Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 191
Скачиваний: 1
§ 3. С В Е Д Е Н И Я ИЗ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Я |
65 |
вытекает экспоненциальное стремление к нулю (при t —*■с»)
разности |х ( 0 — х* (f) |, а |
из |
соотношения х (/„) £ |
следует справедливость неравенства (3.83). |
||
З а м е ч а н и е 3.4. Если |
X |
(t, х) — Г-периодическая |
функция t, то решение х* (f) также является ^-периодиче ским.
Метод доказательства теоремы заключается в следую щем. В окрестности точки | 0 исходная система введением локальных координат преобразуется к виду, более удобно му для дальнейшего рассмотрения. Доказывается сущест вование и устанавливаются свойства почти периодического решения полученных уравнений. Затем полученные резуль
таты переносятся на исходную систему уравнений. |
||
Справедлива следующая |
лемма. |
|
Л е м м а 3.1. Пусть правые части исходной системы |
||
уравнений (3.78) удовлетворяют условиям теоремы 3.12. |
||
Тогда в окрестности DPl (рх < р) решения g0 |
существу |
|
ет замена переменных |
|
|
X = Іо + b, |
b — h -f- ev(t, К), |
(3.84) |
преобразующая исходную систему (3.78) к виду |
|
|
= Я/і -}- Q(t, h, е), |
(3.85) |
|
при этом:
1. Вектор-функция Q (t, h, е) определена в области R X X Dp, X Ее0, является непрерывной функцией своих аргу ментов, почти-периодической по t с частотным базисом век тор-функции X (t, х).
2. |
При |
h — 0 вектор-функция удовлетворяет |
условию |
|
|
|
\Q{t, 0, е )|< М (е), |
(3.86) |
|
где М (е) |
0 при г |
0. |
|
|
3. |
Для |
любого положительного р < Рх в области R X |
||
X |
X Eg0 |
справедливо неравенство |
|
|
|
I Q (t, h', e ) - Q |
(t, h", e) | < Ä, (e, p)\h' — h" |, |
(3.87) |
|
где %(г, p) -»- 0 при e |
0 , p •->- 0 . |
|
||
4. |
Вещественные части всех корней уравнения |
|
||
|
|
det (zl — Я) = 0 |
(3.88) |
|
отличны от нуля. |
|
|
||
3 Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова
66 |
ГЛ. |
I. В В Е Д Е Н И Е |
З а м е ч а н и е |
3.5. |
Если X (t, х) — Т-периодическая |
функция t, то Q (t, |
h, |
е )— также Г-периодическая функ |
ция t. |
|
|
Доказательство этой леммы мы приводить не будем, по скольку в дальнейшем будет излагаться более общая схема приведения исходных уравнений (в частности, уравнений в стандартной форме) к специальному виду, из которой сфор мулированный в лемме результат может быть получен как частный случай.
По тем же соображениям мы ограничимся лишь форму лировкой результата, устанавливающего существование и
свойства |
почти-периодического решения |
уравнений |
(3.85). |
Л е м |
м а 3.2. Пусть правые части |
уравнений |
(3.85) |
обладают указанными выше свойствами. Тогда всегда можно указать такие положительные постоянные еь рх, р2 (sx С
<8 0; р2 •< Рі -< Po). чт0 для всех г С ех уравнения (3.85)
допускают в р2-окрестности существование единственного решения h = / (t), почти-периодического по t с частотным базисом вектор-функции Q (/, h, г).
Если вещественные части всех корней уравнения (3.88) отрицательны, то это решение обладает свойством при тяжения любых решений ht уравнений (3.85), выходящих в
начальный момент из окрестности ВРг (р2 |
-< рх), причем |
|
это притяжение осуществляется по закону |
||
|
\ht — f(t)\< C \h t„ — f (t0) I |
(3.89) |
Если |
только s корней уравнения (3.88) |
имеют отрица |
тельные |
вещественные части, а остальные |
(п — s) — поло |
жительные, то к решению f (t) будут притягиваться лишь те решения, начальные значения которых принадлежат осо бому s-мерному многообразию точек f (t„). Остальные реше ния ht будут отталкиваться от решения f (і0).
З а м е ч а н и е 3.6. Если Q (t, h, е) — Т-периодиче- ская функция /, то / (t) — также Т-периодическая функ ция t.
Результат, сформулированный в теореме 3.12, непосред ственно вытекает из лемм 3.1 и 3.2.
Глава II
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СТАНДАРТНОЙ ФОРМЕ
В настоящей главе кратко изложим основные результаты Н. Н. Бо голюбова, относящиеся к вопросам существования и свойств интеграль ных многообразий уравнений в стандартной форме. Подробное доказа тельство приводимых здесь лемм и теорем можно найти в известных мо нографиях [13], [17].
