Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 189

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

462

ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

 

Предположим, что уравнение (1.37)

имеет Т-периодиче-

ское решение х (0, для которого уравнение в вариациях

 

= *;(*•> (0)8*

(1.39)

имеет ( п — 1) характеристических показателей с отличными

от нуля вещественными частями (один равен нулю). Функ­ ция X — х ° ( t + ф), где ф — произвольная постоянная, так­

же является периодическим решением уравнения (1. 37) для каждого фиксированного ф. Это однопараметрическое се­ мейство решений, заданное функцией x ° ( t -f- ф), определяет в ( п + 1)-мерном пространстве (дг,/) цилиндр S (интеграль­

ное многообразие системы (1. 37)), который в параметриче­ ской форме можно задать в виде

S =

{*, t : x — х ° (Ѳ);

0 < Ѳ < Г ;

t £ R } .

Кроме того,

полагаем, что X

(х) £

С 2, X *

( t , х ,

области

X 6 U с: R n, t £ R ,

е £ Е8о

 

(1.40)

е) ( С! в

и X* ( t , X, 0) =

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При этих предположениях установлена следующая тео­

рема [212].

 

 

1.5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.37)

 

Т е о р е м а

П

у

с

т

ь

о т н о

с и

т

е

л ь

н о

у р

а в н е

н

и й

и

(1.38) в

ы п

о л

н я ю

т

с я

п

р

и в

е д

е

н н ы

е

в

ы

ш

е

у с л о в и я .

Т

о

г д а

в с е г ­

д а м о ж н о

у к а з а т ь т а к и е

д о с т а т о ч н о м а л ы е з н а ч е н и я е0 > 0,

о0 >

0, ч

т о

д л

я

в

с

я к о г о

 

е £ ЕВо

б у

д

у

т

с п

р а в е д л

и в ы

с л

е д

у ю

­

щ и е

у т в е р ж д е н и я .

 

(1.38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1°.

У р

а в

н е н и

е

 

в

 

а„

- о к

р

е с т н о с

т и

ц и

л и

н д р а

S

о б

­

л а д а е т

и з о л и р о в а н н ы м *) и н т е г р а л ь н ы м

м н о г о о б р а з и е м

S t >

п р е д с т а в и м ы м

 

в

п а р а м е т р и ч е с к о й

 

ф о р м е

с о о т н о ш е н и я м и

 

в и

д а

 

 

 

 

 

 

 

Ѳ,

 

е),

 

0 < Ѳ < 7 \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x — f ( t ,

 

 

 

t £ R ,

 

 

 

 

(1.41)

 

 

 

 

 

f ( t ,

 

Ѳ,

 

0) =

x °

(Ѳ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г д е

ф у

н к

ц и

я

}

(/,

Ѳ,

е) — Т

- п е р

и о

д

и

ч е с к а я

п о

Ѳ,

о г

р а

н и

­

ч е н а

и

р а в н о м е р н о

 

н е п р е р ы в н а

в м е с т е

с о

с в о и м и

п е р в ы м и

и

 

в т о р ы м и

ч а с т н ы м и

п р о и з в о д н ы м и

 

п о

Ѳ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*) По

определению,

многообразие

 

S

 

называется

изолированным

интегральным многообразием,

если существует б-окрестность U6 этого

многообразия

такая,

это

 

если

 

S ’ — любое

другое

интегральное

многообразие рассматриваемой системы уравнений и

S' £ U6,

то

S '

лежит в S.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 1. ОБЗОР РАБОТ

463

 

К р о м е

 

т о г о ,

 

с у щ е с т в у е т

 

т а к а я

 

с к а л я р н а я

 

ф у н к ц и я

F (/, 0, е), Т

- п е

р

и о

д

и

ч

е

с

к

а

я

 

п

о

Ѳ,

о

б

л

а

д а

ю

щ а

я

п е

р в ы

м и

 

и

в

т о ­

р ы м и

 

о г р а н и ч е н н ы м и

 

и

 

р а в н о м е р н о - н е п р е р ы в н ы м и

п р о и з в о д ­

н ы м и

 

п о

 

Ѳ,

ч т

о

с

и

с

т

е

м

а

 

(1.38)

н

а

м н о г о

о б

р

а з и и

S a

э

к

в и в а ­

л е н т н а

у р а в н е н и ю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-§ -

 

=

1 +

F { t , e , E ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.42)

 

2°. Е

с

л и

д л

я

к а ж д о г

о

ф и

к

с

и р о

в а н н о г о

е (е £

Ее„) ф

у

н

к

ц и я

X * (t , X, г ) — п о ч т и - п е р и о д и ч е с к а я

 

п о

t р а в н о м е р н о о т н о с и ­

т е л ь н о

 

X £ U ,

 

т о

 

д л я

 

 

к а ж д о г о

ф и к с и р о в а н н о г о

 

е в е к т о р -

ф у н к ц и я

 

f ( t , Ѳ, е) — т а к ж е

 

п о ч т и - п е р и о д и ч е с к а я

п о

 

t р а в ­

н о м е р н о о т н о с и т е л ь н о Ѳи

 

и м е е т

 

т о т

ж е

ч а с т о т н ы й

 

б а з и с ,

ч т о

 

и ф у н к ц и я

 

X * (t , х ,

 

е).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.37)

 

3°.

Е

с

л и

и н т е г р а

л

ь

н о е

 

м

н

о г о

о

б

р

а з и

е

S

у

р а

в

н

е н

и я

 

у с т о й ч и в о ,

н е у с т о й ч и в о

 

и л и

 

у с л о в н о

 

у с т о й ч и в о

 

о т н о с и т е л ь ­

н о

н

е к о

т

о р

о г о

 

т о

ч

е

ч

н

о

г

о

 

м

н

о г о

о

б

р

а

з и

я

р

а

з м

е

р

н о

с

т

и

 

 

s*),

т о

и н т е г р а л ь н о е м н о г о о б р а з и е S 6 т а к ж е б у д е т с о о т в е т с т в е н ­

н о

у с т о й ч и в о ,

н е у с т о й ч и в о

 

 

и л и

у с л о в н о

у с т о й ч и в о

 

о т н о с и ­

т е л ь н о т о ч е ч н о г о м н о г о о б р а з и я р а з м е р н о с т и

 

s.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство этой теоремы основано на идеях и мето­

дах, изложенных нами во второй и третьей главах.

 

 

 

 

[213]

 

Приведем формулировку еще одной теоремы

 

 

Дж.

Хейла о

 

существовании

 

и

свойствах

интегрального

многообразия

 

 

уравнения

вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

=

X

 

(

x

 

)

 

+

 

X * ( ( e t,

X).

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.43)

 

Т е о р е м а

 

1.6.

 

П

у

с

т

ь

 

ф

у

н

к

ц

и я

 

X

 

( х )

 

в

у

р а

в

н е

н и и

(1.43) у д о в л е т в

о р

я

е

т

 

 

у

с

л о

в

и

я

м

 

т

е

о

р е

м

ы

1.5,

 

а

ф

у н

к

ц и я

X *

(т,

х )

н е

п р е

р

ы в

н

а ,

 

р

а

в

н

о

м е р

н

о

о

г

р

а н

и

ч е н а

в м е

с т

е

с о

 

с в о и ­

м и

п е р в ы м и

и

в т о р ы м и

 

ч а с т н ы м и

 

п р о и з в о д н ы м и

п о

 

 

х

 

п р и

т £ R ,

х £

U .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(т,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п о т

 

Т о г д а ,

е с л и

 

ф у

н к

ц

и

я

 

X *

х )

 

п о

ч т и -

п

е р

и

о

д и

ч

н

а

 

р а в н о м е р н о

о т н о с и т е л ь н о

х

 

(• U и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim -^r f X *

(т,

х )

d r =

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

(1-44)

 

 

 

 

 

 

 

 

Гч-оо

 

1

 

$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m o

с у

щ

е

с т

в у ю

т

 

п

о с

т

о

я

н

н

ы е

 

со0 >• 0,

а

0 >

0

 

т

а к

и

е

,

 

 

ч т о

*) Определение устойчивого, неустойчивого, условно устойчивого интегрального многообразия см. во введении (стр. 13).

