480ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
3.Периодические поверхности. Если рг и р2 постоянны, то уравнения
x1 = p1sinQ1, |
Zl = |
pssin0a, |
1 |
■ |
|
х2 — р1cos0x, |
z2~ |
p 2cos02 |
) |
\ |
> |
определяют двумерный тор в четырехмерном фазовом про странстве. Он порожден решениями невозмущенных уравне ний (2.13), т. е.
Ѳ,- = ф + ѵ{, ri = pi |
( і= 1 ,2 ) , |
(2.18) |
где Ѵ{, Pi — начальные значения. Каждая точка тора лежит на одной и только одной кривой — решении. Более того, любое решение, касающееся поверхности в одной точке, должно фактически полностью лежать на поверхности. Этот тор является примером двупериодической поверхности.
Согласно определению, приведенному в § 1 этой главы, двупериодической поверхностью уравнений (2.14) является поверхность пары аналитических функций
гі = Si (Ѳі, Ѳ2, Я) ( t = l ,2 ) , |
(2.19) |
определенных для всех (Ѳх, Ѳ2) и для некоторой окрестности к = 0, 2я-периодических по Ѳг и таких, что если
то функции г( (ф), Ѳг (ф), принимающие начальные значения
Гі (Фо) = Ph ѳі (фо) = |
vh |
(2-21) |
удовлетворяют соотношению |
|
|
/■/(Ф) = 5НѲ1(Ф). Ѳ2(Ф), |
к) |
(2.22) |
для — о о <; ф < о о . |
|
|
Тор, приведенный как пример двупериодической поверх ности, зависит от двух параметров р х и р2 — радиусов его нормальных сечений. Очевидно, если рх и р2 стремятся к нулю, тор стягивается в тривиальное решение
0 = 0, г2 — 0. (2.23)
Двупараметрическое семейство торов обладает свойством полноты, которое будет определено в конце этого пункта. Решение, которое может рассматриваться как центр семей ства включенных друг в друга торов, является единствен ной круговой орбитой в экваториальной плоскости, соответ ствующей взятому значению р — составляющей углового
§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ОРБИТ СПУТНИКОВ і 481
момента относительно полярной оси. В фазовом пространст ве это решение представляется критической точкой системы дифференциальных уравнений.
Основной изучаемой здесь математической проблемой является следующая проблема. Существует ли полное се мейство вложенных друг в друга двупериодических поверх ностей, когда X — параметр сжатия — отличен от нуля? В этом параграфе излагается некоторая приближенная схе ма, основанная на предположении, что такие поверхности существуют.
Рассматриваемые здесь периодические поверхности тес но связаны с понятием периодических интегралов.
О п р е д е л е н и е 2.1. Уравнения (2.14) имеют пару независимых периодических интегралов, если существуют две аналитические функции Н{ (Ѳх, Ѳ2, rx, r2, X) (i — 1, 2), 2л-периодические по Ѳ,, которые независимы, т. е.
(2-24)
и являются интегралами, т. е. для решений rt (cp), Ѳ,- (cp):
Ні ФЛф), Ѳ2(ф), гх(ф), г2(ф), Я.) = р ,= const; (2.25) Н{ — нормализованы, если
Ні (Ѳх, Ѳ2, гь г2, 0) = г(. |
(2.26) |
Пара независимых периодических интегралов определяет двумерную поверхность — пересечение поверхностей уров ня Ht = pt. Эта поверхность является периодической по верхностью, определяемой тремя параметрами ръ р2 и X. Разрешая Н( относительно rt, мы получим St как функции Ѳх, Ѳ3 и трех параметров. Если Ht нормализовано, тогда так же нормализованы St, т. е.
rt — S { = Pi -f Я-S, (Ѳх, Ѳ2, ръ р2, X). |
(2.27) |
Это рассуждение показывает, что периодические поверх ности можно считать обращениями периодических инте гралов.
Пару периодических интегралов можно также интерпре тировать как определяющую такую замену переменных р, == = Ht, что дифференциальные уравнения для гс заменятся следующими:
^ - = 0 |
( / = 1 , 2). |
(2.28) |
16 Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова
482 ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Это приводит к удобному определению полного нормали зованного семейства двупериодических поверхностей.
О п р е д е л е н и е 2.2. Нормализованное семейство двупериодических поверхностей для уравнений (2.14)
представляется парой аналитических функций S{ (Ѳъ Ѳ.,, Pi. Рг> ^), 2я-периодических по Ѳ, таких, что определенная формулами (2.27) замена переменных приводит к дифферен циальным уравнениям (2.28). Говорят, что семейство пол
ное, если5(- (Ѳх, Ѳ2, О, О, Ц = 0.
