Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 190
Скачиваний: 1
60 |
ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е |
|
|
Выбрав затем константу Липшица N столь малой, чтобы |
|
|
N < ж - |
Р -76> |
из неравенства (3.74), учитывая, что Гх < Н/2, получим
sup II Sp (О II < Г, Ч— ~ < |
Н. |
|
t |
* |
|
Таким образом, при N, удовлетворяющем условию |
||
(3.75), получаем, |
что если у (і) £ Rn, то |
Sy (t) £ Rn■ |
Введя далее для двух функций у (і) и г (/) расстояние |
||
р(у, г) — sup I) у (0 — 2 (0 |
||, |
превратим Rn в метрическое пространство, причем это про странство будет полное. Покажем теперь, что отображение Sy (t) является сжатием.
Для у (t), z (t) £ Rn можем написать
с о
Sy (/) = j G(t — т)/(т, у (т)) dx,
Sz (0 |
I |
G(t — x)f(x, z ( T ) ) dx. |
|
Отсюда, используя условие 4° теоремы, получаем
|
|
СО |
||S«/(if) — S z (01 |
sup!0(0 — 2(011 |
i ||G(< — т )|Л = |
|
1 |
—то |
|
|
= Nip {у, z). |
Из этого неравенства находим
Р (Sy, Sz) < qp (у, г),
где
q = NX < |
. |
Таким образом, выполнены все условия принципа сжа тых отображений, и следовательно, существует непрерыв ное, ограниченное на оси R решение у* (t) интегрального уравнения (3.71), а значит, и дифференциальной системы уравнений (3.68), причем
sup|j,y*(0l<
§ 3. СВЕДЕНИЯ и з ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 61
Это решение может быть найдено методом последователь ных приближений
00
У° (0 = |
] |
G(t — т)/ (т, 0) dr, |
|
—со |
|
|
с о |
|
/ ( 0 = |
J |
G ( t - r ) f ( x , y p- l (r))dr ( д = 1,2,...). |
|
—оо |
|
Для доказательства последнего утверждения теоремы положим
9(f) = f ( t ) + x.
В результате получим |
|
|
|
||
|
|
AY |
|
|
(3.76) |
|
|
= Ax + Vtf, X), |
|
||
где |
|
x) = f(t, |
+ |
УЧі))- |
|
4(t, |
|
||||
Очевидно, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
4(t, 0) = О, |
|
|
|
I¥ |
(t, x') - ¥ |
{t, X") II < N Ix' - |
X" II, |
(3.77) |
|
причем ¥ (t, х) |
0 при |
х -> 0. |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
Легко видеть, что система (3.76) удовлетворяет условиям теоремы 3.10 об условной устойчивости и, следовательно,
будут существовать точечные многообразия 9Й и Ш^-т, обладающие, соответственно, свойствами (3.69) и (3.70).
С л е д с т в и е |
3.3. Если |
f (t, у) — Т-периодическая |
|
функция t, |
mo ограниченное решение у* (/) — также Т-пе- |
||
риодично. |
|
согласно (3.71) можем написать |
|
Действительно, |
|||
|
СО |
|
|
У*(^ + 71) = |
] G(t + Т — т)/(т, y*(r))dx = |
||
|
00 |
|
|
= |
i G(i — x)f(x + T, у* (т + Т)) dx = |
||
|
|
= \ |
G(t — t)f(x,9*(x+T))dTr |
€2 ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е
откуда
с о
Ц ^ + Л - у Ч О К 1' l | G ( < - T ) i l / ( T , ^ ( T + D ) -
—с о
— / ( Т , у* ( Т ) ) 1 dx < N s u p I у* (t + т ) — у* ( О I X,
t
где
о о
|
Х = j' |
IIG (01 Л. |
|
|
Поэтому |
—с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
sup II у* (t + Т) - |
у* (0II < |
XN sup Iу* (t + |
Т) - |
у* (01|. |
t |
|
t |
|
|
Воспользовавшись условием %N < 1, получаем |
|
|||
sup II у* (t + T ) - |
у* (0 II < |
0, т. е. у* (/ + |
Г) S |
у* (0- |
5.Системы уравнений в стандартной форме.
Оп р е д е л е н и е 3.5. Системой уравнений в стан дартной форме называется система обыкновенных диффе ренциальных уравнений вида
-%- = еХ(і,х), |
(3.78) |
где X, X — л-векторы, t — время, е — малый положитель ный параметр.
Система уравнений
- § - = еХ0®, |
(3.79) |
где
т
В Д = lim ~ \ X { t , l ) d t ,
7 -*со 1 Q
называется усредненной системой относительно системы (3.78) по явно содержащемуся времени.
