Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

где а — постоянный вектор, А, В, С — постоянные квадрат­

ные матрицы в вещественной канонической форме, причем матрица А имеет собственные значения с отрицательными вещественными частями, В — с нулевыми (допускается В =з Еэ 0), С — с положительными вещественными частями;

обращаются в нуль. Уравнения (1.65) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности критической точки (если в уравнениях (1.65) от­ сутствует Ѳ), в окрестности периодической орбиты (если dim Ѳ= 1),в окрестности периодической поверхности (если dimO > 1).

При сделанных предположениях для случая 3 С к < оо

А. Келли доказал существование единственного инвариант­ ного многообразия уравнений (1.65) следующих типов.

казано существование многообразия (не обязательно един­ ственного) таких типов.

Многообразие типа цешпр-неуапойчивое:

Исследован порядок гладкости найденных функций многообразия. Для 2 •< k < оо, если правые части системы

(1.65) принадлежат Ск, то М г, М~ принадлежат Ск~у. Для 1 < k<oo, если правые части системы (1.65) при­

торых было установлено существование инвариантных мно­ гообразий М*+ , М*, М*~:

474 ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

интегральных многообразий для абстрактных потоков так, чтобы можно было применить ее как к обыкновенным диф­ ференциальным уравнениям в банаховом пространстве, так и к функциональным уравнениям с запаздывающим аргу­ ментом.

Ряд интересных результатов в этом направлении по­ лучил К. Пальмер [168]. Он изучил проблему существова­ ния интегральных многообразий, трактуя ее, как и Курцвейль, как интегрально малую возмущенную проблему. Од­ нако, хотя метод Пальмера имеет много общего с методом Курцвейля, в основном он отличен от него. В частности, Курцвейль получает существование интегрального многооб­ разия из существования решений, ограниченных на полу­ оси, в то время как Пальмер — из существования решений, ограниченных на всей оси. Это сразу дает единственность многообразия без рассмотрения свойств устойчивости.

Общая схема доказательства существования интеграль­ ных многообразий, разработанная Я. Курцвейлем, поз­ волила А. Халанаю [205] — [207] получить ряд результатов в области дальнейшего развития теории инвариантных мно­ гообразий для систем с запаздыванием.

Важные результаты в области исследования проблемы возмущения инвариантных поверхностей получены Р. Сакером [180] — [182].

является интегральным многообразием системы (1.67), тогда X (t ) = / (Ѳ (*)), где Ѳ(/) — решение уравнения

должно удовлетворять уравнению (1.67)^

Таким образом, задача определения многообразия све­ лась к решению этого уравнения.

Случай, когда w, А не зависит от Ѳ, довольно простой,

так как позволяет интегрировать вдоль характеристик, и в результате приходим к методу, который применялся нами ранее.

Если имеются значения Ѳ, для которых w (Ѳ) 0, то

задача значительно усложняется, так как решения не будут, вообще говоря, так же гладки, как и коэффициенты в урав­ нении. Свойства гладкости решений зависят от до, А .

Другой возникающей трудностью в этой проблеме яв­ ляется тот факт, что обычный метод итераций связан с по­ терей производных. Чтобы избежать эту трудность, Р. Сакер решает при каждой итерации эллиптическое уравнение

для малого р, где Дѳ — оператор Лапласа, вводя, таким об­ разом, сцепляющий член рДѳ/.

Тогда решения имеют столько производных, сколько нужно. Однако здесь необходим тонкий анализ, чтобы при р -> 0 получить решение исходного уравнения.

Разработанные Р. Сакером итерационные методы реше­ ния уравнения (1.69) представляют большой вклад в реше­ ние проблемы возмущения инвариантных многообразий.

В нашем кратком обзоре упомянуты далеко не все ра­ боты, посвященные исследованию инвариантных много­ образий.

в которых используются топологические методы. Мы также не упомянули о работах Н. Чейфи [225], С. Серно [189], Ш. Семна [188], Чин-ханг Ченга [226] и др., связанных с рассмотрением интегральных многообразий для сингулярно­