Файл: Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 101
Скачиваний: 0
I 1 оскольку
и
п -t-
TQ
f=(t-i)T(v,) + a —n-tvo,
t . e. получили формулу (6.7) |
|
|
Задача 6 .6 8 . Под углом 0 ° |
один поток самолетов |
догоняет |
другой. Скорости этих потоков соответственно равтш |
и у2, |
|
причем иг = яи2. Временные |
интервалы между самолетами |
|
для первого и второго потоков |
имеют значения ^ и |
т2. Найти |
временные интервалы между самолетами первого потока по отношению к самолетам второго потока, если п > 1 .
Р е ш е н и е
Рассуждаем так же, как и при решении задачи 6.65. Полу чим соотношения, указанные в таблице (рис. 6.4).
г
Рис. 6.4
151
Первый поток Второй поток
|
|
Т |
— - |
t |
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
7 2l =- t— |
|
Тгг — - |
|
' 2 |
||
|
|
|
п |
|
п |
|
2 "j |
|
'Р |
1 |
f |
2 т2 |
|
|
1 32— п |
1 |
п |
|||
|
|
|||||
^m l-=--(W -l)T, |
гг |
1 |
V |
("1 —1 )"2 |
||
•'m2 — п |
' |
п |
||||
|
|
|||||
Решая уравнение |
t~ - |
|
|
|
||
получим формулу, подобную формуле 6 .8 , т. е. |
||||||
1 - |
|
П- M ^ (V 2). |
|
|||
Аналогичными рассуждениями |
можно |
вывести и форму |
||||
лу (6.9). |
|
|
|
|
|
|
6.5. Приближенное вычисление интеграла вида |
||||||
|
to |
|
|
|
|
|
П = |
i f(t*)F (a t* + b)dt*. |
|||||
— со
Интеграл такого вида встречался в пункте 6.2 при вычис лении вероятности опережения позже выпущенными снаряда ми впереди идущих. Кроме того, в главе 2 (пункт 2.2) дано
несколько задач на определение вероятности попадания в треугольники различной формы и ориентации, решение кото рых можно осуществить с помощью интегралов вида
|
СО |
П = |
f(t*)F (at*-\-b )d t* |
ил и
П—IОО f (х) F (ax-f b) dx.
Эти интегралы являются вероятностями попадания в полупло скость, ограниченную прямой у = а х + Ь, и легко вычисляются с помощью таблиц функции Лапласа. При бесконечных пре делах интегралов справедливо равенство
|
00 |
|
СС |
|
1 |
f (x )F (ax + b )d x = |
~~Lr l |
|
к) |
I |
^ l' t) |
|
- Оc |
|
d |
где ; — |
направление, перпендикулярное прямой у = а х + b н |
||
а = — ■ b |
Для вычисления вероятности попадания не во всю |
||
\1 + а 2
полуплоскость, а в ограниченную ее часть данный интеграл перепишется так:
г* |
Ь |
П = \ }{х) F (ах r b)dx = |
( f (х) F(y)dx = xl (?). |
—00 |
—00 |
Для вычисления этого интеграла заменим F{y) другой функцией. В качестве такой замены используем уравнение прямой, т. е. будем считать, что в некотором интервале суще ствует приближенное равенство
153
|
|
F (jj)z z F A(y)=my-}rn, |
|
|
|
|||
|
где |
m—0,3; |
л = 0.5; |
|
, |
|
(6.14) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
— I,67<t/<1,67. |
|
|
|
|
||
Так |
как |
интегральная |
функция |
имеет |
значения: |
|||
п — со) = 0 ■ и / - ( с о )= = 1 , |
то |
аппроксимирующая |
функция |
|||||
Fк (у) |
принимает те |
же |
значения |
при |
т/=±1,67, т. е. |
|||
У=-А(—1,67) = 0 |
и FA(1,67)=1. |
|
|
|
|
|||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fk (у)-~=ту-\п, то |
|
|
|
|||
|
|
Fk (ах -\-Ь) —т(ах-(-Ь)-\-п—к х р, |
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к ~ а т и p = m b J r n. |
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-,((3) -у, (a) ^ p [ F $ ) - F |
(а)] - к [/(? ) - /(*)] . |
(6.15) |
|||||
Таким образом, получили весьма простую формулу для вы |
||||||||
числения интеграла вида |
|
|
|
|
|
|||
|
|
П = |
1 |
} (х) F (ax-j-b)dx. |
|
|
||
Задача 6.69. Найти вероятность попадания в плоскую фи |
||||||||
гуру (многоугольник), |
если координаты ее вершин имеют зна |
|||||||
чения: |
Cj(0; |
—245); С2 (—210; |
—35); |
С3(70; 105); |
С4(175; |
|||
105); зх = оу==70.
