Файл: Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 112
Скачиваний: 0
Следовательно, будем иметь
Р (X,Y czR 2) = 1 - е~ 4 С= 0,59748.
Для решения подобных задач пользуются таблицей зна чений функции
ср(«■) = 1 —е~р2 'Д
где
р=0,47694.
Задача 2.20. Найти площадь цели, имеющей форму эллип тического кольца, если вероятность попадания в нее равна 0,35813, а уравнение меньшего эллипса выражается
x2 +4t/ 2 = 225; £ х= 1 0 м; Ру = 5 м\ т х = т у 0.
Ответ. S =628 м2.
Задача 2.21. Найти вероятность попадания в круг радиу сом R =10, если полуоси единичного эллипса а и Ь соответ
ственно равны 5 и 3 м, а центр круга совпадает с центром эллипса рассеивания.
Ответ. Р = 0,7488.
Задача 2.22. Определить вероятность попадания в круг, радиус которого г = ( Е ; 2Е\ 3Е\ 4Е ) . Центр круга совпадает с центром рассеивания.
Ответ. 0,203; 0,597; 0,870; 0,974.
Задача 2.23. Определить вероятность попадания в круг, радиус которого г=(о; 2 з;Зо). Центр круга совпадает с цент ром рассеивания.
Ответ. 0,394; 0,865; 0,950.
Задача 2.24. Определить вероятность попадания в круг,
радиус которого г =;( 10; |
20; 30; 50), при Е = 20; m 0. |
Ответ. Р = (0,06; 0,203; |
0,401; 0,759). |
в. Зак . № 5?9 |
81 |
Задача 2.25. Определить вероятность попадания в кольца, ширина которых равна Е, а середина совпадает с Е, 2Е; 3Е; 4 Е; т —0.
Ответ. |
Р = |
(0,341; |
0,358; |
0,179; |
0,052). |
|
|
|||||
Задача 2.26. Определить вероятность попадания в кольцо, |
||||||||||||
внутренний и внешний радиусы которого |
гг —15 м\- г2 — 25 м; |
|||||||||||
Е —Ъ м ; т - - 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ. |
Р = 0,126. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача |
|
2.27. |
Определить вероятность |
попадания в круг с |
||||||||
г—5 м, вписанный |
в |
кольцо, |
|
ограниченное |
радиусами |
|||||||
Tj= 1 0 |
м; г ,- 2 |
0 |
м при условии: |
|
|
|
|
|||||
1) |
Е = |
5 м; 2) £=)10 м. |
|
|
|
|
|
|||||
Ответ. |
|
1) Р = 0,0326; |
2) |
Р = 0,0349. |
|
|
||||||
Задача 2.28. Найти вероятность попадания в круг радиу |
||||||||||||
сом |
/ ’ = 1 0 |
м при эллиптическом |
законе рассеивания, если |
|||||||||
m О; а Г» м и Ь = 3 м. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ. Р = 0,7488. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача |
|
2.29. Найти радиус круга, вероятность |
попадания |
|||||||||
в который равна 0,59148, если £ = 1 0 м. |
|
|
||||||||||
Ответ, |
|
г =20 |
м. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 2.30. Найти вероятность попадания в круг радиу |
||||||||||||
сом |
г = 2 |
м, |
если центр |
круга |
смещен |
от центра |
кругового |
|||||
рассеивания |
на величину |
h = 3 |
м, |
при £ = 5 м. |
|
|||||||
Ответ. Р = 0,033.
82
2.3.Приближенное вычисление вероятности попадания
вфигуры малых размеров*
Число плоских фигур, вычисление вероятности попадания в которые, возможно с помощью таблиц или аналитически, очень мало. Поэтому на практике эти вероятности находят с помощью различных приближенных методов. Одним из таких методов являетсяопределение вероятности попадания в ма лоразмерные фигуры путем осреднения плотности вероятно сти f(x,y) в пределах ее площади.
Пусть дана малоразмерная плоская цель (фигура) про извольной формы и ориентации с площадью s и приблизи тельный центр этой фигуры с координатами х0, уо-
Вероятность попадания в s определится по общей фор муле
( 2 . 6)
S
Так как s мала, то можно допустить следующее равен ство:
f (х,у) ~ f (Л'о,//о) = const.
Тогда
(2-7)
S
Для нормального закона будем иметь
( 2 . 8)
В теории стрельбы цель (фигура) считается малой, если ее линейные размеры не превосходят половины срединного отклонения по соответ ствующему направлению.
Для кругового закона формула (2.8) принимает вид
|
|
|
|
R 2 |
Р s |
Sр‘ |
е |
Е 2 |
|
- |
Е°- |
(2.9) |
||
|
|
|
||
Второй метод заключается в следующем. Около задан ной малоразмерной -цели описывают прямоугольник со сторо нами, параллельными главным осям эллипса рассеивания
(рис. 2.3).
