Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 193
Скачиваний: 1
70 г л . |
И. М Н О Г О О Б Р А З И Я У Р А В Н Е Н И Й В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОРМЕ |
|||||||||
Приняв во внимание сделанное замечание о спектре мат |
||||||||||
рицы В, выражение (1.11) можем записать в виде |
|
|
||||||||
|
|
|
У= |
^ * |
о |
+ иЮ е-+»г, |
|
(1.13) |
||
где z = zu ..., 2 |
„_i; |
U (ф) — [и X (п — 1)]-матрица, |
Н — |
|||||||
— [п X (п — 1)]-матрица, спектр которой совпадает с о0 |
(В). |
|||||||||
Выражения (1.12) и (1.13) можем переписать соответ |
||||||||||
ственно в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и |
4 |
г = |
0' |
4 T = Hz |
(2==2i ....... 2n-i) |
(1-14) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У = |
-^ p -Z o + Q ^ z |
(Q(t|>) -- |
|
(1.15) |
|||||
Подставляя (1.15) в уравнение (1.7), находим |
|
|
||||||||
d_ |
Px0 (ф) |
|
Р*° (Ф) |
dza |
dQ (ф) |
®z + |
Q № )-^- = |
|
||
dx |
Рф |
zo + |
Рф |
dx |
' Рф |
|
||||
|
|
|
|
|
|
= А ( Ф ) . ( ^ |
p |
Q W- |
2г)о +• |
|
Принимая во внимание соотношения (1.14), а также тот |
||||||||||
факт, |
что - |
- |
является решением |
уравнения |
(1.7), по |
|||||
лучаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ) + |
Q(ф) Я = А (ф) Q (ф). |
(1.16), |
||||
Аналогичное соотношение справедливо для комплексно-со
пряженных величин Q (ф), |
Н: |
|
|
|
w + Q(ф) Н = А (ф) Q (ф). |
(1 ■16)а |
|
Введем теперь в уравнение (1.6) вместо х (хѵ ..., хп) но |
|||
вые переменные: |
угловую |
переменную ф и |
переменные |
b (Ь1...... Р„_і) посредством замены |
|
||
* = |
+ |
{QW)b + Q(q)b}, |
(1.17) |
где b u b комплексно сопряжены, при этом выберем такое 8 0, чтобы при (b, Ъ) £ Uб„ переменная х, определяемая выра жением (1.17), не выходила из области своего определе ния DPo.
§ 1. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ |
71 |
Заметим, что матрица Q (ф) в общем случае является ком плексной; она может быть действительной, если в представ лении Флоке (1.9) воспользоваться матрицей 5 (ют) с удво енным периодом. Поэтому, чтобы не вводить в уравнениях удвоенный период, оставив при этом х вещественным, за мену переменных х -> {ф, b} можно выбрать в виде (1.17).
Подставляя выражение (1.17) в уравнение (1.6), полу чаем
dx° (tp) |
, |
1 |
( dQ (ф) |
^ |
Л?(г|;) |
^ |
cblp |
|
[ “ |
Sp“ |
+ |
— |
\ - S p ~ |
0 + |
~ W ~ ' |
I |
~ d T + |
+ |
4 - (Q № )-§ -+ Q W) -§■) = |
eXo4 ° №) + -4 ( Q (Ч>) ь + |
||||||
+ Q(Ф) Щ + eXx [t, x° (ф) + -L(Q (\p)b + Q (ф) b)j =
= e-X0 (x° (ф)) 4— Л (гр) (Q (ф) b + Q(ф) b) +
+ e^o (*° (Ф) + ~Y (Q (Ф) b + Q(Ф) b)) — eX0 (x° (ф)) —
— -j- A (ф) (Q (i|))& + Q(»Wb) -f
+ e^ i К |
x° (Ф) + — (Q (Ф) b + |
Q019 b)) |
\ |
л. |
f |
или, учитывая тождество (1.4), а также соотношения (1.16)! и (1.16)2,
dx° (ф) |
/ dQ(ф) |
, |
д<3(Ф)_£} |
а\р |
-ею)J -f- |
||||
4і|з |
Л |
|
|
|
(?ф |
I |
dt |
||
|
|
|
|
|
|||||
QOW |
db |
- |
м ) |
+ ш |
' А - |
|
-гНЬ\ |
eY (t, -ф, b). |
|
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.18) |
Вектор-функция Y (t, ф, b) определена в области R X |
|||||||||
X ¥ X Йб0 |
(¥ |
= |
[0, |
2я]), непрерывна, периодическая по |
|||||
ф с периодом 2 |
л и обладает ограниченными и равномерно |
||||||||
непрерывными частными |
производными по ф, |
b первого и |
|||||||
второго порядков; спектр матриц Я, Я не пересекается с мнимой осью и в общем случае расположен в левой и пра вой полуплоскостях.
