Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 179

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ОРБИТ СПУТНИКОВ

 

485

Можно показать [37], что

 

 

MR, =

О,

 

 

 

MR2 =

[г2К (г,) sin2ij>]/2n,

(2.46)

МѲг — L,(r,)l2я,

 

 

МѲa =

[L2 (гг) + К (г,) cos 2і|з]/2п, ,

 

 

где

 

 

 

 

if, = 02 — Ѳ1(

 

 

L ,(r,)= 2 n A (l

+ r\)~'u

 

 

L2(^г) —

яЛ

(1 + ^ - / * ( 4 - 2 ^ - ^ ) ,

(2.47)

лЛ

 

 

 

Поэтому нужно искать другую координатную систему,

в

которой разложение возможно.

 

г.

Совершим преобразование уравнений относительно

Г1— $1> Г2 — g (Ѳі, 02’ Sl> Si)

так, чтобы

ds,:

d(p = КТ,ф„ 0a, slt Sa)

MTt = 0.

В результате дифференцирования (2.48) получаем

KR, = Ä7\,

(2.48)

(2.49)

(2.50)

^ 2 = ^ ( І +ЯѲ1) f “Ж- (1 + ^®г) +

■ (2.51)

<?Ѳ ,

Ж " ^ 2 -

I

*2 2

j

Члены нулевого порядка по К будут обращаться в нуль, если g = g (Ѳа — 0!, s,, s2). Условие (2.50) будет удовлетво­ ряться, если

 

MR2= М |[Ѳа — 0 J

(2.52)

Так как Mg =

g и Л4 (Ѳ3 — Ѳх) Ф 0, то в качестве функции

g (Ѳ2 — 01т Sj,

s2) берется решение дифференциального

уравнения

 

 

dg _ _

MR2_________________— К (г,) sin 2i|)

,9 ,,,

Шр ~ / Ѵ П Ѳ . - Ѳ О

L 1 (r~l) - L i (r1) - K ( r l) z o s 2

$ s 1

'

48 6

ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

такое,

что

 

(2.54)

 

g{0.

Si, s2) = s2.

Следовательно

 

 

 

' ' 2 = g(02 — ѳі. si,

s2) = s2[l + s2sin2i}i] Vj.

(2.55)

Теперь условия МТ,- = 0 удовлетворяются.

 

Дифференциальные уравнения будут иметь вид:

 

(2.56)

где

В следующем пункте будет показано, что s2 пропорцио­ нально значению эксцентриситета мгновенного оскулирующего эллипса орбиты.

6. Интеграл энергии. Формальные разложения периоди­ ческих интегралов, которые были получены в п. 4, не зави­ сят от периодического интеграла, существование которого известно, а именно, от интеграла энергии. В настоящем пунк­ те показывается, что # 2 — интеграл, связанный с перемен­

ной s2,— является

по существу интегралом энергии. Этот

факт приводит к удобной формуле для расчета s2.

 

Уравнение г2 =

g может быть записано также в виде

4 =

4 [1 + r\ sin2 (Ѳ2 -

6J]

(2.57)

или

 

 

 

 

 

 

4 =

(4 + 4) +

(*1*8 -

*2д)2.

(2.58)

где, как и в п. 2,

 

 

 

 

 

 

хі =

ri sin Ѳі,

х2 — rl sin Ѳъ

 

zx =

г2

sin Ѳ2 =

у2— (хѵ х2),

(2.59)

z2 = r 2cosQ2 = y1 — a2(x1, x 2). .

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

« 2 = у\ + УІ + (хіУі — хгУ2 ? +

+ а 2 + ß2 —

 

 

-

2 [у1 (at +

хф) +

у2(а2 — xxß)),

(2.60)

§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ОРБИТ СПУТНИКОВ 487

где

 

ß = агх 2— а 2хг.

 

(2.61)

 

 

 

Если квадрат скорости записан в сферических коор­

динатах, то тогда имеем

 

 

 

 

 

Ѵ2 =

 

d&

+

г2sin20

(2.62)

 

dt

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у \+ у\\.