Ре ш е н и е
1.Относительно з заданные координаты имеют значения:
С,(0 ; - 3 ,5 ); С2 ( - 3; - 0 ,5 ); С3 (1; 1,5); С4 (2,5; 1,5) (рис. 6.5).
154
2. Так как аппроксимация 6.14 имеет смысл только на от
резке — 1,67 < г /< . 1,67, то интегрирование может быть прове дено в пределах
-1,67 < ах + Ь < 1,67.
Откуда |
|
|
|
|
|
|
-1,67 - |
b |
. |
. 1,67 — 6 |
В. |
|
—-------- < |
|
-V-< —------- |
||
Очевидно, что при |
|
|
|
|
|
~ 1 , 6 7 ~ |
ЕА(г/)= 0 |
и при х = ^ ~ |
FA(y) = h |
||
а |
|
|
|
а |
|
Исходя из этого, можно сформулировать правило выбора новых пределов интегрирования. Если числа N и М — задан ные нижний и верхний пределы интегрирования, a IF и Q соответственные искомые пределы, то будем иметь:
1 ) при |
Л/</4 |
W А | |
j0 ^ |
при |
Л?> Л |
W = N | |
|
155
2) при М < В |
Q = M | |
(6.17) |
|
при М' -В |
Q—B J |
||
|
|||
Кроме того, при М > В к вычисленному интегралу |
с верх |
||
ним пределом В нужно прибавить значение |
|
||
A P = F(M )--F(B). |
(6.18) |
||
3. С помощью пересчитанных относительно о координат определим все необходимые коэффициенты по формулам:
о = |
Уг - У1 . |
6 = |
г д - а х 1; |
||
хг— X, 5 |
|||||
|
|
|
|||
Л= |
- |
1.67 — 6 . о |
1,67—6 |
||
|
а |
5 |
а |
||
|
|
|
|||
|
p —mb + n] |
к —am. |
|||
В этих выражениях |
а и |
Ь — коэффициенты линейного |
|||
уравнения с учетом з. а А и В — границы, в пределах кото
рых имеем право пользоваться формулой (6.15); N и М — абсциссы концов заданного отрезка (заданные пределы инте грирования).
Сведем эти коэффициенты, а также заданные границы че тырехугольника и пределы интегрирования в таблицу.
\К о э ф .
Отрсзки^4^ |
а |
Ь |
К |
Р |
N |
м |
А |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С[ С2 |
—1 |
— 3,5 |
— 0,3 |
— 0,55 |
—3 |
0 |
—5,17 |
—1,83 |
Сг Сз |
0,5 |
1 |
0,15 |
0,8 |
— 3 |
1 |
— 5,34 |
1,34 |
Сз С4 |
0 |
1,5 |
0 |
0,95 |
1 |
2,5 |
---- СО |
СО |
с , с 4 |
2 |
— 3,5 |
0,6 |
— 0,55 |
0 |
2,5 |
0,92 |
2,58 |
Воспользовавшись правилом выбора новых пределов ин |
||||||||
тегрирования, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
156
Be, c2 |
~ |
- |
0,55 I F (— 1 ,?3)—Z7 (— 3)] +0,3 |
[ / (1,83) - |
|
|
|
- / ( 3 ) J =0,0034, |
|
Pc, c |
, |
0 , 8 |
[F (1 ) - F ( 3)] - 0 ,1 5 [ f ( 1 )- / |
(3)] - 0,6364. |
Вероятность попадания в бесконечный прямоугольник С3 С4 (см. рис. 6.5) лучше найти не по приближенной формуле (6.15), так как отрезок С3 С4 параллелен ох, а по формуле
Вс, с, - [ В (2,5) —В (1)] | В (1-5)] = [ В (2,5) —
—В’ (1 )] -0,9332 = 0,1422.