72 ГЛ. II. М Н О Г О О Б Р А З И Я У Р А В Н Е Н И Й |
В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОРМЕ |
|||
Система (1.18) |
представляет собой систему п уравнений |
|||
относительно 2 п — 1 неизвестных: |
|
|||
dty |
ею, |
db |
eHb — Z, |
db |
dt |
dt |
--- -----гНЬ — Z. (1.19) |
||
|
|
|
||
В качестве разрешающего условия примем Z = Z, заметив при этом, что могут быть выбраны и другие условия разре шимости.
Разрешая |
систему (1.18) относительно --- ---- ею и Z в |
||||||||||||||
области R X W X U6l х |
Ее, (бх < |
б0), |
получаем |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
= |
ею + |
eW (t, ір Ь), |
|
|
|
|
|||||
|
|
- J - = |
e# |
|
+ |
eß(p ір b), |
|
|
( 1.20) |
||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W(t, ty,b) = К (iji, 6 )У 2(ір b) + |
L(ip |
tp b), |
( 1. |
21) |
|||||||||||
В (t, 1 }), b) = |
M (ip |
b) Y 2 |
(3j5, b) + |
N |
(Tp, b)Y1(t, ip |
b), |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ) = |
Z ( U |
, (i|)) + |
/(iJ), b))— X (x° (г|5) + |
/ (i]3, b)), |
' |
|||||||||
Y г OP b) = |
X (x9 |
(ip) -f / (ip b)) — X (x° (гр)) — |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— Xit (x° (гр) I (ip |
b)), |
|
|||
I 01>, b) = |
~Y |
(Q (“ф) b + Qp p b). |
|
|
|
|
|
||||||||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1.22) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
W (ip b) = К pp |
b)Y2{ty, b); |
В (гр, b) = |
M(ip, b) K2 |
(гр, b). |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-23) |
||
Функции W (t, ip b), |
В (t, г);, b) |
определены |
в |
области |
|||||||||||
R X 4 ; X |
|
и вместе |
со своими |
частными производны |
|||||||||||
ми по i)5, |
b ограничены и равномерно непрерывны |
относи |
|||||||||||||
тельно 1)5, |
Ь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В любой точке рассматриваемой области |
|
|
|
||||||||||||
t + T |
|
|
|
|
|
|
|
|
t+т |
|
|
|
|
||
4 " J W (t,q,b)dt-+ W № ,by, |
4 |
- |
j B (t,rp,b)d1 -+ B (b b ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.24) |
||
§ 1. П Р И В Е Д Е Н И Е У Р А В Н Е Н И Я |
73 |
равномерно относительно t при Г |
оо. W (t, гр, Ь), |
В ((, ф, b) 2 я-периодические функции от ф и удовлетворяют условию Липшица по ф, Ь с константой р (а) 0 при о -> -> О (I Ь\ < о, о < 6 Д
Кроме того, если {тт } — такая последовательность из
R, для которой разность X (t + |
тт , х) — X (t, |
х) равномер |
но стремится к нулю в области |
R X DPo при |
/п-> оо, то, |
согласно (1 .2 1 ), (1 .2 2 ), |
|
|
W(t + xm, ф, b)— W {t, ф, 6 )-> О, |
|
|
B{t + xm, Ф» Ь) — В Ѵ> Ф. 6)->0 |
(1.25) |
|
при т ->■ оо равномерно в области R X Q X Не,- Следующий этап заключается в нахождении замены
ф = § + eu(t, g, h), b = h + ev{t, g, h), (1.26)
посредством которой уравнения (1 .2 0 ) преобразуются к ви ду (1.5).
