Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 196
Скачиваний: 1
80 г л . II. |
М Н О Г О О Б Р А З И Я У Р А В Н Е Н И Й В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОРМЕ |
|||
4. |
Теорема о существовании и |
свойствах |
интегрального |
|
многообразия уравнения в стандартной |
форме. На основа |
|||
нии приведенных результатов нетрудно установить спра |
||||
ведливость следующей |
основной теоремы для |
исходного |
||
уравнения (1 .1 ). |
Пусть относительно уравнения в |
|||
Т е о р е м а 2.1. |
||||
стандартной форме (1 |
.1 ) выполняются следующие условия. |
|||
1°. Вектор-функция X (і, х) определена в области R X X D X ЕЕо и допускает существование среднего по t
|
|
т |
|
|
Х 0 (х) = lim ~ |
I |
X (t, х) dt |
|
Т-ТОО |
0 |
|
равномерно относительно х £ D. |
|
||
2 °. |
Усредненное уравнение |
|
|
|
т - е В |
Д |
|
имеет |
2л-периодическое решение |
х = х° (ф). В р0-окрест- |
|
ности этого решения X (t, х) £ С*.
3°. X (t, х) — почти-периодическая функция t равномер но относительно х £ DPo.
4°. Вещественные части всех п — 1 характеристических показателей для уравнений в вариациях
"ЗГ = £Л (ф) У (А (ф) = Х'ох (х° (ф)))
отличны от нуля.
Тогда всегда можно указать такие положительные чис ла е, р, pt (р •< рі ■< Ро), что для любого положительного
в< е будут справедливы следующие утверждения.
1.Уравнение (1.1) имеет единственное интегральное мно гообразие St, лежащее для всех вещественных t в области DPl.
2.NI югообразие S t допускает параметрическое представ ление вида
х = Ф (1,Ѳ,е), |
(2.13) |
где Ф (/, Ѳ, е) определена для всех вещественных t, Ѳ, явля ется 2п-периодической по 0 и почти-периодической по t равномерно относительно Ѳс частотным базисом функции
X |
(t, X); Ф (t, Ѳ, е) £ С1Ѳ. |
ß (г) -> 0, |
г] (в) — 0 при |
|
|
Можно найти такие функции |
|||
8 |
-> 0 , что будут выполняться неравенства |
|
|
|
|
|Ф(<, Ѳ, e ) - x » ( 0 )|< ß (e ), |
|
|
|
|
] Ф (t, Ѳ', е) - Ф (t, Ѳ\ 8 ) | < |
ri (8 ) I 0' - |
Ѳ" |. |
(2.14) |
§ 2. С У ЩЕ С Т В О В А Н И Е О Д Н О М Е Р Н О Г О М Н О Г О О Б Р А З И Я |
81 |
|
3. На многообразии S t уравнение (1.1) эквивалентно урав |
||
нению |
|
|
- § - = *F(t, Ѳ,е), |
(2.15) |
|
в котором F (t, Ѳ, е) определена для всех |
вещественных |
t, |
Ѳ, является 2п-периодической по Ѳ и почти-периодической
по t равномерно относительно 0 |
с частотным базисом функ |
|||||
ции X (t, х)\ F (t, Ѳ, |
е) £ СІ. |
Кроме того, |
имеют |
место |
||
неравенства |
|
|
|
|
|
(2.16) |
IF (/, Ѳ, е) I < б (е), |
|
|
||||
IF (t, 0', е) - |
F (t, Ѳ", е) | < ф ) |
| Ѳ' - |
Ѳ" |, |
(2.17) |
||
в которых 6 (в) -> 0 , т) (е) |
0 |
при е |
0 . |
|
|
|
Любое решение уравнения (1.1), лежащее на многообра |
||||||
зии S t, представимо в виде |
|
|
|
|
|
|
* = Ф(*,Ѳ(0 ,е), |
|
|
(2.18) |
|||
где 0 = 0 (t) — некоторое решение уравнения (2.15), |
и на |
|||||
оборот, выражение (2.18), в котором Ѳ = |
0 (t) есть решение |
|||||
уравнения (2.15), всегда |
является решением уравнения |
(1.1), |
||||
лежащим на многообразии S. |
|
|
|
рассматривае |
||
4. Если вещественные части всех п — 1 |
||||||
мых характеристических показателей отрицательны, мно гообразие S обладает свойством притяжения всех близких к нему решений, т. е. если х — х (t) — любое решение урав
нения (1 .1 ), |
проходящее при некотором t = і0 через какую- |
|||
либо точку |
области D- : х (/0) £ D- (х £ D- при h £ U^), то |
|||
для него при t > t0 |
будут выполняться неравенства |
|
||
I x{t) - Ф |
(*, Ѳ(0, е) I < C1 |
(e)e-8V|t- <J, |
(2.19) |
|
j |
dQ(t) |
eF(t,Q(t)) < C 2 |
(e) е~гуі*~І0К |
( 2. 20) |
I |
dt |
|||
5.Если все n — 1 вещественные части положительны, то
можно найти такое ^ > t0, что
( 2. 21)
6. Если s рассматриваемых вещественных частей отри цательные, а остальные п — 1 — s положительны, то в области D- существует s-мерное точечное многообразие УЛ/,
82 г л . II. М Н О Г О О Б Р А З И Я У Р А В Н Е Н И Й |
В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОРМЕ |
такое, что из соотношения |
|
* ( * » ) № |
(2 .2 2 ) |
вытекает экспоненциальное стремление к нулю выражения
(2.19) при t ->■ со, а из соотноіиений |
|
|
*(g<EDp, |
х (д ё э п ,. |
(2.23) |
вытекает справедливость соотношения (2 .2 1 ) при некотором ti t0.
Таким образом, если хотя бы одна из вещественных час тей рассматриваемых характеристических показателей по ложительна, многообразие St неустойчиво. Любое, не при надлежащее к нему решение х (t), для которого х (t0) лежит в области D- и не находится на особом течечном многообра
зии TRiit низшей размерности, с течением времени покинет
область Dp (р > |
р). |
Принимая во внимание фор |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||
мулы перехода |
(х -> g, h) |
|
X = |
х° (ф) + ~ |
(<2(ф) b + Q(ф) Ь), |
ф = g + ем (t, g, h, е), |
b = h + ev (t, g, h, e), |
|
параметрическое представление многообразия St уравне ний (1 .1 ) можем записать в виде
X = Ф (t, Ѳ, е) = х° (0 + |
ги (t, Ѳ, f (t, Ѳ, г))) |
+ |
||||
+ |
±-{Q(ß + ZU{t,$,f ( t, 0 , 8 ) ) ) ( / |
(t, Ѳ, 8 ) |
+ |
EO(t, Ѳ , f (t, Ѳ, 8 ) ) ) + |
||
+ |
Q (Ѳ + eu (t, Ѳ, f(t, |
Ѳ, e))) (f(t, |
Ѳ, e) + |
eü(t, Ѳ, f(t, 0, e)))}. |
||
|
|
|
|
|
|
(2.24) |
|
Существование |
и |
единственность |
вектор-функции |
||
/ (/, Ѳ, е) установлены |
в леммах 2.1, 2.2, 2.3; х° (ф) — из |
|||||
вестное решение, функции и (t, Ѳ, h, |
е), v (t, Ѳ, h, e) опре |
|||||
деляются через известные функции, стоящие в правых ча стях уравнений (1.20). Существование и единственность мат рицы О (ф) следует из представления Флоке (1.9).
Таким образом, функция Ф (t, Ѳ, |
е) существует и един |
|||||||
ственная, причем |
|Ф |
(/, Ѳ, е) I < |
pi |
при |
|/ (t, Ѳ, е) | < |
б0. |
||
В силу |
того, |
что |
х° (ф), |
Q (ф) — 2я-периодические, |
||||
функции |
h = / |
(t, |
0 , |
е) и |
и (t, |
0 , |
/ (t, 0 , е), |
е), |
§ 2. С У Щ Е С Т В О В А Н И Е О Д Н О М Е Р Н О Г О М Н О Г О О Б Р А З И Я 83
V (/, Ѳ, / (t, Ѳ, е), |
е) (в силу их определения, см. |
[17]) — |
|
2 я-периодические по 0 , функция |
|
||
|
|
х = Ф (/, Ѳ, е) |
|
также будет периодической по 0 с тем же периодом 2 я. |
|||
Кроме |
того, |
очевидно, можно найти такую |
функцию |
ß (е) -> 0 |
при е |
0 , что будет выполняться неравенство |
|
|
|
|Ф(/, Ѳ, e )-* o (0 )|< ß (e ). |
(2.25) |
Утверждение 3 теоремы непосредственно вытекает из |
|||
следствия 2 .1 , при этом вместо уравнения |
|
||
|
|
JjL = fi>+ F(t,g,B) |
(2.26) |
рассматриваем уравнение |
|
||
|
|
- ^ - = eF(t,Q) |
(2.27) |
относительно переменной Ѳ.
Покажем теперь, что многообразие S t обладает свойст вом притяжения всех близких решений в случае, если ве щественные части всех п — 1 характеристических показа телей отрицательны, то есть установим справедливость не равенства
к ( 0 - Ф ( ^ Ѳ ( /) ) |< С 1 (£ )Г £?"Ч ) , |
(2.28) |
в котором X (і) — любое решение уравнения (1 .1 ), прохо дящее при t — t0 через некоторую точку области D-.
Согласно формулам перехода от х к g, h, имеем, учитывая при этом соотношение (2.9),
|х ( 0 - Ф К , 0(0, е)| =
|
= х°(Ѳ + ей (t, 0, ht)) + ~Y {Q (0 + zu (t, 0, ht)) |
X |
||
X(ht -J- ev (/, 0, ht)) -f- Q(0 -|- eu (t, 0, |
ht)) (ht -f- ev (t, 0, ht))} —- |
|||
- |
X» (Ѳ -f eu (t, 0 , 0 ) ---- ^-{Q( 0 + |
ш (t, 0 , /)) (/ (/, 0 |
, e) + |
|
+ |
еУ (О Ѳ, f)) — Q(Ѳ + eu it, 0, /)) (fit, 0, e) + ev (t, 0 |
, /))} < |
||
|
< Me, P) I ht — f (t, 0 (0, e) I < Я (ep) | ht. — |
|
|
|
|
- / ( / o,0 (/o),e )|ß- ^ - 4 p < P , |
(2.29) |
||
где Я (s, p) — некоторая константа Липшица. |
|
|
||