Заметим, что указанный способ определения среднего от вектор-функции X (t, х) не является единственным. См., например, [141], [24].
Для исследования нелинейных дифференциальных урав нений широко применяется метод усреднения, использую щий идею усреднения в указанном выше смысле. Его сущ ность заключается в замене точного (исходного) уравнения,
§ 3. С В Е Д Е Н И Я ИЗ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й 6 $
описывающего какой-либо процесс, приближенным (усред ненным), более удобным для дальнейшего исследования. При этом должно удовлетворяться одно важное условие: усредненное уравнение должно описывать главные черты исследуемого процесса. Метод усреднения, возникший под влиянием задач небесной механики, впоследствии полу чил существенное развитие и применение для решения за дач теории колебаний.
Создание строгой теории метода усреднения принадле жит Н. Н. Боголюбову. Он показал, что метод усреднения связан с некоторой заменой переменных, позволяющей ис ключить время t из правых частей рассматриваемых урав нений с произвольной степенью точности относительно ма лого параметра е, и указал способ построения приближен ных систем уравнений, решения которых аппроксимируют решения исходной системы с произвольной наперед заданной точностью.
Н. Н. Боголюбов сформулировал и доказал две класси ческие теоремы, дающие обоснование метода усреднения в общем виде применительно к уравнениям в стандартной фор ме. Первая теорема Н. Н. Боголюбова при достаточно об щих ограничениях на правые части системы (3.78) устанав ливает оценку разности | х (t) — | (і) | между точным ре шением системы (3.78) и его первым приближением на сколь угодно большом, но конечном временном интервале.
Эта теорема позволила существенно расширить об ласть применения метода усреднения и в дальнейшем полу чила развитие и обобщение в работах многих авторов.
Вторая теорема Н. Н. Боголюбова устанавливает соот ветствие между такими свойствами решений точных уравне ний и соответствующих им приближенных, которые зависят от поведения этих решений на бесконечном временном ин тервале.
Имеется еще третья теорема Н. Н. Боголюбова, устанав ливающая соответствие между интегральным многообра зием точных уравнений в стандартной форме и интеграль ными многообразиями соответствующих им усредненных. Эта теорема послужила отправной точкой для создания тео рии интегральных многообразий.
В этом параграфе мы приведем вторую теорему Н. Н. Бо голюбова, которая будет нами существенно использовать ся в дальнейшем.
64 |
ГЛ. |
I. В В Е Д Е Н И Е |
Т е о р е м а |
3.12. |
Пусть относительно системы урав |
нений в стандартной форме (3.78) выполняются следующие условия:
Г. усредненная система уравнений (3.79) имеет квазиста тическое решение g = с„;
2 °. вещественные части всех п корней характеристическо
го уравнения |
|
det (zl — X'oi (£„)) = 0 |
(3.80) |
отличны от нуля: |
|
3°. можно указать такую р0-окрестность |
DPo cz R n ре |
шенияgo, в которой X (t, х) и ее частные производные по х до второго порядка включительно ограничены и равномерно не прерывны относительно х для х £ DPo, і £ R\
4°. |
вектор-функция |
X (t, х) — почти-периодическая |
функция равномерно относительно х £ DPo. |
||
Тогда можно указать такие положительные постоянные |
||
00. |
Oj (ст0 С Oj < р0), |
что для всякого положительного |
Е< е ' справедливы следующие утверждения.
1.Система уравнений (3.78) имеет единственное решение X = X* (і), определенное на всем интервале R, для которого
|**(0~ £оІ<<Ѵ |
|
(3.81) |
2. Это решение — почти-периодическое с частотным ба |
||
зисом вектор-функции X (t, х). |
б (г) -*■ 0 при е 0, |
|
3. Можно найти такую функцию |
||
что будет выполняться неравенство |
|
|
I **(*)-&, К 8 (e), |
t£ R . |
(3.82) |
4. Пусть X (/) — любое решение системы (3.78), отлич ное от X* (/), удовлетворяющее при некотором t — t0 условию
И0 — ËJ <
Тогда, если вещественные части всех корней характери стического уравнения (3.80) положительны, то можно най ти такое tx 7> t0, для которого
|
№ |
- | o |
| > |
0r |
(3.83) |
Если s вещественных |
частей |
рассматриваемых |
корней |
||
отрицательны, |
а остальные |
п — s — положительны, то |
|||
в о0-окрестности точки |
t0 существует ь-мерное |
точечное |
|||
многообразие |
такое, |
что |
из |
соотношения х (і0) £ Ж/, |