Геометрия полного нормализованного семейства двупе риодических поверхностей является геометрией примера с тором, т. е. поверхности по существу являются концентри ческими трубками, расположенными вокруг точки, опреде ляемой условиями г{ = 0. Если параметры рс стремятся
кнулю, то трубки стягиваются в точку.
4.Периодические интегральные разложения. Интеграл системы дифференциальных уравнений (2.14) может рас
сматриваться как решение дифференциального |
уравнения |
в частных производных |
|
|
2 |
№} - 0- |
(2-29) |
S jJ| l 1+“ /1 +n f c |
Так как пара аналитических нормализованных интег |
ралов может быть записана в виде |
|
|
с о |
|
|
Ні ~ гі + 2 кпНп(Ѳ!, |
Ѳ2, rlt r2), |
(2.30) |
/і=і |
|
|
то дифференциальное уравнение в частных производных (2.29) может быть заменено бесконечным числом уравнений
д Н[ |
д Н \ |
|
(*' = |
1.2), |
|
~дОГ |
ж |
|
(2.31) |
М п1 |
дН] |
|
|
|
2, |
|
|
|
|
Ö0j |
+ - ö T = PH^ |
« |
> |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
PH = ■s |
|
d H , n |
d H |
(2.32) |
ѳ ' |
м і + R' W |
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
Интересно заметать, что в то время как уравнение (2.29) для периодических интегралов является линейным,
§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ОРБИТ СПУТНИКОВ |
483 |
соответствующее уравнение для периодических поверхно стей нелинейно. Последнее уравнение получается путем дифференцирования выражения (2.27):
(1 + Щ ) = 1 ( 1 + к Ѳ г) Ц - + X (1 + ЯѲ2) - Ц . (2.33)
Здесь нелинейность происходит от того, что Rt и Ѳ(- являются функциями Si и S.2, т. е.
ѳ, = Ѳ, (0lf Ѳ2, рх + kSb р2+ kS2). |
(2.34) |
Очевидно, когда речь идет о существовании, то лучше бу дет изучать периодические интегралы. С другой стороны, периодические поверхности имеют более прямую связь с решениями исходных дифференциальных уравнений и могут быть использованы для целей нахождения приближенного решения. Линейные дифференциальные уравнения, опреде
ляющие функции Н1п, совсем просты.
Приводимая ниже элементарная теорема, касающаяся последних уравнений, является основной для нашего рас
смотрения. |
Необходимым и |
достаточным усло |
Т е о р е м а 2.1. |
вием того, чтобы для уравнения |
|
ж |
+ ж = г(Ѳ * '(у |
(2'35) |
существовало двупериодическое решение, является то, чтобы двупериодическая непрерывная функция g удовлетворяла уравнению
2Я |
|
Щ — Ü 6 g (Ѳі + *’ Ѳ2 + 0 dt = °- |
(2-36) |
Обе функции f u g должны иметь период 2л. по Oj и Ѳа.
Из этой теоремы следует, что первые из уравнений (2.31) будут иметь периодические решения тогда и только тогда,
когда |
(і= 1, 2). |
(2.37) |
MR( = О |
Пусть соотношение (2.37) имеет место. Тогда решение диф ференциального уравнения (2.31) можно записать в виде
Н[ = QRt + К (Ѳ2 - 9J, |
(2.38) |
484 ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
где оператор |
Q определяется посредством выражения |
|
|
2Л |
|
|
Qg = |
~2^" j |
tg (0! -f- t, Ѳ2 + f) dt\ |
(2.39) |
|
|
б |
|
|
h\ являются |
периодическими функциями, |
подлежащими |
определению. |
|
|
|
|
Имеем |
дН1 |
дН1 |
|
|
|
|
~ w |
+ ^ |
t ==PQRi + Phi- |
{2А0) |
Уравнения |
MP (QRt + h[) = 0 |
(2.41) |
|
|
должны удовлетворяться, когда Н2 — периодические. Сле довательно, подставляя в (2.41) выражение для Р (2.32),
для определения h\ находим следующее дифференциальное уравнение:
|
M P Q Ri |
где ф = Ѳ2 — Ѳѵ |
(2.42) |
|
'ЩѲ.-Ѳі) |
|
|
|
Для проблемы спутников знаменатель в (2.42) отличен от нуля.
Если h\ должны быть периодическими, то
2л
О= h[ (2л) - h[ (0) = j |
j d$. |
(2.43) |
о |
|
|
Это — другое условие, которому должны удовлетворять дифференциальные уравнения. Продолжая таким же об разом, можно получить бесконечное число условий. Функ
ции Ііт определяются при помощи этой процедуры с точ ностью до аддитивной постоянной. Удобно нормализовать их, требуя, чтобы
5. Преобразование уравнения для s 2 -Необходимым условием того, чтобы уравнения движения спутника имели полное семейство двупериодических поверхностей, является условие
MPj = 0 ( і = 1,2) . |
(2.45) |