Построение функций и (t, g, h), v (t, g, h) подробно из ложено в монографии [17], ввиду чего на этом вопросе мы здесь останавливаться не будем.
Совершив в уравнениях (1.20) замену (1.26), в результа те ряда преобразований придем к рассмотрению уравнений (1.5), правые части которых обладают следующими свой ствами.
1. Функция G (е) |
определена |
для |
е £ Ееа |
(е2 <: ві •< |
|||||
е„). |
|
(t, g, h, e) |
определены |
в области R X |
|||||
2. <$>it, g, h, е), R |
|||||||||
X ? X (/j, X EE 2 |
(6 |
2 < 6 1 |
< |
6 0; |
e2 |
< |
< |
e0), |
непре |
рывны и 2 я-периодические no g. |
|
|
|
|
|
|
|||
3. В области R |
X ¥ X ЕЕг имеют место неравенства |
||||||||
I ^ it, g, 0, е) I < |
М (е), |
IR it, g, 0, |
е) | < |
М (е), |
(1.27) |
||||
где М (в) -> 0 при |
е ->■ 0 . |
|
|
б С |
б2, е •< е2 функции |
||||
4. Для любых |
положительных |
||||||||
^ it, g, h, е), R it, g, h, e) |
удовлетворяют |
условию Лип |
|||||||
шица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I P it, g’, h', e)— 9 (t, |
g", h", e)| <A,(e, 6 |
)(|g -'— g"|-f- |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
+ \h '- h " \), |
|
||
IR it, g', h', e) — R it, g \ h", e) | < |
X (e, 6 |
) (| g’ - g " | + |
(L28) |
||||||
|
|
|
|
|
|
+ \h '- h " \) , |
|
||
где X (s, 6) 0 при e -> 0, 6 -> 0.
74 ГЛ. П. М Н О Г О О Б Р А З И Я У Р А В Н Е Н И Й В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОР МЕ
5. Спектр постоянной матрицы Н не пересекается с мни мой осью и в общем случае расположен как в левой, так и в правой полуплоскостях *).
6 . Если условие 3° об ограниченности и равномерной не прерывности частных производных функций X (t, х), X (х) по X до второго порядка включительно усилить требова нием ограниченности и равномерной непрерывности частных производных по X до т-го порядка включительно, то функ ции^ (t, g, h, е), R (t, g, h, e) также будут обладать огра ниченными и равномерно-непрерывными частными произ водными по g, h до т-го порядка включительно (см. [17], формулы (27.66), (27.69), (27.73), (27.89)).
За м е ч а н и е 1.1. Рассмотрения, аналогичные при веденным выше, можно провести также для случая, когда g является r-вектором (g = glt ..., gr).
За м е ч а н и е 1.2. В специальном случае, когда пере менная t входит в функции W я В посредством комбина ции ф + vt, т. е.
W(t, ф, Ь) = |
Fx(ф + |
vt, Ь), |
В (t, ф, Ь) — F2(ф + vt, Ь), |
||
функции 4P я R |
будут |
иметь |
вид 4P(/, |
g, |
h, г) — 4P (g + |
+ vt, h, e), R (t, g, h, |
e) = R (g + vt, |
h, |
e). |
||
Полагая в этом случае g + |
vt = ft, получим уравнения, |
||||
правые части которых не содержат независимой перемен ной і:
—~[f — ѵ |
Ф (ft, h, е), |
|
(1.29) |
- Hh + R (ft, h, e).
Уравнения (1.29) |
также относятся |
к типу |
уравнений |
(1.5). |
1.3. Приведение уравнений в стан |
||
З а м е ч а н и е |
|||
дартной форме к |
специальному виду |
можно |
значитель |
но упростить, использовав аппарат проекционных опе раторов.
*) В дальнейшем, для простоты записи, функцию f (t, g, h, г), обладающую свойствами 2—4, будем полагать принадлежащей классу
(ёѴ- м (е) 1/г=0’ х (е. ö)g,ft)-
