток времени Д/ и дает среднее ускорение пря­ молинейного движения за этот промежуток времени; предел

V~~~dt’ W ~~~dF~dF •

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Перейдем теперь к выяснению второго основного понятия дифференциального исчисления — понятия дифференциала функции. Это понятие тесным образом связано с понятием производной.

Если

У = Кх),

то

=/'(*)«

Дх-»0

причем производная fr(x), как предел, есть постоян­ ное число при данном значении независимой переменной.

где а — бесконечно малая величина.

Относительно знака величины а можно сказать, что если

убывая, то а[>0; если же

возрастая, то а<0. Относительно же абсолютного значения величины а ясно, что при стремлении Ах к нулю величина а также стремится к нулю, т. е. все время уменьшается одно­ временно с Ах.

$ И Дифференциал функции 63

Вычисления располагаются в следующей таблице.

Из этой таблицы мы видим, что первое слагаемое f'(x)&x суммы (2) при уменьшении приращения Ах уменьшается во столько же раз, во сколько уменьшается само Ах. Второе же слагаемое аАх при уменьшении Ах уменьшается в большее число раз по сравнению с уменьшением Ах. Действительно,

первое слагаемое есть бесконечно малая величина первого порядка относительно Ах, так как отношение /'(х)Ах к Ах есть постоянное.число, отличное от нуля. Второе же слагае­

мое являетсй бесконечно малой величиной высшего по­ рядка по отношению к Ах, так как отношение аАх к Ах,

равное а, стремится к нулю вместе с Ах.

Так как Ах -> 0, то все с большим и большим основанием мы можем взять

Ar/ — f'(x)Ax.

Действительно, второе слагаемое аАх по сравнению с пер­ вым /'(х)Ах составляет ничтожную долю процента, которая становится все меньше и меньше по мере того, как Ах^- 0.

Таким образом, мы приходим к заключению, что первое слагаемое f'(x)Ax играет значительно большую роль, чем второе слагаемое. Оно является главной частью прира­ щения функции и носит название дифференциала функции. Дифференциал функции обозначается знаком dy («дэ игрек»), т. е. постановкой буквы d перед рассматривае­ мой функцией. Таким образом,

Отсюда видно, что дифференциал функции является функ­

цией двух переменных — величины х и ее приращения Ах;

значения этих двух переменных не связаны между собой и могут быть выбраны независимо друг от друга; по отноше­ нию к переменной Ах дифференциал dy есть линейная функ­ ция.

Для выяснения дифференциала независимой переменной заметим, что равенство (3) имеет место для всякой функции.

т. е. приращение независимой переменной и ее дифференциал

совпадают между собой.

Поэтому, равенство (3) может быть написано в виде

Таким образом, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифферен­ циал независимой переменной.

т. е. производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. В то время как раньше мы рассматривали обозначение производной

dy dx

как простой знак, представляющий единое целое, теперь мы имеем основание рассматривать это обозначение как настоя­ щую дробь, числителем которой является дифференциал функции, а знаменателем — дифференциал независимой пе­ ременной. Представление производной в виде отношения дифференциалов оказывается очень полезным во многих

вопросах анализа.

Так как в общем случае

Г(х) ¥= О,

то

dy — f' (*) dx

■есть бесконечно малая величина первого порядка относи­

тельно dx. Но тогда adx есть бесконечно малая величина высшего порядка, и значит бесконечно малое приращение Ду

'функции и ее дифференциал dy являются эквивалентными