Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл (21,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 181

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 41

равная тождественно константе, определенная и непрерыв ная вместе со своими частными производными в некоторой открытой области cz D, называется первым интегралом системы (3.2), если при подстановке в нее некоторого реше ния х (0 системы (3.2) она принимает постоянное относи тельно t значение (зависящее от того, какое именно реше ние системы (3.2) в нее подставляется).

Любой первый интеграл и (х) системы (3.2) удовлетворяет условию

(3.3)

;=1 ‘

и обратно, всякая функция и {х), удовлетворяющая усло вию (3.3), является первым интегралом системы (3.2).

Пусть первые интегралы щ (х), ..., ип (х) системы (3.2), определенные в некоторой окрестности точки а, являются функционально независимыми *). Число функционально не зависимых первых интегралов системы (3.2) не может пре восходить (п — 1), и если Ui (х).......и„_1 (х) — функцио нально независимые первые интегралы, то всякий другой первый интеграл и (х) может быть записан в виде

и(х) — U (ut (х), . . . , «„_t (х)),

(3.4)

причем (3.4) является тождеством относительно х в некото

рой окрестности		точки а.	Так,	если	ut (х), ..., ип (х) —
совокупность	п	первых	интегралов		системы	(3.2), то
ип (х) = U (и1	(х),	..., ип - 1	(х)).	независимых		решений,
Таким образом, имея			(п — 1)

можно получить всякое другое решение при помощи форму лы (3.4), причем всякая функция, задаваемая формулой (3.4), является решением уравнения в частных производ ных (3.3).

З а м е ч а н и е . 3.1. Чтобы ввести понятие первого ин теграла для неавтономной системы, ее необходимо преобра зовать в автономную, введя дополнительную неизвестную

функцию х„+і (і).	В результате неавтономная	система
dx = Хс (t, х1( . . .	, х„), дополненная уравнением	11= 1.

*) Определение функциональной независимости функций см. Г. Н. Ф и х т е н г о л ь ц , Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I, гл. 6, «Наука», 1970.

42	ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е

станет автономной. Ее первые интегралы считают первыми интегралами неавтономной системы.

Рассмотрим более общее, чем (3.3), уравнение в частных производных первого порядка:

2	х і (*) 4 г = F (х> “)>	м
і=і	ахі

где F (X, и) — некоторая заданная функция, имеющая непрерывные производные первого порядка по своим аргу ментам.

Пусть задана некоторая (п — 1)-мерная поверхность S, представимая в параметрической форме уравнениями вида

	~	£ (tu	• •	• I	ln—О,
проходящая при	^ =	... =	tn -	1	== 0	через точку 0, так
что \ (0...... 0) =	а. Пусть эта поверхность дифференцируе
ма и в точке а	не касается вектора X (а), т. е. векторы
д Ц 0 ..........0)	д%(0, . . . .		0)	ѵ	, >	линейно независимы.
sv --------	---------			X	(а)
dt,	dt,п —1		..., tn- О			некоторую функцию,
Обозначим через и0 (tu
заданную на поверхности S.			Можно показать, что в окрест

ности точки а существует, и притом единственное, решение

и (х) уравнения (3.5),			совпадающее на поверхности 5 с за
данной функцией		н0 (fi, ..., tn- 1 ), так		что и (£ (tu ...
..., in- 1 )) =	Но (tu	...,	tn-i). Для нахождения такого реше
ния и (X)	используются траектории системы (3.2), начи
нающиеся на S. Эти траектории называются характеристи
ками уравнения (3.5).			краевая задача	решается следую
Сформулированная

щим образом. В окрестности точки а вместо xit ..., хп вво


дятся новые координаты t,					tu •••. tn- ь		в которых уравне
ние (3.5)		принимает простой вид. Показывается, что если
X — X (t,		tu •••, tn- 1 ) — решение				уравнений			(3.2), начина
ющееся в точке \			(tu	..., fn-i) поверхности S, то						соотно
шения		xt = Хі (t, tu		.. . ,	tn- 1)	(t' =	1, . . . , « )			(3.6)

позволяют ввести вместо xlt					..., хп в некоторой окрестности
точки а		новые координаты t, 1 , .... tn- 1 . При этом если
в	(3.6)	считать	неизвестными			величинами			переменные
t,	tu ...,	tn- ь то эта система при				х =	а	имеет очевидное
решение		t = t{ =	... = 0.		Подставив		в	функцию		и (х),

