Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 85
Скачиваний: 0
32 Дифференцирование функций [гл. III
Применяя формулу производной степени с целым положи тельным показателем и правило дифференцирования сложной
функции, |
находим |
„ , |
dy |
|
|
„ |
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Откуда |
|
dy |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
up |
1 du |
|
|
|||
|
|
dx |
|
q |
yt>~1 dx ’ |
|
|
||
или, подставляя вместо у его выражение через и, имеем |
|||||||||
р_ |
|
ир du |
__ |
р ^p-i-p+£-du _ р л10.-Т~лЛи |
|||||
d(uq) _ р |
|||||||||
dx |
q |
dx |
q |
|
|
|
dx |
q |
dx ’ |
|
и 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
■что совпадает с формулой (1), если заменить |
через п. |
||||||||
Итак, |
при всяком рациональном показателе |
|
|||||||
|
|
d (ип) |
|
„ |
, |
du |
|
|
|
|
|
\ |
' = |
пи" |
‘-у- . |
|
|
||
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|
||
В частности, если |
|
и = х, |
|
|
|
|
|||
то |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d (xn) |
|
|
„ . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
(2) |
||||
|
|
dx |
■ = nxn~', |
|
|||||
|
|
|
|
|
’ |
|
|
||
т. е. производная |
степени хп |
равна показателю степени п, |
|||||||
умноженному на степень х с |
показателем, на |
единицу мень |
|||||||
шим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из формулы (2) при п—1 получим (х)'=1, |
|||||||||
|
|
при п — 0 получим |
(х°)' = 0, |
||||||
|
|
при п — —1 получим (х~1У =— |
|||||||
Подобным же образом |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
л у |
ди |
|
т. е. производная квадратного корня равна единице, деленной на удвоенный квадратный корень (см. гл. I, § 4).
Вообще,
§ 1] |
Дифференцирование степенной функции |
33 |
Примеры. 1. Определить наклон касательных к кривым,
у= х2, у=У х,
вточках пересечения этих кривых (черт. 8).
Черт. 8
Решая уравнения совместно, находим точки пересечения кривых (0; 0) и (+1; +1). Подставляя значения х в форму лы производных, получаем тангенсы углов наклона касатель ных:
tg di = 0, tg а2 = оо , tg а3 = 2, tg а4 = .
2. Найти уравнения касательной и нормали к кривой,
#= (х—1) (х —2) (х —3), (*)
в точках пересечения этой кривой с осью абсцисс (черт. 9).
3
34 |
Дифференцирование функций |
[гл. Ш |
Найдем сначала точки пересечения кривой с осью ОХ. Для этого надо совместно решить уравнение (*) с уравнением оси абсцисс г/ = 0. Имеем
0= (х— 1) (х — 2) (х — 3),
откуда находятся три точки, абсциссы которых |
|
||
Х1 = Д-1, Х2=z |
х3 = Д-З. |
|
|
Для определения касательной и нормали к кривой в этих |
|||
точках надо найти производную от |
функции |
(*); |
для этого |
|
уравнение |
(*) |
представим |
в виде:
у = х3 — 6х2 Д- Их — 6.
Откуда
^L=3X2— 12хД- 11 = CLOD
= f'M.
Подставляя найденные
значения абсцисс, имеем
/'(+1)=+2, Г(+2)=-1, Г (4-3)= 4-2.
Следовательно, уравнения касательной будут [см. гл. I, (8)]:
1)у = 2х—2,
2)у-—х-\-2,
3)у = 2х — 6;
уравнения нормали будут [см. гл. I, (9)]:
1)хД-2г/—1=0,
2)х — у — 2 = 0,
3)х Д- 2у — 3 = 0.
§2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Пусть
?/=log„£.
0<[х<[Д-оо).
Давая независимой переменной х приращение Дх, получим
г/Д- Ду= loga (х Д-Дх).
§ 2] Дифференцирование логарифмической функции 35.
Следовательно,
АУ = log а (х + Ах) — loga х = loga |
|
= logjl + |
|
• |
|||
|
|
\ |
viz |
f |
\ |
«А/ |
/ |
Составим отношение Ау к Ах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
. |
Дж\ |
|
|
|
|
|
_ 1°g41 + |
^) |
|
|
|
|
|
|
Дж |
Дж |
|
|
|
|
|
Положим здесь — = а, откуда Ах = ха; |
при этом ясно, |
что |
|||||
если Ах ->0, то и а ->0. Имеем |
|
|
|
|
|
||
Ак = м.(1+») =2_ ! ц+а)4 |
|
|
|||||
Дж |
Жа |
Ж |
Ьа 4 |
1 |
' |
|
|
Переходим к пределу: |
1 |
|
|
j_ |
|
|
|
= |
|
|
|
> |
|
||
|
=^1°gJIim(1 +а)в |
|
|||||
Дх-0 Л |
а-0 |
|
Х |
L а-0 |
|
|
|
ИЛИ |
d (10ga |
|
|
|
|
|
|
|
“log«C |
|
|
|
(3) |
||
|
dx |
|
|
|
|||
т. е. производная произвольного логарифма х равна—, умно
женной на модуль рассматриваемой системы логарифмов. |
|
|
Если а = е, то logee= 1, и, |
следовательно, |
|
d In х |
1 |
(4) |
'dx |
х ’ |
|
т. е. производная натурального логарифма независимой пере менной х равна обратной величине независимой переменной.
Наконец, если
у = In и,
то
d In и |
1 |
du |
, . |
dx |
и |
dx ’ |
' ' |
или
d In и |
и’ |
, |
dx |
и ' |
' ' |
Таким образом, в случае натуральных логарифмов фор
мула производной оказывается наиболее простой. Это и яв ляется основанием того, что в теоретических исследованиях
предпочитают натуральные логарифмы. 3*
36 |
Дифференцирование функций |
[гл. III |
|
Отношение производной любой данной |
функции к самой |
функции называется логарифмической производной данной функции.
Из (6) видно, |
что логарифмическая производная |
|
|
|
dlnf(x) _ f (х) , , |
' |
|
|
dx |
f(x) |
|
есть производная |
натурального |
логарифма функции, |
когда |
последняя >■ 0.
Логарифмическая производная дает возможность очень
легко находить производные функций. |
Обозначим логариф- |
||||
мическую |
производную |
Г М |
через |
V |
е. пусть |
|
У; т. |
||||
|
|
ГМ |
= У. |
|
|
|
|
ГМ |
|
|
|
Тогда производная будет равна
Отсюда следует, что для отыскания производной надо проло гарифмировать функцию, найти логарифмическую производ ную и умножить последнюю на данную функцию.
Найдем производную степенной функции |
|
|
|
= |
(*) |
где п — какое угодно число. |
равенства (*), |
получим |
Логарифмируя обе части |
||
In I у |= п In | х|. |
|
|
Дифференцируя левую и |
правую части |
этого равенства, |
имеем |
|
|
(1пМ)'=-у> (и1п|ж| )' = — ■
Следовательно,
у’ _
Ух
Откуда
У = У — = Хп• — = пхп~х .
Таким образом, формула (1) верна при каком угодно по казателе п.
Формула
dlnx |
1 |
. |
|
(4 |
bls) |
§ 2] Дифференцирование логарифмической функции 37
показывает, что скорость изменения логарифма данного числа обратно пропорциональна этому числу; т. е. логарифмическая кривая
|
|
|
у — In х |
|
(черт. 10) имеет |
в |
точке х=1 наклон, равный 1, в точке |
||
о |
1 |
у, |
о |
1 |
х = 2 — |
наклон |
в точке х = |
3 — наклон-g- и так далее. |
|
Таким образом, |
при |
возрастании |
переменной х скорость из |
|
менения функции 1пх убывает, стремясь к нулю.
Примеры. |
1. |
Продифференцировать функцию |
|
||||||||
Эту |
сложную |
|
функцию |
можно |
|
разложить в цепь из трех |
|||||
звеньев: |
|
|
у — In w; и —У V, V— * |
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким |
образом, |
для |
отыскания производной от |
у надо |
|||||||
взять |
производную |
|
, |
|
л Г1 4- х |
|
|||||
от логарифма |
и — у |
1 |
, умножить ее |
||||||||
на производную от квадратного корня из |
1 |
4-х |
произ- |
||||||||
} |
_ - и на |
||||||||||
водную от дроби } |
. |
Это разложение |
в |
цепь делается в |
|||||||
уме; |
запись же производится непосредственно в следующем |
||||||||||
виде: |
dy _ |
|
|
1____________ 1 |
. |
(1-х)-1-(1+х)(-1) |
|
||||
|
|
|
|
||||||||
|
dx |
-|Л 1 |
х |
l\fc l-j-x |
|
|
|
|
|
||
|
|
У |
1—х |
У Т~ |
|
|
|
|
|
||
