Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл (21,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 183

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

46	ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е

линейными комбинациями экспонент exJ, ..., еѴ с коэффи циентами, представляющими собой полиномы относитель но г!. Таким образом, нахождение решений системы (3.13) сводится к алгебраической задаче нахождения нормальной жордановой формы J матрицы А и определения матрицы S,

такой, что J = S ~ ^ S .

Поведение решений системы (3.13) описывается форму лой (3.14). Так, если все собственные матрицы А имеют отрицательные действительные части, то все решения систе мы (3.13) стремятся к нулю при t -> оо. Если все собствен ные значения матрицы А имеют неположительные действи тельные части, а собственные значения с нулевыми дейст вительными частями имеют простые элементарные делители, то решения системы (3.13) ограничены при всех значениях t >• t0. Рассмотрим линейную систему (3.9) с Т-периодиче- ской матрицей А (t). Обозначим через Y (t) фундаменталь ную матрицу решений системы (3.9), удовлетворяющую си стеме

				Y ( 0) = / ,			(3.22)

где I	— единичная матрица. Для				системы	(3.9) матрица
Y (t +	Т)		также	является фундаментальной, поэтому име
ет место соотношение Y (t + Т) =					Y (() С,	где С — неосо
бая матрица. Полагая в этом соотношении t						=	0, получаем
Y (Т) =		С	и,	следовательно,	Y (t + Т) =		Y (t) Y (Т).
Матрица		Y (Т) называется матрицей монодромии системы

уравнений (3.9). Так как det Y (Т) Ф 0, то можем ввести в

рассмотрение матрицу В — ~ ln Y (Т).	Отсюда следует
Y (Т) = евт. Рассмотрим далее матрицу
Q(t) = Y(t)é~Bl.	(3.23)

Нетрудно видеть справедливость следующего соотноше ния:

0 (t + Т) = Y (/) Y (Г) e -Bte~BT = Y (/) е~в‘ = Ѳ (t),

откуда следует периодичность Ѳ (t) по t с периодом Т. Кро ме того, если А (t) непрерывна, то Ѳ (t) — непрерывно-диф ференцируема, причем Ѳ (0) = /, det Ѳ (/) = det Y (t) X X det e~Bt Ф 0.

§ 3. С В Е Д Е Н И Я	ИЗ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й 47
Из выражения	(3.23) получаем
	Y (t) ^ в {t) еш.	(3.24)
Представление	фундаментальной матрицы	решений

У (0 в виде (3.24) называется представлением Флоке. В ко нечномерном евклидовом пространстве для линейной систе мы (3.9) с периодической матрицей Л (t) такое представление всегда существует, ln Y (Т) строится по формуле

1п у (Т) = --------- I In р (Г (Т) - р /)"1dp,

(3.25)

где Г — замкнутый жорданов контур, окружающий спектр матрицы монодромии Y (Т), но не окружающий точку р »= = 0; In р — некоторая однозначная на этом контуре ветвь. Собственные значения матрицы В, т. е. корни уравнения

		d e t(ß — «/)== 0,		(3.26)
называются характеристическими			показателями	системы
(3.9) .
Собственные значения матрицы С = У (Т), т. е. корни
характеристического уравнения
		<М(У (Т) — р/) = 0,		(3.27)
называются мультипликаторами системы (3.9).
Величины а и р связаны соотношениями
а	=	In р == -і- [ln I р I +	i (arg p + 2kn)\	(3.28)
(k = 0, ±	1, ...),	где целое число	k выбрано надлежащим
образом.

Из представления Флоке (3.24) вытекает следующий ре зультат [116].

Те о р е м а 3.1. Все решения системы (3.9) стремятся

кнулю при t -> со тогда и только тогда, когда для каждого мультипликатора р{ системы (3.9) выполняется условие | р(- \<;

< 1. Все решения системы (3.9) ограничены при 0 <С t < оо тогда и только тогда, когда для каждого мультипликатора Р; этой системы jp j <; 1, а при j pf | = 1 мультиплика торы pt имеют простые элементарные делители. Система (3.9) имеет периодическое решение тогда и только тогда, когда существует мультипликатор системы (3.9), равный Г. Если существует мультипликатор системы (3.9), равный

— 1, то система (3.9) имеет 2Т-периодическое решение.

48	ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е

Рассмотрим систему уравнений

- ^ - = Ag + f(f),

(3.29)

где А — постоянная (п X л)-матрица, / (t) — п-вектор. Обозначим G (О матрицу, обладающую следующими свой

ствами.

1. При t Ф 0 матрица G (() непрерывно-дифференцируе ма и удовлетворяет однородному уравнению

dG (t)

AG (t).

2.G (+0) — G (—0) = In, где In — единичная (n X n)- матрица.

3.ИG (Oll •< Ce-a IG (t Ф 0), где С н а — положитель ные постоянные.

4.Вектор-функция

У(0 = f Y(t — x)f (т) dx,

где / (0 непрерывна, удовлетворяет неоднородному уравне нию (3.29).

Матрица G (t) называется функцией Грина системы (3.29).

Сформулируем достаточные условия существования огра ниченного на всей оси R решения системы (3.29).

Т е о р е м а	3.2.	Пусть для системы уравнений (3.29),
где А — постоянная		(п X п)-матрица,	f it) — непрерыв
ная п-вектор-функция, выполняются следующие условия:
\ . Ъ е \ , ( А ) ф 0		(/ = 1..........п);
2. sup\|/ ( 0 1=	Г < о о .
Тогда система (3.29) имеет единственное ограниченное
на оси R решение, представимое в виде
	0 (0 = I G(t — x)[(x)dx,		(3.30)

где G (t) — функция Грина системы (3.29).

Д о к а з а т е л ь с т в о 1341. С помощью невырожден ной постоянной (п X п)-матрицы S матрицу А можно

§ 3. С В Е Д Е Н И Я ИЗ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й

преобразовать к виду
	А =	S-1 diag {М, N) S,						(3.31)
где М, N — матрицы, для которых					выполняются			COOT-
ветственно	условия
и	Re Kj (М) > 0		(j —			, т)		(3.32)
и	Ré lj (N) < 0		(j — in -R 1,		... , n).			(3.33)
	Ré lj (N) < 0		(j — in -R 1,		... , n).			(3.33)
Положив
	I — S~l diag (eMt, 0) S,					t <	0,	(3.34)
	1	S-1 diag (0,		em) S,		t >	0,	(3.34)
	1	S-1 diag (0,		em) S,		t >	0,
нетрудно видеть, что G (t) с: C°°				(0 <		111< oo) и, кроме
того,
	G ( + 0 ) - G ( - 0 ) =				/„.
Далее,	полагая
0 <	ссх < min К. (A4) и 0 <сс2 <				шіп [— %,■(N)],
получим	і					і
получим				t < 0				(3.35)
и				t < 0				(3.35)
и					о,
	\| \| / " \| <		С2 ^ ,	t >	о,			.(3.36)
ГД0 Сіу С2	некоторые положительные постоянные. Отсю-
да находим
	ИG(t) 1< С е“ в\|4			( ^ 0 ) ,				(3.37)