Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 199
Скачиваний: 1
84 г л . II. М Н О Г О О Б Р А З И Я У Р А В Н Е Н И Й В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОРМВ
Принимая во внимание, что |
hto и f (t0, Ѳ(£0), е) |
принад |
|
лежат области |
(/3 , окончательно получаем |
|
|
IX (0 |
- Ф (t, Ѳ (t), е) I < |
С, (е, р) e~w ~h), |
(2.30) |
где Сг (в, р) = Х(е, р)С |
(|д :|< р при | / і | < 6 ). |
Неравенство (2.20) непосредственно следует из установ |
|
ленного в следствии 2.4 |
неравенства (2.12), в котором вме |
сто переменной g взята Ѳ. |
|
Утверждения 5 и 6 теоремы 2.1 непосредственно следу ют из леммы 2.3 и следствия 2.4.
Таким образом, теорема полностью доказана.
Г л а в а III
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, БЛИЗКИХ К ТОЧНО-ИНТЕГРИРУЮЩИМСЯ, В ОКРЕСТНОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
В настоящей главе изложены результаты авторов [91 ]—[98], [102]— [106], [131], [134], [148], [149], относящиеся к исследованию однопа раметрических интегральных многообразий, а также двупараметриче ских локальных интегральных многообразий нелинейных дифференци альных уравнений, близких к точно-интегрирующимся. Рассмотрены, в частности, уравнения с переменными коэффициентами, с медленно ме няющимися параметрами; уравнения, описывающие «быстрые» и «мед ленные» движения. Приведены некоторые примеры.
§ 1. Приведение нелинейных дифференциальных уравнений, близких к точно-интегрирующимся, к специальному виду
1. Частные случаи. Рассмотрим систему нелинейных диф ференциальных уравнений
>*♦♦, п), |
(1 .1 ) |
описывающую свободные колебания некоторой механиче ской системы. Предположим, что система (1.1) имеет одно параметрическое семейство периодических решений
Ч = 4 И + ф) (4 (Ф + 2л) = 4 (Ф)), |
(1.2 ) |
зависящее от параметра ср. Пусть это семейство решений
устойчиво, |
т. е. п — |
1 |
характеристических показателей |
..., Я„_і |
уравнений |
|
в вариациях, составленных для |
семейства решений (1 .2 ), имеют отрицательные веществен ные части. Предположим, что, начиная с момента времени t = 0 , на колебательную систему, находящуюся в состоя нии стационарного режима (1 .2 ), воздействует внешнее слабое периодическое возмущение с некоторой частотой возмущения а, которую можно положить равной 1. В резуль тате получаем следующую систему уравнений:
|
'V • • • >ч ,е) |
(k = 1 , . . . . п). |
(1.3) |
8G ГЛ. III. |
М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х |
Р Е Ш Е Н И Й |
Заметим, |
что, так как в момент t = 0, согласно |
условиям |
задачи, справедливы еще формулы (1 .2 ), то для возмущен ных колебаний имеем следующие начальные условия:
Хк(0) — х°к(Cp) ( k = l , . . . , t l ) , |
(1.4) |
где ер — полная фаза в момент начала воздействия возму щения. Рассмотрим вначале случай, когда функции в пра вой части уравнений (1.3) являются аналитическими в об
ласти DPl) X Ее„, где |
DРо— р0-окрестность решений (1.2), |
|||||
Е8о— е0-окрестность |
точки |
е = 0. |
Предположим также, |
|||
что |
характеристические |
показатели |
^ ,..., А„_і |
удовлет |
||
воряют соотношениям |
|
|
|
|
||
t T l i f a x “Ь •••-{- И І Ц — 1^(1—1 |
h q |
i f l ~ |
1> • ■• > M |
1)>) |
||
Щ + • • • + m n- 1 > 2 , |
|
|
|
j |
||
где |
mn-\ — целые |
неотрицательные числа. |
|
|||
|
Тогда, на основании теоремы Пуанкаре о приводимости |
|||||
нелинейной автономной |
системы в |
окрестности |
периоди |
|||
ческого решения к линейной системе [176], общее решение уравнений (1 .1 ) в окрестности семейства решений (1 .2 ) мож
но записать |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
xk = |
fk(at + |
Ф. |
.. . , |
С „ _ xe ’n~{t) |
( 6 = 1 , |
. . . , |
