Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл (21,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 187

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

все решения этой системы не ограничены как на полуоси I >■ >• 0, так и на полуоси t •< О.

3.Устойчивость решений нелинейных систем.

Оп р е д е л е н и е 3.1. Решение х (t) системы (3.1)

-ТГ = Х (‘.*>.

определенное для t ;> 0, называется устойчивым, если для любого достаточно малого е > О существует л (е) > 0 та кое, что каждое решение х (t) системы, удовлетворяющей неравенству

IX(t0) — X (t0) I < л (е), удовлетворяет также неравенству

\x(t)— x(t)\CE

(t >0).

При этом предполагается, что решения, начинающиеся вблизи X (0), существуют для всех t >• 0.

Решение х (t) называется асимптотически устойчивым,

если в дополнение к устойчивости

\x{t) — х (0 |-> 0 , t-+ оо.

Приведем формулировку критерия Ляпунова об устой чивости периодического решения х* (t) системы уравнений (3.1).

Т е о р е м а 3.6. Если х* (і) — Т-периодическое реше ние системы (3.1) и вектор-функция X (t, х) — периодиче ская по t с тем же периодом, а характеристические показа тели уравнений в вариациях (3.9) неположительны, причем нулевые характеристические показатели имеют простые элементарные делители, то решение х* (t) системы уравне ний (3.1) устойчиво. Если все характеристические показа тели уравнений в вариациях (3.9) имеют отрицательные вещественные части, то решение х* (t) — асимптотически устойчиво. Если хотя бы один характеристический показа

тель имеет положительную вещественную	часть, то
X * (t) — неустойчивое решение.	не приводим.
Доказательство этой теоремы мы здесь	не приводим.

Его можно найти в известных книгах (Ляпунов А. М. [115], Коддингтон Э. А. и Левинсон Н. [69], Демидович Б. П. [34]).

Рассмотрим автономную систему (3.2)

66	ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ

Предположим, что я* (f) есть Т-периодическое решение системы (3.2) и вектор-функция X (х) непрерывна и облада ет непрерывными частными производными по х{ (і = 1, ...

..., п) первого порядка в некоторой области D п-мерного

евклидова пространства		R'1, содержащей кривую х = х* if),
t £ R.	Нетрудно убедиться, что если		х* (t) — Т-периоди-
ческое	решение системы	(3.2), то —	— Т-периодическое

решение системы уравнений в вариациях (3.9), где A (t) =*

= Х х (х* (/)). В этом случае один характеристический пока затель уравнений в вариациях оказывается равным нулю и, следовательно, уравнение (3.9) не может иметь более, чем (п — 1) характеристических показателей с отрицательной действительной частью. Поэтому в данном случае условия теоремы не применимы.

Здесь имеет место устойчивость другого рода, а именно,

орбитальная устойчивость.

Пусть X* (t) — Т-периодическое решение автономной си стемы (3.2); обозначим у замкнутую кривую, определяемую

вектор-функцией х* (t)	и d (х, у) = іп{\|).т— х*	(f)\|j	для
точек X* на кривой у.	3.2. Решение х* (t) называется		ор-
О п р е д е л е н и е	3.2. Решение х* (t) называется		ор-
битально устойчивым (вправо), если для всякого		е > 0	су

ществует Ö> 0 такое, что для всякого решения л: (/) систе

мы (3.2), для которого	d (х (t0),	у)	<	б, при всех і > t0 вы
полняется неравенство d (х (t),		у)	<	е.
' О п р е д е л е н и е	3.3. Если х* (t) орбитально устой
чиво и, кроме того, из неравенства				d (х (t0), у) С б следу
ет, что d (х (t), у) -+■ О	при / -► оо, то X* (t) — асимптоти
чески орбитально устойчивое решение.
О п р е д е л е н и е	3.4. Если		х* it) — асимптотически

орбитально устойчиво и для всякого решения х (t),			для ко
торого d (х (г“0),	у) < б, существует	постоянная ср	такая,
что і\|.ѵ it) — X*	it 4- ср)I —> 0 при t	оо, то решение х* it)

называется асимптотически орбитально устойчивым с асимптотической фазой *).

Для автономной системы (3.2) имеет место следующая теорема Ляпунова.

*) Асимптотической фазой называется сдвиг времени, после кото рого решения асимптотически сближаются.


§ 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ			57
Т е о р е м а	3.7. Если х* (/) — периодическое решение
системы (3.2) и	(п — 1) характеристических показателей
соответствующих уравнений в вариациях		имеют отрица
тельные вещественные части, то решение		х — х* (t)	асим

птотически орбитально устойчиво с асимптотической фа зой, т. е. существует е > 0 такое, что если решение х (t) системы (3.2) удовлетворяет неравенству \х (tx) — х* (^0) | <;

<	е для	некоторых t0 и	tx, то	существует	постоянная
<р	такая,	что
		lim \x{t) — x*{t-\-<$)\ = 0.			(3.67)
		t-+00
	Доказательство этой		известной	теоремы также можно

найти в упомянутых книгах (Ляпунов А. М. [115], Коддингтон Э. А. и Левинсон Н. [69] и др.).

4. Квазилинейные системы. Рассмотрим систему

■^- =	Ay + f(t,y),	(3.68)
где А — постоянная (п х	п)-матрида,	а п-вектор-функция

/ (t, у) непрерывна и подчинена условию (3.8). Такая си стема называется квазилинейной. Очевидно, она допуска ет тривиальное решение х = 0.

Приведем формулировки теорем Ляпунова об устойчи вости тривиального решения х = 0 системы (3.68).

Доказательство этих теорем см. Ляпунов А. М. [115],

Демидович Б. П. [34] и др.			(А)
Т е о р е м а		3.8. Если все собственные значения
(/ = 1, ...,	п) матрицы А имеют отрицательные веществен
ные части,	то тривиальное решение х — 0 квазилинейной
системы. (3.68) асимптотически устойчиво при t -> +оо.
Т е о р е м а		3.9. Если хотя бы одно собственное	значе
ние К/ (А)	(/' =	1, ..., п) обладает положительной вещест

венной частью, то тривиальное решение х — 0 этой систе

мы неустойчиво при t	оо.
Т е о р е м а 3.10. Пусть матрица А имеет k характе
ристических корней с	отрицательными действительными

частями и (п — k) характеристических корней с неотрица тельными действительными частями, причем вектор-функ

ция /	(/, х)	непрерывна по t при t >• 0 и удовлетворяет по х
условию Липшица
\f(t,	—	У")\< N {о)\у’ — у”\ (\у’\< а , І£Г\|<ст),
где N (о)		0 при о ->• 0. Тогда тривиальное решение

Б8	ГЛ.	I. В В Е Д Е Н И Е
у — 0 системы	(3.68)	условно асимптотически устойчиво
относительно	некоторого k-мерного		многообразия	на
чальных значений.			[34] о существовании
Приведем теперь теорему П. Боля

и свойствах ограниченного на всей оси решения квазилиней ной системы (3.68), которая будет нами использоваться в последующих главах.

Т е о р е м а

3.11. Пусть относительно системы (3.68)

выполняются следующие условия:

1°. f (t, у) — непрерывная функция і, у,

2°. Re К/ {А) Ф 0

(/ =

1, ....

п),

причем

і . м Л > 0

При І=

1..........т'

, п

(0 -< т <

п);

і < 0

при

/ =

т +

1, ...

3°. sup I^ (t,

0)1 =

Г <

оо;

4°. !fit, У1) - f ( t ,

У " Ц < М \ у ' - у " \ .

Тогда при достаточно малой константе Липшица N

существует решение у = у * (t) системы (3.68),

опре

деленное и ограниченное на всей вещественной оси R\

2) в пространстве Rn имеются многообразия

и Шп-т

соответственно

измерений т и п

— т

такие, что решения

У (t\ 0, уа) системы (3.68) обладают свойствами

Нт

[у (t\

0, у0) — у* (0] =

при

у0 £ Ш%,

(3.69)

t —*■о о

Пш[у (t;

0, у0) — у* (*)] =

при

у0£ Шп-т.

(3.70)

І -+—с о

Д о к а з а т е л ь с т в о

[34]. Для

доказательства этой

теоремы применим теорему 3.2. Принимая функцию / (t, у) за свободный член, по аналогии с формулой (3.30) можем

написать следующее	выражение:
	с о
У(0 =	J G(t — т)/(т, y{x))dx,	(3.71)
	—о о
где G (0 — функция	Грина уравнения (3.68),	обладающая

свойствами, указанными в теореме 3.2. В силу этих свойств непрерывное ограниченное решение у* (t) интегрального уравнения (3.71) является также решением дифференциаль

ной системы уравнений (3.68). Обозначим

оо

Х= J I\G(t)\\dt (X < оо)

§ 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 59

о о

j/°(0= J G(t — т)/(т, 0)dr.

—с о

Принимая во внимание условие 3° теоремы, можем на писать

о о

1 / ( 0 К j' « 0 (/-т)1 1 /(т , 0 )И т <

< sup||/(T , 0)|| j |G(f — x)\\dx = ГХ = 1\.

^-CO

Выберем теперь число Я такое, что
Я > 2ГХ.	(3.72)

В пространстве Rn непрерывных и ограниченных на R вектор-функций у (t), где

sup \\y(t) I < Я,

рассмотрим оператор 5, определяемый выражением СО

	Sy(t)=	J G(t — т)/(т, y{x))dx.	(3.73)
		—о о
Так как при	\|\|г/\|\| < Я	имеем
suPll/Z	Z l ! < sup\|\|/(^ 0) li + Я sup 1 г/1<		Г -{-NH,
t,y	t	У

где N — константа Липшица из условия 4°, то при у (t) £

£ Rn интеграл (3.73) сходится, причем равномерно на каж дом конечном интервале а <С t < Ь. Отсюда следует, что

если у (і) £ Rn, то Sy		(/) имеет	смысл для любого	t £ R и
Sy (0 непрерывно для		t £ R.
Далее имеем	с о
	с о
Sy(t) = y°(t)+	j	G(t — т)[/(т, у(х)) — /(т, 0)] dt,
откуда	—с о
откуда			с о
			с о
\Sy (0\| < 1 / (03 +	Я sup\|\|f/(0I		J « 0 (т )И т < Г 1 +	ЯЯХ.

*—с о

(3.74)

Смотрите также файлы

Нестеров Ю.Ф. Теория и расчет судовой тепловой изоляции.pdf

Нефтегазоносность морей и океанов..pdf

Никольский Б.В. Эксплуатация и ремонт электрических машин на металлургических заводах.pdf

Новая геодезическая техника и ее применение в строительстве учеб. пособие.pdf

Организация и планирование кредита учебник для учет.-кредит. техникумов.pdf

Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно