Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 184

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

476

ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

возмущенных дифференциальных уравнений, а также для уравнений с запаздыванием.

Многие из неупомянутых нами работ указаны в списке литературы.

§ 2. Применение теории периодических поверхностей к изучению орбит спутников

В настоящем приложении изложены результаты С. Дилиберто, В. Кайнера и Р. Фройнда [43] по применению теории периодических поверхностей к задаче определения эволюции свободных орбит спутников при движении вокруг сплюснутой Земли.

В предположении, что для рассматриваемой задачи существует не­ которое семейство периодических поверхностей, исследуется устойчи­ вость орбит, а также предлагается алгоритм для отыскания их прибли­ женного представления.

Выведены дифференциальные уравнения движения спутника вокруг Земли. Полученные уравнения, которые можно интерпретировать как уравнения спаренных гармонических осцилляторов, приводят к че­ тырехмерному фазовому пространству. Дается геометрия этого фазо­ вого пространства.

Приводится описание периодической поверхности (двумерного тора) в рассматриваемом четырехмерном фазовом пространстве. Изучена связь рассматриваемых здесь периодических поверхностей с понятием перио­ дических интегралов.

Получены приближенные выражения для периодических поверхнос­ тей (в предположении, что последние существуют) и приближенные выражения для движения на поверхностях. Полученные формулы приб­ лиженно определяют положение спутника как функцию долготы ср.

1. Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения движения спутника вокруг сплюснутого сферо­ ида в сферической системе координат при отсутствии всех возмущений, кроме влияния силы тяжести, записываются в виде

где V — зависящий от широты гравитационный потенциал

§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ОРБИТ СПУТНИКОВ 47?

G — гравитационная постоянная, М — масса Земли, R —

экваториальный радиус Земли, / — число, являющееся мерой сплюснутости Земли. Поскольку предполагается, что Земля симметрична относительно полярной оси, то

— 0. Тогда последнее из уравнений в (2.1) можно про­

интегрировать, что дает

r 2 s m 2 Q- ^ ~ - = р — const.

(2.3)

Другими словами, вследствие симметрии Земли момент вра­ щения относительно полярной оси — постоянный.

Если р ф . 0, то ф является монотонной функцией t и

может быть использована в качестве независимой перемен­ ной. Удобно ввести две новые зависимые переменные

U ~ cos Ѳ,

W =

rsmG

(2.4)

’

 

' '

Заметим, что этой заменой переменных мы исключаем из рассмотрения все орбиты, проходящие под полюсами или через центр Земли.

Можно непосредственно проверить, что U и W удовлетво­

ряют уравнениям

d ? U , и _

—

4ф2

(1 + U2)s/> ’

- f ^ + № =

------+ Ш 2

----------------------------і —

,

d<Р2

(1 + C / 2)V*

[ ( i+ t/2)V, (1 + £/2)V.J

(2.5)

где

А = G M / p 2, К = I G M R 2/ p 2.

Полученная система четвертого порядка (2.5) описывает движение спутника как функцию долготы ф.

Уравнения (2.5) можно интерпретировать как уравнения спаренных гармонических осцилляторов. Это приводит к геометрии четырехмерного фазового пространства с пере­ менными

X l = U ,

Vl =

W,

I

■ *2

_

dф ’

У* __

dtp

' J

 

 

dU_

 

dW

( 2. 6)

~

478

ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

2. Переменные фазового пространства. Дифференциаль­ ные уравнения в переменных фазового пространства имеют вид:

dx,

Дф- ~ * 2’

dx„ 2kxiy l

dtp

У і '

dy2

dtp = ~ У і

(1+JtJ)',*/. ’

(1 +xj),/*

(i+ * 2)v‘

2\6/»

( і + * 2Г ’

(2.7)

Если бы Земля была сферической, то X равнялось бы ну­

лю, и уравнения (2.7) выродились бы в уравнения

dx1

X,

dtp

= у

 

dtp =

У 2 ’

(2.8)

dx2

— X,

dy2

— +

2v3/s

dtp

dtp

 

 

 

 

(1 +*?)'

Решения x t

(tp), y (

(cp)

связаны посредством последнего

из уравнений (2.8). Однако можно найти такие функции а, (-Д. х 2), что, если ввести новые переменные

г і — У і ~ -

(*і,

х а )

( i = l , 2),

(2.9)

то невозмущенные уравнения (2.8) примут вид

 

dxy

 

dzl

?2>

 

dtp

 

dtp

 

dx9

 

dz2

 

 

"dip"

Х ъ

dtp

 

 

В результате фазовое пространство оказалось представ­ ленным как произведение двух плоскостей. Очевидно, кри­ вые, представляющие решения в плоскостях, являются окружностями.

Вывод функций а, здесь не приводится. Однако можно проверить, что для рассматриваемого случая

«1

4 ( 1 + х\)'!>

А х г х г

(2

. 11)

--------- І---. «2

(1 + х\ + х\) (1 +

 

(1+** + ф

 

 

$ 2. ПРИМЕНЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ОРБИТ СПУТНИКОВ 479

Если теперь в обеих плоскостях ввести полярные коор­ динаты

х

х

=

r x sin Ѳ х ,

zx ~

r2 sin Ѳ2,

( 2.

12)

х

г

=

r x cos Ѳх,

z2 =

г 2cos Ѳ2,

 

 

то невозмущенные уравнения (2.10) примут вид

1А

1’ "ST“ 0 <■'='. 2).

(2.13)

Возмущенные уравнения в этой координатной системе запишутся в виде

= 1 + Х Ѳ І ( Ѳ 1, Ѳ2, rlf Га),

 

 

^

= Щ (

 

Ѳ

Х ,

 

Ѳ2>

Гі>

г,)

 

( / = 1 , 2).

 

Аналитические

 

функции

Ѳ,,

являются 2л-пернодн-

ческими по Ѳ,-.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S i =

sin Ѳ,-,

С; =

cos Ѳ,-, P k ( и )

 

= (1 -f- u2) ft/s,

(2.15)

то тогда получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѳг = 2S\Pb (rxSx) [гА

+

АРа (гх) Р_, (гА)І.

 

Pi =

 

2r1S1ClP5 (rxSx) [гА

 

ЛР2 (гх) Р_і (гХ5Х)],

 

 

— 525 х(1 А)

[гА

 

+

АРа (гх) Р_, (гх5 х)]) х

 

гаѲа =

{25хР5 (г

 

 

 

 

— S2{ 252 4- 2гА

А)

[

2СхС2Р_а (гXSX)

 

 

 

X {АгхР4(гх)

Р х(г

 

 

 

 

 

—гх +

2rxS2)]} —

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

А Р а (гх) Р _і (гА ) 4-

(2.16)

 

+

А2Р Х(гх) Р _2(гх5 х)1 { - 4Р6 (г

 

+ 5Р, (гх5 х)),

Р а =

|25аР 5 (гА ) [гА

+ АР2(гх) РА)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_, (гXSX)]} X

 

X{АгхРх (гх) Рх(гА ) [—2Сх5 2Р _ 2 (гА ) 4-

+5 ХС2 (1 — гх 4* 2rJSj)J} +

4- С2 {rJS| 4- 2гА А Р а (гх) Р_, (гА) +

+ А2Р 4(гх)Р _ 2(гА ) } X

X { - 4P, (гА ) + 5Р7 (гх5х)}. '

Смотрите также файлы