Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 177

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

490 ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Поэтому

a nm = g n ,n , если п 1 - \ ~ т г Ф 0.

(2.89)

Формулы (2.81) и (2.69) можно использовать для расчета Si и s2, если в выражениях, умноженных на А, использовать

решения невозмущенных уравнений.

решений Ѳ. Будем теперь

8.

Определение

приближенных

аппроксимировать периодические поверхности с точностью

до членов первого порядка выражением

 

 

 

 

 

s. =

S» + я {Gi (Ѳ1;

Ѳ2,

4,

s°) -

GJ},

(2.90)

где функции Gi определяются из уравнений (2.69) и (2.81).

С точностью до членов первого порядка

дифференциальные

уравнения на поверхности имеют вид

 

 

 

 

 

 

dQj

+ Щ (0lf

Ѳ2, s

i

g (Ѳ2 -

01;

s i s»)).

(2.91)

 

dtp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажем теперь, что уравнения (2.91) можно преобра­

зовать с помощью формальной замены переменных

в три­

виальную систему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dqi

 

1 + 2

аМп).

 

 

 

(2.92)

 

 

бІф

 

 

 

 

Желаемой формой преобразования является

 

 

Щ= Ѳ, + А? (Ѳ2 -

Ѳх) +

S

А,” {hf (Ѳ2 -

Ѳх) +

В? (Ѳ1; Ѳ2)},

 

 

 

,!_1

 

 

 

 

 

 

(2.93)

где hl — аналитические

функции,

2я-периодические по

Ѳ2 — Ѳі, и Впі — аналитические функции,

 

2я-периодические

по Ѳх и Ѳ2. Заметим, что при А = 0 дифференциальные урав­

нения тождественны, но (2.93) не сводится к тождественно­

му преобразованию.

 

 

 

 

 

 

Ѳ(- (ф) находятся

Как только

q( (ф) известны из (2.92),

посредством обращения равенства (2.93). Если (2.93) про­

дифференцировать, то получим

 

 

 

 

 

 

 

1 + V

хпс\п) =

1 + АѲ£+

А[Ѳ2 -

0 J

У Г

 

dh"

 

 

ch|) +

 

п= I

 

 

 

 

 

 

п= 0

 

 

 

 

+ 5 > "

дВІ

Щ

+ А

Ѳі

 

+

Ѳ2

.

(2.94)

дѲі

дѲ2

00!

п= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ОРБИТ СПУТНИКОВ

491

Следовательно, В" должны удовлетворять дифференци­ альным уравнениям в частных производных

дБ) дВ\

дѲг 1 дѲ._

dB? dB?

дВі дѲ,

+ Ѳ,

...

[Ѳ, -

 

dhf

+ 0 <f

 

 

Ѳ ,]- ^

 

= cl(п)

[Ѳ, - в,]

dhT1

,

+

\ (2.95)

d BЛ—I

ѳ2

ößл— 1

,

n > 2 .

 

+

дѲ2

 

Ö0! ^

2

 

 

 

Чтобы обеспечить периодичность ß", нужно выбрать А? таким образом, чтобы

„О)

dhУ

 

 

 

МѲ„

 

 

£-Л*ІѲа - Ѳ х] +

 

 

 

 

d-ф

 

 

 

 

 

 

 

d/ф-1

 

 

 

 

 

 

е Г

d-ф м

[Ѳа — ѲіІ +

 

} (2.96)

 

 

 

п—1

 

 

п—1

 

 

 

м

dß?

— Ѳ,

 

dB?

 

 

 

ѳ,

(50!

 

<5Ѳ ,

п >

2. I

Чтобы обеспечить периодичность h", нужно так выбрать

постоянные сТ\

чтобы

 

 

 

 

 

 

 

 

2я

 

 

 

 

 

А) (2я) -

А' (0) =

J [cf» — МѲіі di|)

= 0,

 

 

 

 

 

М [Ѳ2 -

 

ÖJ

 

 

hnr l (2л) - АГ' (0)

 

 

 

 

 

(2.97)

 

 

 

п-

i

 

,п—1

2^С с ^ - М

Ѳі

dB

+ ®

 

dB?

