Файл: Засядкин Б.К. Оптимальное обнаружение и измерение параметров радиолокационных сигналов. Диаграммы неопределенности (конспект лекций).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2024
Просмотров: 38
Скачиваний: 0
На рис. 10,s |
построена кривая послеопытной плотности ве |
||
роятности |
f i s /х), |
полученная как результат перемножения кри |
|
вых |
f0(s) |
и f{x/s) |
с учетом нормирующего множителя Кх- Пло |
щадь |
под этой кривой равна единице. Кривая f(s;x) учитывает |
||
как результат измерения х, так и доопытные данные о возмож ных значениях измеряемой величины s и помехи п.
Существенное влияние на послеопытное распределение ока
зывает уровень помех. |
Если |
помеха |
очень |
сильная |
(велика |
но |
||||
сравнению |
с |
интервалом |
измеряемых значений), |
то кривая |
||||||
послеопытного |
распределения |
практически |
не |
будет отличать |
||||||
ся от кривой |
доопытного |
распределения, |
так |
как |
результаты |
|||||
измерения в этом случае будут недостоверны. |
|
|
|
|||||||
§ |
3. |
Подбор оптимальной оценки s* = |
s*nT(х) |
|
||||||
Рассмотренные в |
предыдущем |
параграфе |
соотношения |
и |
||||||
пример кривой послеопытной плотности вероятности f(s/x)
позволяют решить |
вопрос |
о |
подборе |
оптимальной |
оценки |
S*= S* (*). |
|
|
|
|
|
Потребуем, чтобы эта оценка обеспечила минимум |
услов |
||||
ного среднего риска |
(2.14): |
|
|
|
|
г (s*/x) = J г (s*, s)f (s/x) ds = мин |
нри s* = S*I1T(*). |
(2.23) |
|||
Воспользуемся квадратичной |
стоимостью ошибки: |
|
|||
|
r(s\ |
s ) - |
(s*-s)2. |
|
(2.24) |
Это-значит, что средний риск и условный средний риск сво дятся к средним квадратическим ошибкам.
Чтобы найти оптимальную оценку, приравняем нулю произ водную условного среднего риска по оценке s*, т. е. положим:
* § ( s - s y f ( s / x ) d s = 0 при s* = s*nT.
Отсюда получим, что
ое |
|
|
|
s*nT~ j S/ (s/x) |
== |
{s / jc}, |
(2.25) |
т. e. оптимальная оценка находится как центр тяжести (первый» момент) кривой послеопытного распределения. Иначе говоря, она равна послеопытному математическому ожиданию вели чины s.
24
Пользуясь соотношениями (2.23) — (2.25), можно |
найти ве |
|
личину условного среднего |
риска для оптимальной оценки: |
|
оо |
|
|
г (Ст/*) = j [s— |
{s/*l]2 f (s/x) ds = D (s/дс). |
(2.26) |
Как видно, качество произведенной оптимальной оценки определяется дисперсией послеопытного распределения D js/дг}.
Таким образом, было показано, что минимизация среднего риска может быть произведена, исходя из кривой послеопыт ного распределения значений измеряемой величины. При ква дратичной стоимости ошибки оптимальная оценка соответ ствует центру тяжести этой кривой и во многих случаях может быть заменена наиболее вероятной оценкой. Зная послеопытное распределение, можно оценить также оптимальную сред нюю квадратическую ошибку измерения.
Г л а в а 3
ДИАГРАММЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ
§ 1. Закон оптимальной обработки радиолокационного сигнала при учете движения цели
|
Отраженный от |
точечной |
цели |
сигнал можно |
представить |
||||
в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s (/) ==и (t |
t:il) — U (t |
t3t) cos К (/—f,/)+? (^-Гц) ЬО|, (3.1) |
||||||
где |
t-rf — текущее |
время |
запаздывания; |
|
|||||
|
U ((% 9 (t) — неслучайные функции; |
фаза. |
|
||||||
|
0 — случайная |
начальная |
|
|
|||||
|
Величина |
|
является функцией времени, если рассто |
||||||
яние до цели |
R(t) |
меняется за время облучения. |
|
||||||
|
Ожидаемую функциональную зависимость удобно выразить, |
||||||||
используя разложение |
R(t) в ряд Тейлора: |
|
|||||||
|
|
|
R(0) -г R' (0) f+ |
-7^- R" (0) |
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t,t = |
t3 |
|
с |
с |
*i+ ... |
(3.2) |
|
В этом случае |
за начало |
отсчета |
времени t =0 |
принят мо |
||||
мент начала облучения |
цели; величины t3, Vr,ar— соответствен |
||||||||
но начальное время запаздывания сигнала, начальная скорость цели п ее начальное ускорение в радиальном направлении.
Функции U(t) и |
9 (f) для |
большинства радиолокационных |
сигналов являются |
медленно |
изменяющимися но сравнению |
с высокочастотными колебаниями cgs<o0£ iun sin«'0f Поэтому
текущее изменение запаздывания |
за время облучения суще |
ственно не меняет их значений. |
|
Поэтому можно принять:
В силу малой длительности облучения можно пренебречь влиянием ускорения на фазу высокочастотных колебаний. Тог да можно выражение (3.1) записать в виде:
|
s (t)~U (t — t3) cos [ К —Q*) *+<р (/-4 )+ Р Ь |
(3.3) |
|
где |
допплеровская частота; |
|
|
|
Р = @—ш04 — начальная |
фаза, которая в общем |
случае |
|
является |
случайной равновероятной |
величи- |
|
ной. |
|
|
Полученное. выражение описывает сигнал со случайной на чальной фазой и двумя неизвестными измеряемыми параметра ми t3 и £2Д.