Рс ,с 4 можно найти и с помощью формулы 6.15. В этом слу чае получим
Вс, с, ~ | В (2,5)—В (l)j •0.95 = 0,1448,
т. е. ошибка небольшая.
Далее имеем Р с с4=0,05153. Следовательно, искомая веро ятность найдется по формуле
Р с 1 с 2 с„ с 4 = ( Р с 2 с3 + Вс, с4 ) - (Вс, с2 - Г Яс, с ,) -0,724.
Отметим, что максимально возможная ошибка при вычис лениях с помощью формулы 6.15 не превосходит по абсолют ному значению 0 ,0 1 .
Эту вероятность можно вычислить и при отсутствии таб лиц функций F (х) и /(х ), для чего, кроме В (х), заменим и
f(х) приближенной функцией.
Вкачестве аппроксимации возьмем функцию
|
- - р х г с |
при 0 < х < 1 ,7 |
|
/ ( * ) - / * ( * ) = 1 |
рх-\-с |
при —-1,7 < х < 0 |
(6.191 |
|
|
||
, р —0,18; |
с =0,42 |
|
|
Теперь имеем |
|
|
|
/А(х) ВА(ax + b) = (p x-j-c) [amx-Y (mbi «)] = |
|
||
|
= Ax* + Bx+N , |
(6.20) |
|
157
где
А = о pin
В ■■=р (т Ь лсп) -f а ст |
(6.21) |
N —с (mb An) |
|
Следовательно, |
|
' Ах3 |
( 6. 22) |
(?) = |
|
Задача 6.70. Вычислить вероятность попадания в полупло скость, ограниченную прямой у = х.
Точное значение этой вероятности равно 0,5.
Ре ш е н и е
Пр и а = 1 и 6 = 0 получим
А= ±0,054; 5, = 0,036; 4 = 0,216 и N=0,21.
Таким образом, для отрезка — 1,7 < Л '< 0 имеем
4 |
= (0,018 * 4 0 , 1 0 8 А' 2 + 0 , 2 1 х) |
0,1333 |
- 1 . 7
(точное значение этой вероятности равно 0,125, т. е. ошибка составляет 0,0083).
Далее имеем
1,7
Р2 = (- 0 ,0 1 8 г Ч-0,018а'2 + 0 , 2 1 Д
— F (\ .67)] = 0;3647.
Искомая вероятность найдется, как
Р = Р х+ Р 2= 0,1333 + 0,3647 = 0,498 ~ 0,500.
Абсолютная ошибка составит
| А | = 0,002.
158
ГЛАВА 7
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗОНЫ И ИХ ЭЛЕМЕНТЫ
Задача 7.1. Дать определения зон: обзора, обстрела, пора жения и «мертвой» зоны.
Задача 7.2. Доказать, что при оц ф 0 глубина зоны пуска больше глубины зоны поражения.
Задача 7.3. Пусть иц— скорость цели, a |
vH— скорость |
||||
движения точки |
встречи |
снаряда |
с целью. |
Доказать, |
что |
» ц > » в - |
|
|
|
|
|
Задача 7.4. |
Движение |
снаряда |
и цели |
происходит |
на |
встречном курсе. Найти скорость движения упрежденной точ ки, если ис = 4иц; цс—-const и иц = const.
Ответ. vB—-0,8 уц= 0,2 vc.
Задача 7.5. В условиях задачи 7.4 найти значение vB, если снаряд движется вдогон.
Задача 7:6. В условиях задач 7.4 и 7.5 найти общее выра жение для определения vu при условии, что vc = nvn.
Задача 7.7. Найти значение глубины зоны поражения /п, если ее дальняя граница удалена от точки стояния батарей на 3 км, а ближняя — на 1 км.
Задача 7.8. В условиях задачи 7.7 найти время пребыва
ния цели в зоне поражения, если иц = 2 0 0 м'сек. |
|
|
|
Задача 7.9. Найти значение глубины зоны |
пуска I, если |
ближняя граница зоны поражения равна 1 км, |
а дальняя — |
|
3 |
км. Время полета снаряда до ближней границы равно 2 сек, |
|
а |
до дальней границы — 8 сек. оц = 2 0 0 м!сек. |
|
159