§ 3. С В Е Д Е Н И Я ИЗ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й

определенную в окрестности точки а,			новые координаты
t, tu ..., tn~1 согласно	(3.6),	получим
У (ßi ^i* • • • j	— l )	U (x ( / ,	, tn—l))*
Можем написать

где X — X (t,	tu .... tn-i).	В	результате	уравнение (3.5)
принимает вид
—	= F(x(t, tu		.. . , tn„ö,	v(t, tu	/„_,)).
					(3.7)
Так как поверхность S		в новых координатах			задается
уравнением t	= 0, то задача сводится к нахождению реше

ния уравнения (3.7), обращающегося в заданную функцию щ (tu tn—i) при t = 0. Для этого следует решить урав нение (3.7), считая его обыкновенным дифференциальным уравнением с независимым переменным t, а переменные tu •••. in- 1 считать параметрами. При этом решение сле

дует искать с начальными значениями 0,			и0 (tu	tn-i)-
Полученная функция v (t,	tu	t„-1 )	будет	иметь
непрерывные производные по	всем переменным.

2.Линейные системы. Пусть х* (t) — некоторое решение

системы	(3.1). Положим у — х — х*, где х удовлетворяет
		дХ. it	X* (t))
системе (3.1), и обозначим матрицу со столбцами — 4			— —
		ОХі
через Х х (t, X* (t)) =		А (t). Тогда из (3.1) получим
=	+	(t, X* (t)) = A (t) у + Х х (t, у),

где по теореме о среднем

II х і(і, У) II = о (Ку fl) для малых !# II равномерно по t, т. е.

(3.8)

Линейная система

\ - A (f ) y

(3.9)

44 ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е

называется уравнениями в вариациях для системы (3.1) от носительно решения х* (t). Уравнения в вариациях игра ют важную роль при исследовании устойчивости решений нелинейных систем уравнений.

Фундаментальной матрицей решений системы (3.9) на зывается (п X п)-матрица Y (t) = (уу (t)) (г, j — 1, ..., п), п столбцов которой являются независимыми решениями си стемы (3.9). Можно предположить, что эти решения заданы начальными условиями

где	0</(*о) = 6</		(і\ / = 1, ...	, п),
где
т. е. что	Y (t0) =	/, где	/ — единичная	(п X «)-матрица.
Каждое	решение	системы (3.9) представим в виде у (t) =•
= Y (і) у	(t0).
Рассмотрим неоднородную систему
		*«r = A (t)y + f(1),		(3.10)

где / (t) — п-вектор. Обозначим у (t) — некоторое решение системы (3.10), а у (t) — решение однородной системы, при этом предположим, что у (t0) = у (t0). Если Y ( f ) — фунда

ментальная матрица решений однородной системы, удовлет
воряющая условию Y (/0) = /, то решение неоднородной
системы (3.10) имеет вид
t
y(t) = Y (t) у (ta) + J Y (t) Y~l (X) f (X) dx.	(3.11)
u
Если A — постоянная матрица, то, положив	t0 = 0, в

качестве фундаментальной матрицы решений однородной

системы (3.9) можем взять матрицу Y (t) К-1									(т), определяе
мую условием Y (t) Y~l (т) =						/ при t =		т. То же относит
ся	и к	матрице		Y	(і — т).	Поэтому		можем		положить
Y	(і) Y~'	(т) =	Y	(t — т), и тогда			решение		неоднородной
системы		(3.10)	для		постоянной		матрицы		А	запишется
в виде						Г

		y(t) = Y (t) у (to) + ^ Y ( t — x)f (X) dx								(3.12)
c Y (t0) =		I.

§ 3. С В Е Д Е Н И Я ИЗ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й		45
Как легко видеть, для системы
dy	Ау	(3.13)
dt

с постоянной матрицей А фундаментальной матрицей реше

ний	является матрица			(3.14)
	Y ( t ) = e All~ t,>,
удовлетворяющая условию Y		(t0) = /.	Формула	(3.12) в
этом случае примет вид		t
	У (*) = eA(f- U g (t0)
		+ Jem ~x)f (т) dx.		(3.15)
Посредством замены				(3.16)
	y = Sz,
где	S — постоянная невырожденная		матрица,	систему
(3.13) можно преобразовать к виду

<з - | 7 >

где J — S-1/1S. Система (3.17) имеет фундаментальную мат рицу решений

	г =	ел .	(3.18)
Пусть матрица S	выбрана	так, что J имеет нормальную
жорданову форму,	т. е. J =	diag (Jі (Ä,t), .... J p (Яр)), где
Jp (кр) определена	посредством выражения		(2.5). Тогда