Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

y

= S ( t ,

cp° + 0

является решением системы (1.22).

Приведем формулировку следующей теоремы [39]

Т е о р е м а

1.3. П

у

с т ь

с

и с

т

е

м а

у

р а в н е н

и й

- | - = / +

Чс(Ѳ)+ХѲ*(Ѳ,

у ,

Я)] =

Ѳ(Ѳ,

у ,

X),

(1.26)

dy

X Y (Ѳ, у ,

“

X)

dt

я

в

л я

е т

с

я

С

(Z/-1)-

(г

>■ 2)

в

ы р о

ж

д

е н

н

о

й

н о р м а

л ь н

о й

с и

с т е м о

й ,

д

л

я

к о

т

о

р

о й

м а т р и

ц а

с

(Ѳ) п

р и н

а

д л е ж и т

к л а

с

с у

С

(L f ~]),

п

р

и

э

т

о

м

с

(Ѳ) =

0. З д е с ь

Ѳ=

(Ѳ1, Ѳ2),

с о

=

=

( с о 1 ,

с о 2) ,

ѳ'

=

(Ѳ'ь

Ѳ*,), с о г

=

(col,

•••,

О*,), г д е

k x

+

+

k 2 =* k .

П у с т ь

в с п о м о г а т е л ь н а я

с и с т е м а

dB1

* f

dt

(1.27)

dy

■ X Y * ( Q \

y),

dt

(Ѳ1

, y)

— э

(Ѳ, у ,

Ѳ2 п

г д е

Y *

т о

с р е д н е е

о т

ф

у

н

к ц

и

и

Y

X) п

о

р и

X — 0, и м е е т

л и н е й ч а т у ю

п е р и о д и ч е с к у ю

q - п о в е р х н о с т ь ,

К

Я

+ I — 1, с у с р е д н е н н ы м и

н о р м а л ь н ы м и

к о о р д и ­

н а т а м и ,

к о т о р а я

я в л я е т с я

п р о с т о й ,

с х а р а к т е р и с т и ч е с к и м

ч и с л о м ,

о т л и ч н ы м

о т

1, и л и

с л а б о - п р о с т о й ,

с

п р е д е л ь н ы м

х а р а к т е р и с т и ч е с к и м

ч и с л о м , м е н ь ш и м

1.

X = О

Т о г д а д л я к а ж д о г о X Ф

0 в н е к о т о р о й о к р е с т н о с т и

с

и

с т

е м

а

( 1. 26)

и

м е

е

т

Х -

с е м е й с т в о

п е р

и о д

и

ч

е с

к и х

q

+

k 2-

п

о

в е

р х

н

о с

т е й

у

=

5;., п р

и

н

а

д л

е ж

а щ

и х

к

л а с с у

С

~ 1( L r~ x), т

а ­

к и х ,

ч т о S u = 0.

пространство

/-вектор-функций,

не­

Обозначим через 5

венных чисел % >

0 (і =

0,

1, ..., г) определим

....

как подмножество элементов а £ 5, для которых

| а' | <

< ті, при / =

0, 1, .... г .

Введем в рассмотрение разрешающие функции для нор­

мальной системы (1.12):

Ѳ = У ( І ,

Ѳ°, у \

X),

y = U ( t , Ѳ°,

у \

X),

(1.28)

определенные

начальными значениями

У (0,

Ѳ®,

сД

X) =

Ѳ®,

U (0, Ѳ®, у 0,

X) =

t f .

(1.29)

§ 1. ОБЗОР РАБОТ

459

Для данного Р

всегда можно найти такие положительные

постоянные Я0, г|0, тц, что если | *| <

/0>| Я| < Х 0и а £

S^n,.

то существует С

г (7/-1)-решение

уравнения

Ѳ* =

¥*(*,

а,

Я,

Ѳ)

(1.30)

Ѳ=. ЧГ (/, Ѳ*,

а (Ѳ*),

X),

где Ч* принадлежит

классу С

( L r~ [).