 

 

Ö0!

2

дѲя

с?ф =

0,

 

 

 

 

 

d

 

М [ В о — 0 J

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

п > 2.

Поскольку указанные выше условия накладываются на производные от А”, то требуется некоторый вид нормализа­

ции. Удобно положить А?

= 0.

492

ГЛ. IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Тогда BnL даются выражениями

5 i1=

Q{cil)- [ 0 a - 0

 

dir.

- 0

1

 

1]-1 ^

 

B? =

Q

cln) -

[Ѳ 2 -

 

0 J

d/i'и—1

 

 

 

di|)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fl—1

 

 

 

fl—1 1

 

 

 

-

Ѳ,

dB?

 

 

 

dBL

, n > 2 .

 

 

 

 

Ѳ,

<эѳ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя формулы

п. 5, получаем

 

 

 

Д4Ѳ* =

LlJ S^ = const.

 

Следовательно,

1

 

 

2л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим

 

cl!) =

Lx(sJ)/2jt,

h\ =

0.

 

Д Ѳ

=

2Ѳ-

Ѳ

1,

ВA =

В\ — В\,

]

 

 

Ac = 4 1) — с<‘>,

Aq = q2 — qv

j

Из (2.96) и (2.98) следует, что

(2.98)

(2.99)

(2. 100)

( 2. 101)

АВ = міѳТ -Ѳ іІ Q {м [ ® 2 “ Ѳ і ]

- [ Ѳ з

~

Ѳ і ] } >

( 2. 102)

 

 

 

 

=

Q {ЛТѲ , — Ѳ х}.

 

 

 

Для численных расчетов разложение (2.93) было

заме­

нено выражением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q1 = e1 — Щ ,

Aq = АО +

А®(АѲ) +

КAB

(2.103)

(сюда можно было бы включить и функции

h\ (АО), но они

еще не определены).

 

 

 

 

 

 

 

Можно проверить, что

 

 

 

 

 

„

я

дѳ

(

 

сР — МѲ »

 

 

 

 

 

Г

+

 

 

 

 

АѲ + А®(ДѲ)=^-+j

1

 

 

 

 

 

 

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

__

я

дѳ

Г

cdtyА

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

“

Т "

'

Jл м [ Ѳ2— Ѳ х] *

 

 

 

 

т

“ - f + tg~’ {(* + (Si)2> 1/!tg (АѲ - - f f i • (2-104)

§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ОРБИТ СПУТНИКОВ

493

При выводе выражения (2.103) использовалось легко получаемое уравнение

А_ (4 - (^)а)

(2.105)

2 (1 + (SJ)2)3

Функции Ѳ; (ср) получаются итерацией с помощью вы­ ражений

ДѲ

я

tg-1 (1 + (®i)2)

tg

- Aq j + ХАВ (ѲІУ ДѲ) і,

т

 

 

ДѲ).

 

(2.106)

 

 

 

 

 

Начальным приближением является решение невозму­

щенной проблемы, т. е. Ѳг =

Ѳ? +

(ф — ф°).

Детали расчета функций В\ и Aß здесь не будут приве­ дены. Однако следует отметить, что функции Ѳ£ — Л1ѲС можно записать в виде сумм произведений вида k (ДѲ)/ (0t), где M f — 0. Поэтому можно использовать формулу

Ѳ,

2Я

t

 

Qf (Ѳі) = ( / (s) ds---- ---

J

j f (s) ds dt.

(2.107)

Формулы для ßi и Aß ввиду громоздкости не приводим. Из этих же соображений не приводятся формулы, по кото­ рым составляется программа для численных расчетов. По­ дробно об этом см. [44].

Смотрите также файлы