Рис. 2.3
Из-за малости площади s можно допустить, что вероят ность попадания в описанный прямоугольник распределена равномерно. Поэтому вероятность попадания в фигуру с площадью s0 найдется, как
P ' . ~ P S *J |
(2 -Ю) |
или
84
Задача |
2.31. |
Найти приближенное |
значение с помощью |
|||
формулы |
(2.9) |
вероятности |
попадания |
в |
круг радиусом |
|
= 30 м, |
если |
его центр смещен от центра рассеивания на |
||||
5 ж и £ = 25 м. |
Определить |
абсолютную ошибку вычисления |
||||
с помощью этого метода. |
|
|
|
|
||
Ответ. |
P s —0,0065; |
|
|
|
|
|
|
АР = 0,00006. |
|
|
|
|
|
Задача |
2.32. |
Определить |
вероятность |
попадания |
в круг |
|
радиусом |
R =0,5 м, если т ~ |
0; £ х.= £ у = |
1 м. |
Для |
решения |
|
задачи воспользоваться формулой (2.11). Найти абсолютную ошибку вычисления.
Ответ. 0,05528;
ЛР = 0,00055.
2.4.Вычисление вероятности попадания в многоугольники
больших размеров
Многоугольниками больших размеров .назовем такие, ко торые отвечают следующим требованиям:
1 . Все вершины лежат на кривой полного эллипса или за его пределами.
2. Ни одно продолжение сторон этого многоугольника не
пересакает кривую |
полного эллипса |
(рис. 2.4). |
|
|
На рис. 2.4, а фигура MNQ |
не |
является треугольником |
||
больших размеров потому, что продолжение стороны |
NQ рас |
|||
секает полный эллипс на составные части. |
|
|||
На рис. 2.4,6 |
треугольник |
MNQ полностью |
отвечает |
|
двум рассмотренным требованиям и поэтому является тре угольником больших размеров.
Идея определения вероятности попадания в треугольники больших размеров видна из рис. 2.5.
Точное значение вероятности попадания в треугольник MNQ найдется из уравнения
P n m = 1- (Pi i-Pt+Pv) I (Пх-ЬП .+П,), |
(2. 12) |
85
где р ь р% р з — вероятность попадания в заштрихованные' полуплоскости;
Г1и П% Я 3 — вероятности попадания в секторы, образо ванные пересечением сторон треугольника.
>)
о-
Рис. 2.4
Так v.a'K вершины треугольника лежат за пределами пол ного эллипса, то эти вероятности малы и ими можно препе-
бречь. Следовательно, получим приближенную формулу ве роятности попадания в треугольник больших размеров
1 (Pi 4~Рз~т~ Pi)• |
(2.13) |
Задача 2.33. Вычислить вероятность попадания в тре угольник, вершины которого имеют координаты
М (—2; - 4); N (7; 5); Q(6 ;—3); £ к=-2; £ у- 1 .
Полный эллипс имеет полуоси Д = 4 £ х и В - 4 £ у. Уравнение полного эллипса задано выражением
х2 + 4г/ 2 = 64.
Ре ш е н и е
Определим место нахождения вершин треугольника отно
сительно полного |
эллипса |
рассеивания. |
Вершина |
/V |
имеет |
|
координаты х = 7 |
и у = б, |
т. е. она |
явно |
находится |
вне эл |
|
липса. Вершина |
М имеет ординату, |
равную — 4, и |
при лю |
|||
бом значении х не может находиться внутри эллипса. Сомне
ние |
вызывает |
лишь вершина |
Q. Абсцисса точки Q равна 6 , |
||
т. е. |
выполняется условие |
|
|
|
|
|
|
— Л < |
|
х0 <Л . |
|
Подставляя |
значение xq |
|
6 в уравнение |
заданного пол |
|
ного |
эллипса |
|
|
|
|
|
|
у =0,5 |
| |
б Т Т й , |
|
получим |
|
|
|
|
|
|
уь —0,5 )■' 64 — 36 = |
2,646, т. е. uQ |
у,. |
||
вие вызывает лишь вершина Q находится вне эллипса.
Таким образом, первое условие (наличие треугольника больших размеров) осуществляется. Исследуем, выполняется ли второе условие. Для этого нужно проверить, пересекают ли продолжения сторон треугольника кривую полного эллипса.
87
Такая проверка осуществляется просто, а именно, если обе части абсциссы (или ординаты) точек пересечения прямой с кривой эллипса заключены между абсциссами (или ордина тами) концов заданного отрезка АВ, то его продолжение не может пересечь кривую эллипса.
Уравнения прямых, являющихся сторонами треугольника и проходящих через заданные точки, будут следующие:
для MN у — х —2 ;
для MQ у —0,125х—3,75;
для NQ у = 8 * —51.
Решая эти уравнения по очереди совместно с уравнением заданного эллипса
|
|
у —0,5 |/ |
64 — х \ |
|
получим |
|
|
|
|
для |
MN |
х\ = 5,087; |
х2 = — 1,887; |
|
для |
MQ |
х[' = 5,068; |
х'2'= - 1,539; |
|
для |
NQ |
Х\ =6,523; |
х2 =6,096. |
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
ХМ, |
(Xh х2)<^. -^N> |
|
|
|
• % < ( * ! , x ' 2' ) < x q , |
||
|
|
X q < ( x [ ' , |
Х 2 ' ) < Х ю |
|
то соблюдается и |
второе |
условие. Поэтому фигура MNQ |
||
является треугольником больших размеров-
