Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

38 ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е

правая часть которого определена и непрерывна вместе со своей частной производной -Ц- в некоторой области D пло­

скости переменных t, х. Пусть

некоторое решение уравнения (2.32), определенное на ин­ тервале (а, 6), с начальным условием

вале (а, Ь) выполняется тождество (2.36), то функция х =■ = ф (t) дифференцируема, является решением уравнения (2.32) и удовлетворяет начальному условию (2.34).

Пусть X = ф (t) — некоторая непрерывная функция, оп­ ределенная на сегменте [a, b\, t 0 £ [а, Ь]. Пользуясь пра­ вой частью интегрального выражения (2.36), можем поста­

Таким образом, правую часть тождества (2.36) можно рассматривать как отображение Л , ставящее в соответствие

В результате интегральное уравнение (2.36) запишется в

Таким образом, доказательство существования и един­ ственности решения дифференциального уравнения (2.32) илиэквивалентного ему интегрального уравнения (2.36)

сводится к доказательству существования и единственности решения уравнения (2.39), т. е. к доказательству существо­ вания и единственности неподвижной точки отображения А.

Прежде чем формулировать теорему о неподвижной точ­ ке А, приведем некоторые вспомогательные определения.

Пусть ср (/) — непрерывная функция, определенная для t £ [а, Ь]. Норма [j ф[| этой функции определяется посред­ ством выражения

является неотрицательным числом, оценивающим, насколь­ ко отличаются функции ц>і и ф2 друг от друга. Равенство IIфі — ФаII — 0 имеет место тогда и только тогда, когда функции ф! и ф2 совпадают.

Пользуясь понятием нормы, сформулируем условие рав­

функций, заданных на сегменте [а, b], равномерно сходится к функции ф, определенной на том же сегменте, если

Для того чтобы последовательность (2.41) равномерно схо­ дилась, достаточно выполнения неравенств || фг — ф,_і ||Саг (г = 1, 2,...), где числа at образуют сходящийся ряд.

Преобразование А, определенное на некотором множе­

стве Н £Сп функций ф, является преобразованием сжатия, если существует постоянная X, 0 < Х < 1, такая, что для любых двух функций фі, ф2 (j Н выполняется соотношение

Постоянная X называется постоянной сжатия А на Я. При­ ведем формулировку основной теоремы Каччиополи — Ба­ наха (принцип сжатых отображений).

Т е о р е м а 2.1. Пусть имеется непустое семейство функций {ф}, определенных на одном и том же множестве {безразлично, каком) Н и обладающих свойствами:

2.Предел равномерно сходящейся последовательности функций семейства также есть функция этого семейства.

3.На данном семействе {ср} определен оператор Л (ср), который каждую функцию этого семейства переводит в функцию того же семейства.

4.Для любой пары функций фі и ср2 семейства

имеет единственное решение среди функций (ф).

Принцип сжатых отображений будет нами существенно использоваться при доказательстве существования и един­ ственности интегральных многообразий для различных клас­ сов нелинейных дифференциальных уравнений.

§ 3. Некоторые сведения из теории дифференциальных уравнений

1. Первый интеграл. Рассмотрим систему дифференци­ альных уравнений

пространства Rn), непрерывна и имеет непрерывные част­ ные производные по xt (і = 1, .... п) первого порядка.

Пусть X — X * (/) — решение системы (3.1). Множество

Пусть вектор-функция X (х) определена и непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой от­

крытой области D cz Rn. Функция и (хи .... хп) = и (х), не