Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 200
Скачиваний: 1
90 ГЛ. Ш . МНОГООБРАЗИЯ ВБЛИЗИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ
Предположим, что невозмущеиное уравнение
= X (т, х), г = const |
(1.28) |
обладает устойчивым однопараметрическим семейством пе риодических решений
- X = х° (т, (at + ф) |
( х ° (т>ф + 2л) = х° (т, г(?)) (1.29) |
и X (т, х), Y (т, Ѳ, X, е) — аналитические функции х, е в области Dp0 X Ее„. По аналогии с изложенным выше, пред ставив общее решение уравнения (1.28) в виде
|
|
|
t |
|
t |
dz |
|
|
|
|
|Я,(т)Л |
|
|
|
|
X = |
/(т, (at + |
cp, CLe° |
, |
, С„_іе° |
), |
(1.30) |
|
посредством замены |
|
|
|
|
|||
|
|
|
X = / (т, ф, /г1( .. . , |
|
(1.31) |
||
приведем исходное уравнение (1.27) к виду |
|
|
|||||
“ЗР |
= |
® (т) + гР (т, Ѳ, ф, Нъ |
. . . , |
А„_і), |
|
|
|
— |
= |
Л (т) h + |
еЯ (т, 0, ф, hu . . . |
, /г„_і) (h = |
hb . . . , /г„_і), |
||
|
|
|
|
|
|
|
(1.32) |
где скалярная функция Я (т, Ѳ, ф, hu ..., Л„_і) и (я — 1)- мерная вектор-функция Я (т, Ѳ, ф, й1( ..., й,г_і) определены в области
Ls X Ѳ X Q X Uèo X EEO |
(1.33) |
Я £ (0, L/e], (0, L/e] = L£, І7б0— б0-окрестность точки h — = 0), 2тс-периодические по Ѳ, ф и аналитические относитель
но h, я; А (т) — диагональная матрица, элементами |
кото |
|||
рой являются |
характеристические |
показатели |
(т), ... |
|
..., 7, 1 _ 1 (т) с отрицательными вещественными частями. |
||||
В случае, когда для уравнения (1.28) известно двупара |
||||
метрическое семейство периодических |
решений |
|
||
X = х° (т, а, cat + |
ф) |
(х°(х, а, ф + 2я) = х° (т, а, ф)), |
(1.34) |
|
зависящее от двух произвольных постоянных а, ф и о т т как от параметра (причем со в общем случае является функцией а и зависит от параметра т), при допущениях, аналогичных
§ 1. П Р И В Е Д Е Н И Е К С П Е Ц И А Л Ь Н О М У В И Д У 'I |
91 |
тем, которые были сделаны в рассмотренных выше случаях, приходим к следующей системе уравнений относительно но
вых переменных ф, а, hlt ..., hn- 2 - |
|
|
|
|||
|
® (т, а) + еР (т , Ѳ, ф, а, |
h, |
е), |
|
||
-jjf- — eQ(r, |
Ѳ, tjj, а, h, е), |
|
|
(1.35) |
||
|
= Л (т, |
а) h -f- ER (т, 0 , ф, |
а, /г, е). |
|
||
2. |
Общий |
случай. Предположим, |
что |
невозмущенное |
||
уравнение |
(1.19) |
обладает двупараметрическим |
семейством |
|||
периодических решений (1 .2 0 ).
Рассмотрим случай, когда условие (1.5) линейной неза висимости характеристических показателей не выполняет ся. Кроме того, ослабим условия, налагаемые на функции в правой части возмущенного уравнения (1.24), предполо
жив, |
что в некоторой р0-окрестности семейства решений |
(1 .2 0 ) |
они не являются аналитическими, а непрерывны, об |
ладают ограниченными и равномерно-непрерывными част ными производными по X первого и второго порядков и, кроме того, 2 я-периодические по t. Тогда теорема Пуанка ре неприменима и, следовательно, для приведения исход ных уравнений к специальному виду мы не можем восполь зоваться изложенным выше способом.