(2.63)

V2 =

Р г

-

х 2у , ) 2 +

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

jT + “ і + аі +

ß2 — 2 {Уі ( « 1

+

Х$) + #2 («2 —

* l ß ) } -

 

 

 

 

 

 

 

(2.64)

Используя уравнения (2.11), определяющие а(, имеем

а 2 — х$ = 0, а х + x 2ß :

 

А

 

(1

 

 

 

 

 

 

(2.65)

а Г + а 2 +

ß2

А 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 + s 2) '

 

 

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А2

 

Ь2 —

р2

2УіА

 

 

(2.66)

а +

*;)’/•

 

о + s2)

 

 

 

 

Сдругой стороны, интеграл энергии может быть записан

ввиде

2Е

V2

2Л

 

2Х

— cos2 Ѳ

(2.67)

Р‘р2

Р2

г

 

 

 

 

 

 

Замечая, что

 

УіА

 

А_

 

 

 

 

 

 

( 2. 68)

 

(1 +

•2р/а

г

 

 

**)

 

 

 

 

получаем желаемый результат:

 

 

 

62 ■

А ___ 2Е_ ,

_2^

COS20

(2.69)

С" -

(1 + s J )

+

Р2

+

^

 

 

 

 

 

Угловой момент на единицу массы выражается формулой

или

Я2 = г4

£ - )

+

* ” № '

(2.70)

Я 2 =

р2[1 + s 2].

 

(2.71)

 

 

488

ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Значит,

Э5II 4со

(2.72)

где i является углом наклона плоскости орбиты. Эксцентриситет мгновенного оскулирующего эллипса

удовлетворяет уравнению

2 _

1

 

2Е„Н*

 

(2.73)

 

 

^ ( G M f

’

где

 

 

 

 

 

 

 

В0 =

= Е +

 

[-І- - cos2 Ѳ' ,

(2.74)

Е — полная энергия на единицу массы.

 

Отсюда следует, что

 

е2А2

 

 

о

 

 

(2.75)

^2 —

1 + S2

 

 

 

1

1

 

 

7. Угловой момент. Переменная sx

связана с Н,

угло-

вым моментом на единицу массы, уравнением

 

Н 2 = р Ң \ + з 1 ) .

 

(2.76)

Следовательно, метод нахождения приближенного вы­ ражения для s* имеет самостоятельный интерес. Однако его роль здесь сводится к определению членов первого порядка в разложении двупериодической поверхности.

Удобно использовать обозначения п. 1. Вспомним, что

 

 

 

 

s’ =

y ! + ( - i T -

 

 

 

<2 77>

Если

первое

из

уравнений

(2.5)

умножить

на

dU

dtp

 

 

dW , то тогда их можно записать в

 

а второе — на

виде

 

 

 

diр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dU

+ U2

2

1R2AW 4 -

(1

+ t/2)3/z

 

 

 

 

dtp

 

 

3

 

дер

 

 

 

= — /R 2 _А_

 

AW

----—/.

R2A

dW

’

 

3

dtp

(1 + U2)s/‘

3

(1 +

U 2) 7*

dtp

(2.78)

d

d W \2

 

Г 2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 dtp

dtp )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 +

U2)v’

dW

/R 4 W 2 dW

(1 + t/2)7/*

 

 

 

d(P

 

d<P

 

 

§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ОРБИТ СПУТНИКОВ

489

Следовательно,

 

 

 

dW

4- Г 2 -

 

2A W

 

 

 

 

dcp

(1 +

U 2) ' г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4- PR1AW2

(1 — AU2)

dW •

(2.79)

 

 

 

3

 

 

(1

■ (/2)7/>

 

 

Если проинтегрировать (2.79), то получим

 

 

d U у

 

 

 

 

IR2

2AW

 

 

 

dcp

 

 

 

 

(1 +

U 2) ‘

 

 

 

 

 

 

L

 

 

2A W n

dW

Jо 1 n 0 -

 

dW

W2

 

0{P).

(2.80)

(1 + U 2 )3/‘

+ \dq>

\ dcp

 

• Верхний или нижний нулевой индекс, например, ^

dU

^

или s° обозначает

начальное

значение. Следовательно,

Sl= (sJ)2-

 

si>

2

 

GoJ,

(2.81)

 

^ )

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

-

(2.82)

 

 

 

(1 + U2fi°

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (2.81)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>2 ) — ö0] + 0 (Я2),

(2.83)

и предполагаемое разложение

 

 

 

 

 

 

 

si — Pi

 

^5} (Ѳ1; Ѳ2,

> Ръ) +

0 (Я2).

(2.84)

Эти два выражения связаны тем,

что для

всех

Ѳ2

0(0!,

Ѳ2, ръ

р2) —5І(ѳь

Ѳ2 . Рі> р2) =

const.

(2.85)

Это можно показать подстановкой (2.84) в (2.83). В ре­

зультате получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si =

s? + Я [G(01; Ѳ2, ръ

р2) -

G0] +

о (Я2).

(2.86)

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 == Pl -

s? + ÂG0 +

Я [S\ -

G] +

О (Я2).

(2.87)

Поскольку Sj и G — периодические по 0j и Ѳ2, то

 

 

5} =

2

аптехр [і (п0! +

тѲ2)],

 

 

(2.88)

 

G =

2

gnm exp [г («0! -f ягѲ2)].

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы