Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

468

ГЛ.

IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

у с т о й ч и в ,

н е у с т о й ч и в

и л и

у с л о в н о

у с т о й ч и в

о т н о с и т е л ь н о

н е к о т о р о г о

т о ч е ч н о г о

м н о г о о б р а з и я

р а з м е р н о с т и

s, т о

и н ­

т е г р а

л ь н о

е

м н о г о

о б

р а з

и е S

с и с т

е м

ы

(1.52) т а к с и с е с

о о т

в е

т с т ­

в е н н о

у с т о й ч и в о ,

н е у с т о й ч и в о

и л и

у с л о в н о у с т о й ч и в о

о т н о ­

с и т е л ь н о

т о ч е ч н о г о

м н о г о о б р а з и я

р а з м е р н о с т и

s.

ТГ = Х(*),

(1-55)

где X,

X — п-векторы, обладает ^-параметрическим семей­

ством решений вида

х =

х °

(% (Ь1) t -f <plf

. . . , com (b™) t + < p m,

b \ . . . ,

6m), (1.56)

где

b'

— ^-вектор,

b! £ U j ,

U j — некоторое

открытое

множество в R ’ ( U j

может состоять из единственной точ­

ки),

ф/ — действительная

постоянная,

— оо <

Ф/ •< оо,

для всех b'

= X°(Ѳ1 + Рь

• • • -

/ =

+ Pm, b\ • • • , Ь")

£

U j ,

— oo <

Qj

<

oo,

1, ..., m ;

k =

m

= 2 dim (Uj ) +

m.

y '= i

C b как множест­

При фиксированном b £ U определяем

во точек (x,

^-пространства, определяемое

соотношениями

вида

X =

X (Ѳг......... В т ,

b),

— оо <

Ѳ/ <

со,

/ = 1, . . . , т;

t £ R.

Обозначим S =

U Cb, S *

=

U

Cb,

где

U *

— любое мно-

жество из U .

b£ U

b £ U *

является а-окрестностью 5* в ( х ,

^-про­

Пусть N a

( S * )

странстве и

(S*) = [ N a (S*)

Л (R n~ l -

5)] U 5*.

§ 1. ОБЗОР РАБОТ

469

При этом следует заметить, что вообще S n ( S* )

не является

окрестностью в обычном смысле, но если S *

= S, TOSÖ (S) —

= N 0 (S).

1.14.

называется

О п р е д е л е н и е

М н о г

о о б р а з и е

S

а с и м п т о

т и ч е

с к и

у с

т

о й ч и в ы м ,

если

для

данного

е > О

и U *

а

U ,

где

U *

— замкнутое

подмножество

U ,

суще­

ствуют

постоянные а >

О, Т

>• О такие,

что

каждое

■ре­

шение

X (0,

для

которого х (Т ) £

S a (S *),

удовлетворяет

соотношению х (t) £

N e ( S * )

для

t >- Т

и,

кроме

того,

d (X ( t ), S) -> 0 при

t - * ■ с ю ,

где

d

(г,

А )

— расстояние от

точки z

£ R n~ l

до множества А

а

R n~ l .

называется

О п р е д е л е н и е

1.15.

М н

о г

о о

б р а з

и

е S

а с и м п т о т и ч е с к и м

у с т о й ч и в ы м

с а с и м п т о т и ч е с к о й

а м п л и т у ­

д о й ,

если 5

является

асимптотически устойчивым

много­

образием и для каждого решения х

(і), для которого х (Т

) £

£ 5С(S*), существует b0 £

U ,

которое

зависит от л: (t)

так,

что d ( х (0.

С Ь о )

-> 0 при

t —V о о .

О п р е д е л е н и е

1.16. М н о г о о б

р а з и е

S

а с

и м п

т о т и ­

ч е с к и

у с т о й ч и в о

с а с и м п т о т и ч е с к о й

а м п л и т у д о й

и

ф а з о й ,

X ( t ) , для которого X ( Т

) £ S a (5*),

существуют

Ь п

£ U ,

<Р/о 6 R

( І =

1,

т )

такие,

что d

(л: ( t ) ,

у

( f )) -> 0

при

/ -V оо , где

у

it) =

х ° [о>і ф і )

t +

ф10,

. . . .

wm (è0m) t +

фш0,

b l ......... ft”].

Предположим теперь, что система уравнений

~ = Z ( z ) ,

(1.57)

где z,

Z — п

-f

k

+

1-векторы,

имеет

(k

+ 1)-параметри-

ческое семейство периодических решений,

заданное в виде

z =

2 ° ( g ( х ) (t

-j- ф), х )

(г°((о +

я),

лг)=2 °(со,

х ) ) ,

(1.58)

гделг = (х1,

. . . ,

x k),

ф = const,

g { x ) >

0,

x £ U ,

— о о <

< ( р <

со .

что

г ° (со,

(х) имеют

Предположим также,

Z ( х ) ,

х ) ,

g

непрерывные вторые производные для всех х

£

U ,

— оо <;

<

со <

оо, г £

U ,

где U

— открытое множество, содержа­

щее решение (1.58),

(со,

Зг° (со,

]

,

,

ранг

дг°

х)

х)

К

(1.59)

Ло

J —

и

л” 1

’

д~х

и п характеристических показателей

(х), .... Х п (х) урав­

нения в вариациях

d z _ _

dz (z° (g (x) (t + <p),

x)

dt ~

dz

- § = Z ( z ) + Z * ( t , г)

(1.60)

ствами, аналогичными

свойствам

многообразия 5

системы

(1.57).

1.10. П

е м а (1.57) у д о

Т е о р е м а

у с т

ь

с и

с т

в л

е т в о р я е т

п е р е ч и с л е н н ы м

в ы ш е

у с л о в и я м

и

S я в л я е т с я

м н о г о о б р а з и е м ,

о п р е д е

л

я е

м ы м

с о о т н

о ш е н и я

м и

(1.58).

Е с

л и

с

у щ

е с т в у ю т

н е п р е р

ы

в н

ы е ф у

н к ц и и

К

(z),

L

(t )

и

Т >> 0 т

а к и

е ,

ч

т о

IIz * ( t ,

z )ü < L (0 /((H )

(1.61)

д л я в с е х X, /> Т

со

и \ L ( t) d t < с о о , т о г д а S я в л я е т с я а с и м п т о -

І

т и ч е с к и

у с т о й ч и в ы м

м н о г о о б р а з и е м

с а с и м п т о т и ч е с к о й а м ­

п л и т у д о й .

Е с л и

в д о п о л н е н и е в ы п о л н я е т с я

т а к ж е

у с л о в и е

со со

(1.62)

I

J L ( u ) d u d t < o o ,

т

t

т и ч е с к о й а м п л и т у д о й

и ф а з о й .

З а м е ч а н и е

1.1. Если 5 состоит только из одного