Теперь для каждого положительного целого N и Я0, г|0,

“Пх» ограниченных так, что ѴР* определено

для

Р

<

/Ѵсо,,

зададим

преобразование

T b ( N ) :

511o>T)l->-S

посредством

соотношения

7\(JV)a(0)=»l/(Mölf

W * ( N o ) l ,

а ,

X,

Ѳ),

a ( ¥ * ( N c о 1г

а ,

X,

Ѳ),

Я)).

(1.31)

Имеет место следующая теорема [39].

(1.15),

(1.16),

Т е о р е м а

1.4.

Н о р

м а л

ь

н ы

е

с

и

с т е

м

ы

(1.17),

п р

и

н а

д л

е ж

а щ и

е

к л

а с с у

С

(L

' ~

x)

( г

>

2),

и

м е

ю

т

е д и н с т в е н н о е

Х - с е м е й с т в о

п е р и о д и ч е с к и х

п о в е р х н о с т е й

у

—

— 5 (Ѳ,

Ѳ,

Я),

п р

и н а

д л

е

ж а щ

и

х к л а с с у

C r~ l

о т

н

о ­

с и т е л ь н о

Ѳ и

к

л а

с с

у

С°

о

т н о

с

и т е л ь

н о

Я,

п

р и

э т о

м

S

(Ѳ,

Ѳ, 0) = 0 т о г д а

и

т о л ь к о

т о г д а ,

к о г д а

с о о т в е т с т в у ю ­

щ е

е у р а в н

е

н и

е

(1.31) и

м

е е

т

е д и

н

с т в

е н

н

о

е

Х -

с

е м е й с т в о

к

р и в ы

х

у

=* а

(Ѳ,

Я),

п

р и

н а д

л

е ж

а

щ и х

к л а с с у

С ' ~

1 ( L r~ l )

п

о

Ѳ и

к л

а с с у

С° п

о

X п

р и

а (Ѳ, 0) = 0 ,

т а

к

ч

т

о

а(Ѳ,

Я) =

а(Ѳ,

Я).

460

ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

значение

которого принадлежит этому множеству, прибли­

-^Г

=

1

+

Н

(Ѳ,

<Р,

2) 2 +

Х Р

(Ѳ,

ф,

2),

=

1

+

К

(Ѳ,

ф,

2 ) 2

+

XQ (Ѳ,

ф,

г),

=

А

(Ѳ,

ф) г +

L

(Ѳ,

ф) г +

I R (Ѳ,

ф,

г),

где Ѳ, ф, L ,

Р ,

Q —

скаляры, а z, Н ,

К ,

R

—

в общем слу­

чае (п — 2)-векторы

и

А

— 1 (п

— 2) X (п

— 2) 1-матрица,

причем Н ,

К ,

L ,

Р ,

Q,

R

£

С 3

и являются периодическими

ства инвариантных торов.

В.

Кайнер [61 ] — [63] обобщил проблему возмущения на

системы векторных

уравнений вида

4

г

=

х '( * і ......... *-).

О-32)

- § - =

*,(*!..........х я , і , Х ) ,

(1.33)

§ 1. ОБЗОР РАБОТ*

461

(1.33)

в

( х , ^-пространстве является ( k +

1)-мерный тор

( в ( k n

+

1)-мерном пространстве).

-§ - =

£ (*).

(1.34)

-аГ = g ( x ) +

e f ( t , X, е),

(1.35)

где X — п-вектор, g ( х ) ,

f (t , х ,

е) — непрерывные и доста­

ществование

инвариантного многообразия

X =

Н (t, Ѳ, е)

(1.36)

такого, что

Я (t, Ѳ, е) =

х° (Ѳ). Им

найдено также явное

ния, принадлежат Дж. Хейлу [211] — [214], [218],

[219].

Приведем некоторые из них *).

Рассмотрим уравнения

-ЗГ = *(*),

(1.37)

% - = X ( x ) + X * ( t , X, е),

(1.38)