Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 195
Скачиваний: 1
§ 2. С У Щ Е С Т В ОВ АН ИЕ О Д Н О М Е Р Н О Г О М Н О Г О О Б Р А З И Я |
75 |
§ 2. Существование и свойства одномерного интегрального многообразия
Сформулируем основные результаты *), относящиеся к существова нию и свойствам одномерного интегрального многообразия уравнений (1.5). Затем, приняв во внимание формулы замены переменных, уста новим существование и основные свойства интегрального многообразия исходного уравнения (1 .1).
1.Лемма о существовании интегрального многообразия.
Ле м м а 2.1. Пусть правые части уравнений (1.5) об ладают свойствами 1—6 , приведенными на стр. 73—74.
Тогда всегда можно указать такое положительное &'
(e' < |
е2), что для каждого положительного г< е' |
урав |
нения |
(1.5) имеют интегральное многообразие предста |
|
вимое соотношением вида |
|
|
|
h = f{t,g,e), |
(2 .1 ) |
в котором f (t, g, е) определена в области R X Q, является непрерывной функцией t, 2п-периодической относительно угловой переменной g и удовлетворяет неравенствам
i /( f ,g ,e ) |< D ( e ) < 6 a> |
|
|
(2 .2 ) |
||
\f(t,g’, e ) ~ f ( t , g " , e ) \ < A (е) | / |
- g" |
|, |
(2.3) |
||
причем D (е) ->• О, |
А (е) -у 0 при е -у 0. |
|
|
|
|
Если функции |
4P (t, g, h, е), R (t, g, h, e) в области R X |
||||
X Й X 1/s, X EBs |
имеют |
ограниченные и |
равномерно-не |
||
прерывные частные производные по g, h до т-го |
порядка |
||||
включительно, то |
f (t, g, |
е) также будет иметь ограни |
|||
ченные и равномерно-непрерывные частные |
производные по |
||||
g до т-го порядка включительно. |
функции |
h = |
|||
З а м е ч а н и е |
2.1. Из существования |
||||
= / §’ е) вытекает существование функции h — ~f (t,g, е)> комплексно-сопряженной / (t, g, е).
С л е д с т в и е 2.1. Из уравнений (1.5) видим, что угло вая переменная g для решений, лежащих на многообразии ЭН;, определяемом соотношением
h — f(t> §> е)> удовлетворяет уравнению
*L = (S>+ F(t, g, г), |
(2.4) |
* ) Подробное доказательство формулируемых результатов изложе но в известных монографиях [13], [17].
76 ГЛ. II. МНОГООБРАЗИЯ УРАВНЕНИЙ В СТАНДАРТНОЙ ФОРМЕ
в котором
F(t,g, £)=&(*, g, f (t,g,e),s).
При этом функция F (t, g, е) определена для всехвеществен ных /, g, является периодической относительно переменной g с периодом 2л и удовлетворяет соотношениям
1^(*. g, e)|< D (e), |
(2.5) |
IF (t, g', z) — F (t, g", e )|< A (e )|g ' — g" |. |
(2.6) |
2. Свойство почти-периодичности функции / ( t , g , &).
Установим свойство почти-периодичности функции / (t, g, е) по t равномерно относительно g £ Q.
Вначале приведем определение и основные свойства поч- ти-периодических функций.
О п р е д е л е н и е 2.1. Пусть F {t, х) — некоторая функция, определенная для всех вещественных t и для всех X из некоторого множества D. Будем говорить, что
F (t, х) — почти-периодическая функция t равномерно отно сительно X, если каждому положительному т) можно поста вить в соответствие такое положительное I (т]), что в любом интервале длины / (г|) лежит, по крайней мере, одно число т, для которого имеет место неравенство
|
|f ( / + T ,x ) - F ( / ,x ) |< r | |
|
|
при произвольных t, X. |
|
равно |
|
Если F (t, х) — почти-периодическая функция |
|||
мерно по X , то для нее существует счетное множество веще |
|||
ственных чисел |
— так называемый частотный базис — |
||
таких, что, если |
{тт} — последовательность |
вещественных |
|
чисел, для которой при каждом k e{XkXm |
0 , т |
оо, то |
|
равномерно по отношению к t, х имеем |
|
|
|
|f ( f + |
тт , х) — F(t, х)|-> 0, m-> оо. |
|
|
Обратно, если для некоторой функции F (t, и) можно указать счетное множество {А,*}, обладающее этим свой ством, то F (t,ü) будет почти-периодической функцией t рав номерно относительно х.