§ 1. Приведение уравнения в стандартной форме к специальному виду
Рассмотрим уравнение в стандартной форме |
|
= еХ (t, х), |
( 1 . 1 ) |
где х, X — «-векторы, е — малый положительный |
пара |
метр . |
|
Пусть выполняются следующие условия:
Г. вектор-функция X (t, х) определена и непрерывна
для всех вещественных t и х в области R |
X D (R — вещест |
||
венная ось, |
D — некоторая открытая |
область |
«-мерного |
евклидова |
пространства Rn), е £ ЕЕо |
(Е8о = |
(0, е0]), и |
допускает существование среднего
равномерно для всех х £ D\ 2°. усредненное уравнение
Иу
|
( 1. 2) |
имеет периодическое решение |
|
X = х° (сот) |
(1.3) |
з* |
|
68 |
гл . II. |
М Н О Г О О Б Р А З И Я У Р А В Н Е Н И Й |
В С Т А Н Д А Р Т Н О Й |
ФОРМЕ |
|||
(а0 |
(ф -|- 2 |
л) = х° (ф)), так |
что |
тождественно |
|
||
|
|
|
* ^ а > |
= |
х 0 (*«(*»; |
(1.4> |
|
|
3°. вектор-функции X (t, х), X (х) и их частные произ |
||||||
водные по |
X первого и второго порядков ограничены и |
||||||
равномерно |
непрерывны |
в области |
R X DPa, где |
DPo — |
|||
р0-окрестность орбиты периодического решения (1.3), при
надлежащая области D;
4°. X (t, х) — почти-периодическая функция t равно
мерно относительно х £ DPo.
При этих предположениях исходное уравнение (1.1)
приводится к виду |
|
|
|
= |
+ |
g, h, е), |
|
J!L = Hh + R(t, g, h, |
(1.5) |
||
e), |
|||
где функции ^ (t, g, h, |
г), R |
(t, g, h, |
e) являются достаточ |
но малыми при малых h, г.
Изложим кратко схему приведения уравнения (1.1) к специальному виду (1.5).
Представим исходное уравнение в виде |
|
-^ Г = гХ0(х) + гХ1(і,х), |
(1.6) |
где
еХх (t, х) = гХ (/, х) — еХ0 (х).
Возьмем комплексную оболочку пространства Rn и рассмотрим комплексное евклидово пространство Сп, эле
ментами которого будут пары {/4 , у2) = (Уі + іу2), |
где уи. |
||
у2 — элементы Rn *). |
|
|
|
В пространстве Сп рассмотрим |
уравнение в вариациях, |
||
составленное для решения (1.3): |
|
|
|
~ ~ = А (сот) у |
(А (сот) = |
Х0х(х° (сот))), |
(1.7) |
где матрица А (ф) — периодическая по ф с периодом 2я. Легко видеть, что из существования 2л-периодического по-
*) В дальнейшем всюду, не делая специальных оговорок, при рас смотрениях, связанных с исследованиями спектра матриц, будем пере
ходить к комплексному расширению евклидова пространства R n .
§ 1. П Р И В Е Д Е Н И Е У Р А В Н Е Н И Я |
69 |
|
1 ) 5 решения уравнения (1 .2 ) |
вытекает существование |
2 я-пе- |
риодического решения у — |
—^ - уравнения (1.7). |
|
Введем в рассмотрение фундаментальную матрицу реше ний уравнения (1.7) Y (сот), матрицу монодромии Y (2п)
(Y (сот + 2я) = Y (сот) Y (2л)), матрицу В — ф- ln Y (2я), а
также 2 я-периодическую матрицу
S (сот) = Y (сот) е~ахВ. |
(1.8) |
Из (1.8) следует представление Флоке
Y (сот) = S (сот) e“xS. |
(1.9) |
Известно, что любое решение у (і) (у (0) = у0) линей ного дифференциального уравнения с периодическими коэф фициентами можно записать посредством фундаментальной матрицы решений Y (сот) в виде
y(t) = Y (сот) у0.
Принимая во внимание [представление (1.9), для 2 я -
периодического решения уравнения (1.7) можем написать
у (т -ф |
= S (сот + 2я) е<ЛхВе2лВу0 = S (сот) еахВу0, |
|
откуда |
е2лВУо = Уч- |
(1.10) |
|
||
Из соотношения |
(1.10) вытекает, что матрица |
е2лВ имеет |
собственное значение, равное 1, следовательно, матрица В имеет нулевое собственное значение р = 0. Полагаем, что р = 0 является изолированной точкой спектра. Остальной спектр матрицы В обозначим сг0 (В) и предположим, что он не пересекается с мнимой осью и в общем случае располо
жен как слева, так и справа от нее.
Линейное уравнение (1.7) с непрерывной периодической
матрицей А (сот) посредством преобразования |
|
у — S (сот) z — Y (сот)е~ахВг |
(1.11 ) |
приводится к уравнению с постоянной матрицей |
|
и х ~ В 2 (2 ~ 2о> zi> • • • > zn—i). |
( 1. 12) |