464

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛ.

 

IX.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д

л я

 

в с я к о

г

о

 

со >-

ш0

 

у

р

а

в н е

н и е

 

(1.43)

и

м е

е

т

е д и н с т в

е

н

н о

е

и н т е г р а л ь н о е

м н о г о о б р а з и е

S a

в

а 0- о к р е с т н о с т и

 

ц и л и н д р а

S н е в о з м у щ е н н о г о у р а в н е н и я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

Sa

 

 

 

S

 

п

р

и

 

о»

 

oo,

 

п

р и

э т

о м

S a

п

а р

а м

е

т

р и ч е

с

к

и

 

п

р

е д

­

с т а в и м о в в и д е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

=

 

f ( a t ,

 

Ѳ, (o-i),

0 < Ѳ < 7 \

t £ R ,

 

 

 

 

 

 

(1.45)

г д е

ф у н к ц и я

/ — Т - п е р и о д и ч е с к а я

п о

Ѳ, и

 

п р и

к а ж д о м

 

ф и к ­

с

и

р

о

в

а

н

н

о

м

 

со >-

со0

 

 

я

в

л я е

т с я

 

п о ч т

и -

п

е р

и о д

и ч е с

к

о

й

 

 

п о

t

р

а

в

н

о

м

е

р

н

о

о

т

н

о с

и т

е

л

ь

н

о

Ѳ(Ѳ £

[0, 7" 1) с

т

е

м

ж

е

ч

а

с

т

о

т

н

ы

м

б

а

з

и с о м ,

 

ч

т

о

 

и

ф у н

к

ц

и

я

 

X *

(ш/, х ) .

Н а

к

о

н е ц

,

м н

о

г

о

о

б

р

а

з и

е

S a

 

б у д е т

 

о б л а д а т ь т е м и

ж е

с в о й с т в а м и у с т о й ч и в о с т и ,

ч т о

и

 

ц

и

л

и

н

д

р

 

S .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дж. Хейл применил также метод интегральных много­ образий к исследованию систем уравнений, описывающих быстрые и медленные движения вида *)

 

 

 

(1.46)

где х , Х

\ у , Y — соответственно т

и п-векторы, А — посто­

янная (п

X п)-матрица, X , Y

— ограничены и равномерно­

непрерывны относительно t,

х , у ,

е и обладают ограничен­

ными и равномерно-непрерывными первыми и вторыми част­

ными производными

по X, у

при

t € R ,

0 -< ||х||-< R u

0 •< 8

ео-

Кроме

того,

предполагается,

что для каждого фиксированного е £ Ево

вектор-функции

X , Y

почти-периодичны по t равномерно относительно х , у

при

ОС

1*1 •< R i, 0 С

||г/| С

R 2

и вещественные части

всех собственных значений матрицы А

отличны от нуля.

Для системы уравнений (1.46) установлена следующая

теорема [213].

