Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 185
Скачиваний: 1
so |
ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е |
Из (3.38) следует сходимость интеграла (3.30) для лю бого t £ R, причем сходимость равномерна на каждом ко нечном интервале а < t < Ь. Представляя выражение
(3.30) в виде
t с о
y(t)= ( G(t— х) f (х) d |
x \ G (t— x)f(x)dx |
(3.39) |
—с о |
t |
|
и дифференцируя формально по параметру t, получаем |
||
|
1 |
|
— [G (+ 0) — G (— 0)] / (t) -f- J A G ( t - x )f (x )d x + ' |
||
|
—CO |
|
oo |
|
|
+ j AG(t — x)f(x)dx = |
/(/)-]- Ay (t) при i £ R. (3.40) |
|
t |
|
|
Заметим, что дифференцирование законно, так как не собственные интегралы, полученные в результате формаль ного дифференцирования, сходятся равномерно на каждом
конечном интервале (a, b) £ R. |
(3.38), |
имеем |
|
Принимая во |
внимание неравенство |
||
оценку |
с о |
|
|
|
|
|
|
||£(/)||<sup||/(/)|| |
J \G (t — т) Idt с Г • |
= I\ < |
oo, |
^—CO
(3.41)
откуда следует ограниченность решения у (t) на всей дей ствительной оси R.
Единственность решения у (t) очевидна.
С л е д с т в и е З . 1 . Для ограниченного решения у (f) си стемы (3.29) справедлива оценка
sup ||y (0 l< 6 |
sup 1/(01, |
' |
(3.42) |
||
еде постоянная k зависит только от матрицы А . |
|
Т-пе- |
|||
З а м е ч а н и е 3.2. |
Если |
вектор-функция / (/) |
|||
риодична, то ограниченное решение у |
(t) также |
Т-перио- |
|||
дично. |
|
|
|
|
|
Рассмотрим систему |
|
|
|
|
|
4 L = A { t ) y + f{t), |
|
|
(3.43) |
||
где (п X п)-матрица A |
(t) и |
п-вектор |
/ (t) — Г-периоди- |
||
ческие. |
|
|
|
|
|
§ 3. С В Е Д Е Н И Я ИЗ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й |
61 |
Т е о р е м а . 3.3. Если однородная периодическая си |
|
стема |
|
А ® У |
(3.44) |
не имеет никаких Т-периодических решений, кроме |
три |
виального, т. е. все мультипликаторы ее отличны от единицы (р/ Ф 1), то соответствующая неоднородная периодическая система (3.43) имеет единственное Т-периодическое решение.
Д о к а з а т е л ь с т в о |
[34]. Согласно (3.11) |
решение |
|||||
у (t) |
системы (3.43) представимо в виде |
|
|
||||
|
|
y{t) = Y ( t) y (0 )+ \Y { t) Y - \ x )f { x )d x , |
(3.45) |
||||
где |
|
|
|
о |
матрица |
решений |
системы |
У (t) — фундаментальная |
|||||||
(3.44) |
. При этом у |
(0) = у |
(0), где у (t) — решение системы |
||||
(3.44) |
. В силу теоремы единственности, для Т’-периодического |
||||||
решения у (t) имеем |
У(Т) = У{0), |
|
(3.46) |
||||
|
|
|
|
||||
откуда на основании (3.45) получаем |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
y ( 0 ) = Y ( T ) y ( 0 ) + Y (Т ) ]> -’ (0 / (0 dt |
|
||||
или |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[I — Y (Г)] y(0) = |
Y (Т) \ Y- ' (і)! (t) dt. |
(3.47) |
|||
В |
|
силу условия |
теоремы, |
о |
[р/ — Y (Г)] = О |
||
|
уравнение |
||||||
не имеет корня р = |
1, поэтому det (I — Y (Т)) Ф |
0, т. е. |
|||||
существует [/ — Y (Т)]-1. |
|
|
|
|
|||
Таким образом, |
получаем |
т |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у (0) --=[I — Y (Г)]-1Y (Т) \ Y~l (0 / (0 dt. |
(3.48) |
||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
Подставляя теперь в (3.45) вместо у (0) его выражение (3.48), находим периодическое решение системы (3.43):
t
y(t) = Y ( t ) [ I - Y (Г)]"1{J У“ 1(т) / (т) dx +
о
т
+ Y ( T ) ^ Y - , (x)f(x)dx\ . (3.49)
52 |
ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е |
Единственность Г-периодического решения у (t) вытека ет из того факта, что разность двух различных Г-периоди- ческих решений неоднородной системы (3.43) является не тривиальным Г-периодическим решением однородной си стемы (3.44), что исключается.