Известно, что для оптимального обнаружения и измерения следует вычислить величину
|
L = |
j‘X(0S*(0 dt |
||
Здесь |
I |
j?JI) |
]tsw |
|
т - |
||||
--X(t)e x |
и S(/) = S(/)e |
|||
— комплексные амплитуды принимаемого и ожидаемого баний.
В рассматриваемом случае
S(t) = U ( t - t 3),
Ъ=
поэтому выражение для S (t) можно представить в виде:
(3.4)
коле
S (t)= U (t- t3)e ' е |
= U ( t - t 3)e |
. |
(3.5) |
Подставляя это выражение в формулу (3.4), получим закон оптимальной обработки сигнала с учетом движения цели:
L — 1 |
j |
. |
. |
ysy |
dt |
(3.6) |
X(t)-U *(t-t3)e |
||||||
27
Следует подчеркнуть, что величина X(t) представляет собой сумму комплексных амплитуд сигнала и помехи:
|
|
*(*) = |
U ( t - t 3о) e ' ^ + N |
(t). |
(3.7) |
|
В этом |
выражении |
и |
йд0— истинные значения |
запаз |
||
дывания |
и допплеровской частоты полезного сигнала в момент |
|||||
времени |
t = 0. Это искомые |
значения, которые должны быть |
||||
определены |
в процессе |
решения задачи |
оптимального |
измере |
||
ния. |
’ |
|
|
|
|
|
Практически в результате измерения из-за различного рода ошибок получим не эти истинные значения /,0 и йд0, а их оценки.
При решении задачи |
о наличии цели необходимо для каж |
||||
дой пары ожидаемых |
значений |
t3 |
и Йд |
сравнить величину |
|
L — L(t3, й д) |
с некоторым пороговым |
уровнем. Если для какой- |
|||
либо области |
значений t3 и й д порог |
превышается, то прини |
|||
мается решение о наличии цели. |
При |
этом |
в качестве оценки |
||
истинных значений измеряемых параметров принимаются те
значения t3 и £2Д, |
для которых величина L максимальна. |
|
|||||
В зависимости |
от конкретной формы сигнала степень точ |
||||||
ности оценок времени запаздывания и допплеровской |
частоты |
||||||
будет |
различной. |
Для одних сигналов функция L(t3, |
йд) |
будет |
|||
более |
гладкой, |
для |
других — иметь острый пик. При |
наличии |
|||
шумов |
измерение |
в |
первом случае |
осуществляется |
с |
малой |
|
точностью, во |
втором — значительно |
точнее. Эта функция ха |
|||||
рактеризует не только точность измерения, rto и разрешающую способность по дальности и скорости. Эту функцию принято называть функцией неопределенности.
Наша задача — выяснить свойства этой функции.
§ 2. Функция неопределенности и нормированная функция неопределенности
Преобразуем выражение, описывающее закон оптимальной обработки сигнала с учетом движения цели (3.6), подставляя в него значение сигнала (3.7):
L(t3, |
йд)= |
_О1_ |
j‘ [ u ( t - t30) e ' ^ + N (t)\ |
и* { t - Q / л dt |
||
2 Jос |
[ о (t |
hо)U\t - |
t3) e (V "д0) * + N(t) u* (t - |
13)e |
||
|
|
_1_ |
C ■ |
] (2Д—ед0\т |
j |
|
|
|
2 |
) U { t - t 3Q) W { t - t 3)e |
dt |
||
|
|
|
j |
N (t)U* {t—t3) е ~^ |
|
|
|
|
|
= |Lc(/3, QA)+La(t3, Йд)|, |
(3.8) |
||
28
где |
|
|
|
|
|
|
Н2д-“до)< |
|
|
|
Lc (t3, |
Йд) = ~ |
J U ( t - 1 30)U' (t - 13) e |
|
(3.9) |
||||||
|
“A0)W ; |
|||||||||
|
|
LAt* Йд)--=-1 |
] N ( t ) U ' ( t - U ) f xtdt. |
|
(3.10) |
|||||
Произведем дальнейшее преобразование полученного выра |
||||||||||
жения (3.9), заменив в нем |
переменные: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( З . П ) |
В результате замены переменных |
выражение (3.9) |
примет |
||||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.12) |
Отсюда |
следует, что функция <j*(xf |
F) |
не зависит от |
исход |
||||||
ных значений |
/:)0 и £2l0, а является функцией временного сдви |
|||||||||
га между |
сигналами |
х и |
частоты |
Допплера |
F. |
Поэтому в |
||||
общем случае |
необходимо рассматривать ее как на |
временной |
||||||||
оси. так и на осп частот, т. е. в пространстве. |
|
различной |
||||||||
Функцию |
'^(х, F), |
вычисленную |
для |
сигналов |
||||||
формы, будем называть функцией неопределенности.
Функция неопределенности является очень важной харак теристикой радиолокационного сигнала. Она позволяет произ вести оценку эффективности радиолокационного сигнала с точ ки зрения точности определения координат цели, однозначности их определения и разрешающей способности.
Всякие изменения функции неопределенности, связанные с изменением сигнала, приводят к ухудшению указанных выше характеристик радиолокационной станции.
Из свойств функции неопределенности ф (х, F) следует вы делить ее важное свойство центральной симметрии, т. е. то, что она является четной функцией:
Ф(т, |
F)- |
(3.13) |
В этом легко убедиться, |
заменяя в |
выражении (3.12) х |
на -х, F на —F.
Кроме функции неопределенности радиолокационных сигна лов, часто применяют нормированную функцию неопределен ности:
dz
(3-14)
j P i z f d z
29