n), |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.6) |
где ф, Ci,..., |
C,i_i — постоянные |
интегрирования, |
при |
||||||
этом |
тождественно |
|
|
|
|
|
|
||
fk (xp, hi, ... |
, A„_i) = /й(ф + 2 л, hi, |
... , A„_i), |
(1.7) |
||||||
|
|
|
/й(ф, 0, . . . |
, 0) = |
лг°(Ф), |
|
|
(1.8) |
|
и функции /й (ф, hi, ..., А„_і) — аналитические |
относитель |
||||||||
но hu ..., hn-\. |
|
выражение |
(1.6) |
в |
уравнения |
||||
Заметим, |
что, подставив |
||||||||
(1 .1 ), имеем тождественно |
|
|
|
|
|
|
|||
|
п—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= |
|
и |
(* = |
i ..........п). |
||
Т |
? = 1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
(1.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем теперь в уравнениях (1.3) вместо х (.Хі, ..., хп) новые переменные ф, h (hi ..., hn~і) посредством замены
= ЫФ. hi, ... , A„_i). {k = 1, ... , я), (1.10)
§ 1. П Р И В Е Д Е Н И Е К С П Е Ц И А Л Ь Н О М У ВИД У |
87 |
при этом, согласно (1.4), начальными условиями для новых
переменных |
будут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
і|з(0 |
) = |
ср, |
М 0 |
) = |
0 |
(6 |
= |
1 , |
|
|
(1 .1 1 ) |
Подставляя |
выражения (1.10) в уравнения (1.3), получаем |
||||||||||||
|
dty . |
Н— 1 |
д/fe |
|
_ |
у |
/ г |
|
г |
\ |
I |
|
|
dfk |
у |
dhq |
|
|
|||||||||
(Зф |
Л |
4- 2J |
«ЭЯ |
|
|
л й(/і- |
• • • > In)+ |
|
|||||
|
|
|
9=1 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+eY (t, /і........... в) |
Ф = 1 |
. • |
|
п). |
( 1. 12) |
||||||
Из уравнений (1.12) |
и (1.9) |
имеем |
|
|
|
|
|
||||||
■ df k |
dty |
|
|
, V |
dfk |
1dhg |
, , |
) __ |
|
(1.14) |
|||
<3i|> |
(-?—>)+S-äM |
|
|
|
■K-iK-u |
||||||||
1 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= *Yk(t,flt ... , |
/я,е) |
(£ = |
1, |
... , H) |
(1.13) |
|||||
Разрешая эту систему уравнений относительно неизвестных
dip |
|
dhx |
|
K1h1, |
|
|
|
dhn- 1 |
|
|||||
dt |
-со, |
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dtp |
|
|
|
k=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
( 0 |
+ |
e |
Yk У’ |
fi’ • ■• >fm e) Nko, |
|
|||||||
|
|
2 |
|
(1.15) |
||||||||||
|
dhg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=\ |
|
|
|
|
|
|
||
|
dt |
— hqllq |
+ 8 |
|
Y k |
(f’ f l ’ |
■ • ■ ’ fn> e) N kq |
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
(q= i, |
|
|
|
П—1), |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dfr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mkq |
|
|
|
|
|
NkQ |
( |
|
− |
1) |
k+q |
dh. |
1.16) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
dfr |
|||||||
|
|
( 7 = 1 ..........tl\ |
|
|
|
|
|
dh. |
|
|||||
|
|
|
|
S = 1............ П—1) |
|
|||||||||
(Mkq |
миноры |
определителя |
А, |
соответствующие k-й. |
||||||||||
строке и q-му столбцу). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Введем обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
.2 Y k (ft fl> • •• ’ |
f nt |
e) |
|
|
|
|
®q—’f f ’ |
f^l’ •••t fln—lt |
s) |
|||||
k=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 9 |
= |
|
0 ,1 ..........n - |
1), |
(1.17) |
|||||
8 8 ГЛ. Ш . |
М Н О Г О О Б Р А З И Я І В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й |
||||
где Ф? (t, |
ф, hi, ..., hn~l, |
e) — 2 я-периодические функции |
|||
t, ф, аналитические относительно hit |
..., hn~\, e. В резуль- |
||||
тате получим следующую систему уравнений: |
|||||
|
= |
(о + |
еФ0 ( i , |
rp, hlt . . . , |
hn_ u е), |
|
„ |
|
|
|
(1-18) |
|
- ß - = |
Ah |
+ еФ(і, ф, hlt . . . |
, hn-u e), |
|
где h — hu ..., |
|
Ф = |
®i, .... Фл-і; A — диагональная |
||
матрица с элементами А,ь |
Xn_j. |
|
|||
Система уравнений (1.18) является системой специаль ного вида, удобной для дальнейшего исследования.