З а м е ч а н и е |
3.3. |
Периодическое |
решение у (t) не |
|||||
однородной системы (3.43) может быть записано в виде |
||||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
y(f)=\G{t,x)f(x)dx, |
|
(3.50) |
|||
где |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘ |
|
[ Y{t)[l — Y (Г)]-1 Y~l (т) |
при 0 < т « < 7 \ |
|||||
( ’ Т)^ |
[У(/ + 7’) [ / - Г ( Г ) Г 1Г - 1(т) |
при 0 < / < т < Г . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.51) |
Здесь |
G (t, т) — функция |
Грина |
системы |
(3.43), обладаю |
||||
щая свойствами: |
|
|
|
/; |
|
|
||
1. |
G(т + 0, т) — G (т — 0, т) = |
|
|
|||||
2. |
G(0, т) - G(T, т); |
|
|
|
|
|
||
3 . |
|
= |
|
X) |
Цфх) |
|
|
|
при 0 < |
X< t < |
Т. |
|
(3.44) имеет |
нетривиальные |
|||
Если |
однородная система |
|||||||
Т-периодические решения (резонансный случай), то соответ
ствующая неоднородная система (3.43) не всегда |
допускает |
Г-периодическое решение. |
|
Имеет место следующая теорема. |
однородная |
Т е о р е м а 3.4 [208]. Пусть линейная |
Т-периодическая система (3.44) допускает k линейно-неза
висимых Т-периодических решений yi (t), ..., |
yk (t) (1 C k С |
|
n). |
Тогда: |
|
1) |
сопряженная система *) |
|
|
J L = — A*(t)z |
(3.52) |
также имеет k линейно-независимых Т-периодических реше ний zt (t), .... zA(0;
*) А* (t) = АТ = (aks)\А = (ajk).
§ 3. С В Е Д Е Н И Я и з Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й |
53 |
2) неоднородная система (3.43) имеет Т-периодические решения тогда и только тогда, когда выполнены условия
ортогональности
т
\( z s(t), f(t))dt = 0 |
(s = 1..........k), |
(3.53) |
о |
|
|
причем в этом случае Т-периодические решения неоднород ной системы образуют k-параметрическое семейство ин тегральных кривых.
Доказательство этой теоремы громоздко и поэтому мы его здесь приводить не будем (см. например, [34], стр. 218—220).
Существование Т-периодических решений линейной пе риодической системы связано с наличием ограниченных ре шений этой системы.
Имеет место следующая теорема.
Т е о р е м а 3.5. Если линейная неоднородная Т-перио
дическая |
система (3.43) имеет ограниченное решение у (t) |
(.t > 0), |
то она имеет Т-периодическое решение. |
Д о к а з а т е л ь с т в о [34]. Согласно формуле (3.11)
ограниченное решение у (t) системы (3.43) представимо в виде
|
|
|
t |
|
|
У (t) = |
У (t) Уо + |
f у (i) Y (т) / (т) dr, |
(3.54) |
— |
_ |
Y (t) (Y |
о |
фун |
где у (0) = |
у0 и |
(0) = I) — нормированная |
даментальная матрица однородной системы (3.44). Из (3.54) получаем
y(T) = Y(T)y0 + b,' |
(3.55) |
где |
|
г |
|
Ь = ( Y (Г) Y~l (т) / (т) dr. |
(3.56) |
'о
Ввиду периодичности системы (3.43), у (t + Т) также яв ляется ее решением, поэтому, используя начальное усло вие, можем написать
y(t + T)t=o = y(T), |
(3-57) |
следовательно, |
|
у (27) = У (27’)у (Т) + Ь = Y2 (Т) у0+ [Y (Т) + |
/] Ь |
|
(3.58) |
Б4 ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е
или, в более общем виде,
т—1
y(mT) = Ym(T)y0 + 2 Y k(T)b (m = 1, ...)• (3.59) k=0
Допустим, что система (3.43) не имеет Г-периодического ре шения. Тогда линейная алгебраическая система
[/- У (Т )]Р о = Ь , |
(3.60) |
реализующая условие периодичности решения у (t), несо вместна и, в частности,
det [I — Y (Г)] = 0. |
(3.61) |
Отсюда, в силу известной теоремы алгебры, следует су ществование ненулевого вектора с, являющегося решением сопряженной алгебраической системы
|
|
[/ — Y (Г)]*с = |
0, |
(3.62) |
||
причем |
вектор с не ортогонален |
к правой части системы |
||||
(3.60), |
т. е. |
Ф ,с )ф 0. |
|
|
(3.63) |
|
|
|
|
|
|||
Из уравнения |
(3.62) получаем |
|
|
|
||
и, значит, |
c ^ [ Y ( T ) f c |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
с = |
[У*(71)]*с |
(ft = |
0, |
1, .. .)• |
(3.64) |
Умножая равенство (3.59) справа на с, находим |
|
|||||
|
|
|
|
т |
—1 |
|
|
(у (тТ), с) = (Ym (Г) у0, с) + |
2 (Y k(Т) Ь, с), |
(3.65) |
|||
|
|
|
|
*=о |
|
|
откуда, |
принимая во внимание соотношение (3.64), |
имеем |
||||
|
|
|
m—1 |
|
|
|
(у(пгТ), с) = (уо, [Ym(T)fc) + |
2 (Ь, [Yk (Г)]* с) = |
|
||||
|
|
|
φτ= 0 |
|
|
|
|
= (уо, с) + m (b, с) |
с» |
п р и т -ѵ о о , |
(3.66) |
||
что противоречит ограниченности решения у (t). Следовательно, в условиях теоремы система (3.60) со
вместна и, таким образом, существует по меньшей мере од но Г-периодическое решение неоднородной системы (3.43).
С л е д с т в и е 3.2. Если неоднородная линейная Т-пе- риодическая система не имеет Т-периодических решений, то