Каждая почти-периодическая функция F (t) может быть равномерно аппроксимирована тригонометрическим поли номом, т. е. для любого заданного е существует конечная сумма
ф(t) — 2 avelXv\
V
§ |
2. СУЩЕСТВОВАНИЕ |
ОДНОМЕРНОГО МНОГООБРАЗИЯ |
77 |
такая, |
что | F (t) — <р (0| |
< е. Здесь аѵ зависят от е, |
но |
частоты могут быть выбраны независимо от е.
Для каждой почти-периодической функции существует среднее значение
Н-г
f F (/, x)dt = F(x),
T~+oo * I
причем сходимость к пределу будет равномерной по отноше нию к t, X.
Введя понятие среднего значения, можно охарактери зовать спектр {Хѵ} функции F (t, х) следующим образом.
Для почти-периодических функций существует счетное множество частот {Хѵ}, не зависящих от х, такое, что для всякого X, не принадлежащего к нему, выполняется соот
ношение
т
W m ~ \ F{t, х)е~ш dt = 0. Т^оо 1 Q
Сформулируем теперь следующую лемму.
Л е м м а 2.2. Пусть функции, стоящие в правой части уравнений (1.5), обладают указанными на стр. 73—74 свойствами 1—5. Пусть, кроме того, существует последо
вательность вещественных чисел |
{тт |, |
такая, что |
для не |
|||||
которого положительного е < |
е' |
правые |
части уравнений |
|||||
(1.5) удовлетворяют равномерно на R |
X |
Q |
X U(,t |
соотно |
||||
шениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ^(* + |
хот. ё, |
*) — &{*, g, К е )|-> 0 |
, |
|
|
|||
|# (/ + |
тт , S- |
К e) — R(t, g, h, е)|-*-0 |
, |
т -> о о . |
||||
Тогда для этого значения е равномерно на |
R X Q |
|||||||
имеем |
+ Т тё>. |
|
в)|- »0 -, |
т ^ -о о , |
(2.8) |
|||
І/Ч* |
г ) ~ f V , ё> |
|||||||
где f ((, g, 8 |
) — представление |
интегрального многообразия |
||||||
для дифференциальных уравнений (1.5). |
|
|
|
|||||
С л е д с т в и е |
2.2. Если f (t, g, е) является почти-пе |
|||||||
риодической |
функцией t равномерно |
относительно |
g £ Q, |
|||||
а множество {юа} является ее частотным базисом, то тог да вектор-функция F (t, g, е) в правой части уравнения (2.4) также является почти-периодической равномерно относи тельно g и с тем же частотным базисом.
78 гл . И. М Н О Г О О Б Р А З И Я У Р А В Н Е Н И Й В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОРМЕ
3.Лемма об устойчивости интегрального многообразия.
Ле м м а 2.3. Пусть правые части уравнений (1.5) обладают приведенными на стр. 73—74 свойствами 1—5. Тогда всегда можно указать такие положительные постоян
ные г, е*, б, б*, у, С (е < е* < е'; б < б* < б2), что, если s точек спектра матрицы Н расположены слева от мни мой оси, а остальные п — 1 — s — справа, то для каждого
положительного е <; е, любого |
вещественного t0 |
и |
любого |
в некоторой окрестности |
V$ многообразия |
ЭЛ, |
суще |
ствует s-мерное многообразие 311 (?0, g0, е) точек {h} со свой ствами:
1 ) если для t = t0
lit 6 Uz, А, ёЭЛ (/0, g0, e), |
|
то тогда для некоторого t > / 0 |
|
!іц € |
|
2 ) если для t = / 0 |
|
ht € ЭП (t0, g0, e), |
|
то тогда для всех t ;> / 0 |
|
I ht - f ( t , g t, e) I -< Ce~yit~ta^! /і0 — f (fn, g0, e)!, |
(2.9) |
где (g0, К) представляет (gu ht) при t — (0;
3)если все точки спектра матрицы Н расположены спра ва от мнимой оси ($ — 0), то многообразие ЭЛ (t0, g0, е) вы рождается в точку h = f (tQ, go, 8 );
4)если все точки спектра матрицы Н расположены сле ва от мнимой оси, то многообразие ЭЛ ({0, g0, е) совпадает со
всей окрестностью IJ^.