 

 

у р а в н е н и й (1.46) у д о в ­

Т е о р е м а 1.7. П у с

т ь с и

с т е м а

л е т в о р я е т

п е р е ч и с л е н н ы м

в ы ш е

у с л о в и я м . П у с т ь т а к ж е

*) В главе III был рассмотрен более общий случай системы типа (1.46), когда матрица А зависит от х, —

 

§ 1. ОБЗОР РАБОТ

465

с у щ е

с т в у е т п е р и о д и ч е с к о е

р

е

ш е

н и е

х 0 (е о t)

( х ° (s -j- 2я) =

= х °

(s)) у р а в н е н и я

 

 

 

 

 

 

 

- % - =

г

Х

0

( х ,

0, 0),

(1.47)

п р и ч е м

с о о т в е т с т в у ю щ е е

е м у

у р а в н е н и е

в

 

в а р и а ц и я х

 

и м е е т

( т —

1) х а р а к т е р и с т и ч е с к и х

п о к а з а т е л е й с н е н у л е в ы м и д е й ­

с т в и т е л ь н ы м и

ч а с т я м и .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

еь о 0 т а к и е ,

 

Т о г д а

с у щ е с т в у ю т

 

п о л о ж и т е л ь н ы е

 

ч и с л а

 

ч т о

д

л я

 

в с е х

е £ Ево

с п р а в е д

л

и в

ы

с

л

е

д

у

ю

щ

и

е

 

у т

в

е

р

ж

д е

н

и

я .

 

1°.

У

р а в н

е

н и я

(1.46) и

м

е ю

 

т

е д

и

н

с

т

в

е

н

н

о

е

и

н

т

е

г

р

а

л ь

н

о е

м н о г о о б р а з и е S , л е ж а щ е е

д л я

 

в с е х

д е й с т в и т е л ь н ы х

 

 

t

в

а0-

о к р е с т н о с т и

ц и л и н д р а :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

—

х ° (Ѳ),

г/=

0,

 

0 < Ѳ < 2 я ,

 

 

t £ R ,

 

 

 

 

(1.48)

п р е д с т а в и м о е п а р а м е т р и ч е с к и в в и д е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

=

f ( t ,

Ѳ, е),

у

=

g

(t ,

Ѳ ,

е),

 

0 <

Ѳ<

 

2я,

 

 

t

£ R,

 

 

г д е

ф у н к ц и и

f , g

— 2 п - п е р и о д и ч е с к и е

 

п о

 

Ѳ, п о ч т и - п е р и о д и -

ч е с к и е п о

t р а в н о м е р н о

о т н о с и т е л ь н о

 

Ѳ д л я

 

к а ж д о г о

 

ф и к с и ­

р о в а н н о г о

ö б ЕЕі и

о б л а д а ю т

р а в н о м е р н о - н е п р е р ы в н ы м и

п р о и з в о д н ы м и

 

п о

Ѳд о

в т о р о г о

 

п о р я д к а

 

в к л ю ч и т е л ь н о ,

к р о м е

т о г

о ,

II / (t,

 

 

е) -

X« (Ѳ) I <

6 (е),

 

I g

(t ,

 

Ѳ,

е) ||<

 

б (е)

 

(1.49)

 

 

Ѳ ,

 

 

 

 

 

п р и

t

£ R ,

0 < Ѳ < 2 я ,

г д е

ö(e)->0

 

п

р

и

 

e->0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°. Е

с л и

ц и л и н д р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

—

х ° ( Ѳ ) ,

у

=

0,

 

0 < Ѳ < 2 я ,

 

 

t

£ R ,

 

 

 

 

(1.50)

я в л я ю щ и й с я

и н т е г р а л ь н ы м м н о г о о б р а з и е м с и с т е м ы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*L =

e X ( x ,

0,

0),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.51)

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

Ay,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у с т о й ч и в ,

н е у с т о й ч и в

и л и

у с л о в н о

 

у с т о й ч и в

 

о т н о с и т е л ь н о

н е к о т о р о г о т о ч е ч н о г о м н о г о о б р а з и я р а з м е р н о с т и

s, т о

 

и н т е ­

г р а

л ь

н о

е

м н

о г

о

о б р

а з и е

S

с и

с т е

м

ы

(1.46) т

о

ж

е

 

с

о о т

в

е

т

с

т

в е

н

н о

у с т о й ч и в о ,

н е у с т о й ч и в о и л и у с л о в н о у с т о й ч и в о о т н о с и т е л ь н о