Рассмотрим случай, когда невозмущенная система урав
нений (1 .1 ) или, что все равно, уравнение |
|
-ЗГ = В Д ,. |
(1-19) |
где X, X — /г-векторы, имеет двупараметрическое семейст во периодических решений
X — х° (<at -f- ф, |
а) |
(х° (ф + |
2я, а ) = х° (ф, а ) ) , |
( 1.20) |
||
зависящее от параметров ср, а, |
причем в общем случае о |
|||||
является функцией |
а: |
о) = |
to (а). Относительно функций |
|||
X (х), Y (t, X, е) полагаем, |
что они являются |
аналити |
||||
ческими функциями |
X , |
е в |
области £>Ро X Е8о, |
где £)Ро — |
||
р0-окрестность решения |
(1.20), ЕЁ 0 — е0-окрестность точки |
|||||
8 = 0. |
а £ 31 (31 = |
(а0, а4)) (п — 2) |
характе |
|||
Пусть для любых |
||||||
ристических показателя уравнений в вариациях, составлен
ных для решения (1 .2 |
0 ), |
|
- ^ - |
= Хх(хЦгр,а))8х, |
(1.21) |
имеют отрицательные вещественные части и удовлетворяют соотношениям типа (1.5) (два характеристических показа
теля всегда равны нулю, так как |
уравнение (1 .2 1 ) имеет |
||
два решения вида *) |
|
|
|
Уі№> а) |
дхѵ(чр, а) |
Уг (Ф, а) |
а) |
dip |
да |
||
дх° (ір, а) |
( 1.22) |
|
да |
||
|
*) Знак ~ обозначает, что производная берется по а, не входяще му в со.
§ 1. П Р И В Е Д Е Н И Е К С П Е Ц И А Л Ь Н О М У В И Д У |
89 |
где > д*° (фц,£)---- 2 я-периодические функции ф.
На основании упомянутой выше теоремы Пуанкаре об
щее решение уравнения (1.19) запишется в виде |
|
|
|||||
* = |
/ (<ü* + Ф , а, |
CgeM...................С„еѵ ) |
(х = х,............ хп), |
||||
|
|
|
|
|
|
.(1.23) |
|
где |
ер, |
а, С3, ..., |
Сп — постоянные |
интегрирования, |
при |
||
этом / (со^ + Ф, а, h3...... hn) — аналитическая функция |
а, |
||||||
h3, ..., |
hn при достаточно малых их значениях, |
удовлетво |
|||||
ряющая соотношениям |
|
|
|
||||
,/(со/ + |
ф, a , h 3, . . . , |
hn) = f((i>t + ф + |
2 я, a,h3, |
. . . , hn), ) |
|||
f (со/ + |
ф, а, О..........0 |
) = х° (со/ -f ф, а). |
|
) |
|||
•Совершая в возмущенном уравнении |
|
|
|
||||
|
|
|
-%- = X(x) + eY(t,x), |
(1.24) |
|||
где X, X, Y — п-векторы, е — малый положительный пара метр, замену переменных согласно формулам
X = /Чф, a, h3, .. . , hn), |
(1.25) |
по аналогии с предыдущим случаем придем к уравнениям следующего вида:
|
со (а) + eFx(/, ф, a, ft, е), |
|
|
|
1 |
|
||||
dt |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d a |
eF2 (/, ф, a, ft, е), |
|
|
|
|
|
(1.26) |
|||
dt |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Aft + eF0(/, ф, a, ft, e) |
(ft = |
ft3, |
... , |
hn), |
|
||||
тде A — диагональная |
матрица |
с |
элементами |
Я3, ..., |
Кп, |
|||||
скалярные |
функции |
(/, ф, a, |
ft, е), |
F2 |
(/, ф, a, ft, е) |
и |
||||
{п — 2)-мерная вектор-функция |
F0 (/, ф, a, h, е) являются |
|||||||||
аналитическими функциями a, |
ft, 8 |
в |
области |
21 X £/е„ X |
||||||
X Ее„, 2я-периодическими по /, ф. |
|
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим уравнение с медленно меняющимися пара |
||||||||||
метрами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= X (т, |
X) + |
BY ( т , Ѳ, X , |
е), |
(1.27) |
|||||
где X, X, |
Y — п-векторы, |
т = |
е/, |
|
= |
ѵ (т). |
|
|
||