З а м е ч а н и е 2.2. Из леммы 2.3 следует, что в ок рестности Uj может находиться лишь одно единственное
интегральное многообразие уравнений (1.5), а именно, многообразие ЭЛ,, представимое соотношением (2.1).
В самом деле, это утверждение очевидно в случае s = = 0. Случай s — п — 1 переходит в первый, если в уравне ниях заменить t на —t.
Остается рассмотреть случай 0 •< s < |
п — 1. |
|
|||
Пусть в окрестности |
лежит |
некоторое интегральное |
|||
многообразие S,. |
Тогда |
из леммы |
2.3 |
следует, |
что если |
(go. ho) £ St, то /г0 |
£ ЭЛ (t0, g0, е). |
|
|
|
|
§ 2. С У ЩЕ С Т В О В А Н И Е О Д Н О М Е Р Н О Г О М Н О Г О О Б Р А З И Я |
79 |
|
При произвольно малом положительном т] подберем по |
||
ложительное г, удовлетворяющее неравенству |
28Се~ѵг < |
|
<; г); возьмем затем произвольное ^вещественное |
и поло |
|
жим t0 = ti — z. Тогда получим 2бСе~ѴІ б-л>і <т].
Пусть, с другой стороны, g, h будет произвольной точкой S tr Замечаем, что, по определению интегрального много образия, решение (gt, ht) уравнений (1.5), которое принима
ет значение (g, К) при t — tu лежит |
на |
St при |
любом |
t. |
В частности, (gt,, ht) £ S t„ и потому |
ht, £ OR (t0, gt„ e). Ho |
|||
тогда, согласно лемме 2.3: |
|
|
|
|
I ht, — f (h, g, e) I = I ht, — / (tlt gt„ e) I < |
|
|
|
|
< Се~ш ~ІАI ht, - f (/0> gtc, e) 1< |
28,Ce~v'<‘~*0' < |
TJ. |
||
откуда, вследствие произвольности rj, получаем |
|
|
||
h = f(h, g, e). |
(g, |
h) £ St, |
(2 .1 |
0 ) |
Таким образом, из соотношения |
следует |
|||
(2 .1 0 ), что и доказывает сделанное утверждение.
Сл е д с т в и е 2.3. Согласно лемме 2.3, если хотя бы одна точка спектра матрицы Н расположена справа от мни мой оси, рассматриваемое интегральное многообразие 0Rt обладает свойством отталкивания всех близких к нему ре шений, за исключением решений, лежащих на особом точеч ном многообразии, размерность которого меньше размер ности всего фазового пространства.
Если все точки спектра матрицы Н лежат слева от мни мой оси, то данное многообразие обладает, наоборот, свой ством притяжения близких решений по закону (2.9).
Сл е д с т в и е 2.4. Представляя первое уравнение си стемы (1.5) в виде
- і | - |
= со + F(t, gt, е) + |
<P(t, gt, ht, e) — |
|||
|
|
|
|
— |
gt, f(t, gt, e), e) (2 .1 1 ) |
и мажорируя затем правую часть, получаем |
|||||
|
dgt |
— |
gt, г) |
< Ц е , |
a)\ ht — f(t, g(f е)| |
|
dt |
||||
|
|
|
|
|
|
или, |
принимая во внимание неравенства (2.9), |
||||
dgt |
— со — F(t, gt, е) |
< 0 |
,(е,ст)е |
v,< * o 1 1 ht, f(t0, g0, e) |. |
|
dt |
|||||
(2. 12)