т о ч е ч н о г о м н о г о о б р а з и я

р а з м е р н о с т и

 

S.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— ~

466 ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дж. Хейлом рассмотрены также системы более общего вида:

 

- ^ - = й + е Ѳ ( і ,

Ѳ, X, у ,

г ),

 

 

—- =

еХ (/,

Ѳ,

X,

у ,

е),

 

(1.52)

 

=

A y +

e Y (t,

Ѳ,

X,

у , е),

 

где Ѳ, d,

Ѳ — fc-векторы,

х, X — m-векторы, у ,

Y — n-век-

торы, А

— постоянная матрица, собственные

числа кото­

рой имеют ненулевые действительные части, d = cos (1,..., 1) вектор-функции Ѳ, X, Y ограничены и равномерно­

непрерывны вместе со своими первыми частными производ­

ными по переменным t,

Ѳ, х, у и вторыми частными производ­

ными по X, у в области

 

t £ R , 0 < Ѳ < 2 я,

х€£/, у £ Ѵ , е£Ее„ (е0> 0 ),

где U , V — открытые множества, лежащие соответственно в

пространствах R m, R n . Кроме того, функция Ѳ, X, Y мно­

гопериодичны по Ѳс вектор-периодом со и для каждого фик­

сированного значения е б Ее„

являются

 

почти-периодиче-

скими по t

равномерно относительно Ѳ, х, у

при 0

<

 

Ѳ <

<

2я, X £ U,

у

 

£ V.

Для системы вида (1.52) доказаны сле­

дующие теоремы [213].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.52)

 

 

Т е о р е м а

 

1.8.

П

у с

т

ь

о

т н

о с

и

т е

л ь

н

о

 

с

и с т

е

м

ы

в ы п о л н я ю т с я

п е р е ч и с л е н н ы е

 

в ы ш е

у с л о в и я .

 

П у с т ь

 

т а к ж е

с р е д н е е

з н а ч е н и е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim і

j X (/+

т,

Ѳ +т,

X,

 

у ,

 

е) d r

—

Х0 (х,

у ,

е)

 

 

 

 

Т~+оо

* Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Ѳ+

т == Ѳх +

т,

. . . ,

 

ѲА-f т)

 

 

 

 

 

 

 

 

н е з а в и с и т о т

і и Ѳ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х° т а к о й ,

 

 

Т о г д а ,

е с л и

 

с у щ е с т в у е т

 

 

п о с т о я н н ы й

в е к т о р

ч

т о

 

X

(х°,

0,

0) =

0

и

д е

й

с

т в

и т

е л ь

н

ы е

ч

а

с

т и

с о

б

с

т в

е

н н ы

х

ч

и с

е

л м

а т р

и ц

ы

 

Х х

(х°,

0,

0)

о

т л

и ч

н

ы

о т

 

н

у л я ,

т

о

м

о

ж н

о

н а й т и

п о л о ж и т е л ь н у ю

п о с т о я н н у ю

 

ех и

 

 

 

т а к и е

 

 

в е к т о р ы

f

( t ,

Ѳ,

е),

g

( t ,

Ѳ,

e)

с о

о т

в

е

т с

т в

е н н о

р а з

м

е

р н

о с т

е

й

т

и

п ,

 

ч

т о

 

ф у

н к ц и и

f

( t , Ѳ, е), g ( t,

Ѳ, e)

 

н е

п

р е

р ы

в

н

ы

no

t,

 

Ѳ, e п р и

t

€

 

R ,

0 <; Ѳ

 

2л,

e (

Eg,,

м

 

н о

г о п

е р и о

д

и ч н ы

 

no

 

Q

c

в

е к

т

о р - п е р

и о д о

м

to,

п о

ч т и

-

п е

р и

о д и

ч

н ы

 

no

 

t

д л

я

 

к а

ж д о г

о

Смотрите также файлы