Приведем исходное уравнение (1.24) к специальному виду, воспользовавшись теорией Флоке. Представим уравнение (1.24) в виде
= Х(х°(ф, а)) + А (ф, а) y + X ^ t, х, у, е), (1.36)
где
V, х, у, е) = X (х) — X (х° (ф, о)) — Х'х(х° (ф, а)) у +
+ еК (t, X, е) = Ха (х) + еѴ (t, х, е) (Л(ф, а) = Х*(х°(ф, а)), у = х — *°(ф, а)). - (1.37)
Заметим, что применяемые нами в дальнейшем методы пригодны лишь для исследования уравнений с достаточно малой нелинейностью. Поэтому, принимая во внимание, что вектор-функция Х 2 (х) содержит х в степени не ниже
92 ГЛ. III. МНОГООБРАЗИЯ ВБЛИЗИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
второй, полагаем, что всегда можно выбрать такое достаточно
малое положительное рі < |
1 и постоянную N, |
чтобы при |
||
\х I -< Рі выполнялось условие | Х2 (х) | |
N | х | 2 |
и, |
следо |
|
вательно, функция Х 2 (X) оставалась ограниченной |
некото |
|||
рой достаточно малой постоянной. |
|
|
|
|
Рассмотрим линейное уравнение |
|
|
|
|
- § - |
= A(il>, a)z, |
|
|
(1.38) |
являющееся уравнением в вариациях для решения (1.2D), или
= -^г- ln Z (Т, a), |
S (ф,=а) — Z (ф, а) е-'фвиіХ0 |
) ] - 1 |
1 которые^39) |
|||
Введем интегральную |
матрицу |
Z (ф, а) — |
\zjk (ф, о,)} |
|||
(/, k = |
1, .... п) |
уравнения |
(1.39), |
матрицу |
монодромии |
|
Z (Т, a) |
(Z(ф -f- Т, |
а) — Z (ф, a) Z (Т, а)) и матрицы В (а) = |
||||
полагаем зависящими от а как от параметра. Продифференцировав очевидное тождество
= X(X»(со (а)/ + ф, а ) )
по ф и по а , нетрудно убедиться, что уравнение (1.38) имеет
два решения вида
|
д*0 (со (а) t -■>- ф. а) |
|
|
|
|
||||
*і ( Ф, |
а) |
|
дф |
’ |
|
|
|
|
|
г 2 (ф, |
дх° (со (а) t + |
ср, а) _ |
|
|
|
|
|||
а ) |
|
да |
|
|
|
|
(1.40) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
дх° (со (a) t + |
ф, а) со0 (а ) t + |
дх° (со (а) t -f- ср,' а) |
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
да |
|
|
|
|
|
= |
zi (Ф> о ) а і + |
( Ф, а), |
j |
|||
где Zt (ф, а ) , z2 (ф, а ) |
— Г-периодические функции ф, а = |
||||||||
— (Од (о). |
|
|
|
|
|
|
имеет двукратное |
||
Отсюда следует, что матрица |
В |
( а ) |
|||||||
нулевое |
собственное |
значение |
Лі = |
Х2 = 0. |
Остальной |
||||
спектр матрицы В |
( а ) |
обозначим а |
0 |
( В ) |
и предположим, что |
||||
§ 1. П Р И В Е Д Е Н И Е К С П Е Ц И А Л Ь Н О М У ВИД У |
93 |
он не пересекается с мнимой осью и в общем случае распо ложен как в левой, так и в правой полуплоскости.
Посредством преобразования Флоке
Z = S (if, а) у = Z (if, ä) 0 -Ч>Я<в)[ю<0 )) 1^) |
(1.41) |
где В (а) — (п X п)-постоянная матрица, уравнение (1.39) приводится к виду
У = {^о, Уъ • • • , Уп-х). (1.42)
Исходя из представления спектра а (В), приняв во вни мание (1.40), можем записать выражение (1.41) в виде
г = гх(if, а) у0+ г2 (if, а) у1+ U (if, a) erWW®wi~'y
(г/ = у* ■■■, Уп-О, |
(1.43) |
где Н (а) — ln X (п — 2)]-постоянная матрица, зависящая от а как от параметра, спектр которой совпадает со спект ром ст0 (В), а уравнение (1.42) — в виде
Фо |
, |
Фі |
|
, |
dy |
о |
|
(У = Уъ |
Уп—і). |
dip = 0 |
dip |
0 |
dip |
|
|||||
Полагая у |
= |
е^н (а>1“ (а)1 ху, |
получаем |
|
|||||
dip |
_п |
dip |
0 |
, |
■щ-= [«(«)] 1Н{а)~у, |
||||
Фо |
Фі |
|
|
|
|
|
|
||
или, возвращаясь к переменной t, |
|
|
|||||||
|
Фо |
r\ |
|
Ф1 |
|
п |
Ф |
H (а) у. |
|
|
dt |
~ |
’ |
dt |
|
’ |
dt |
|
|
|
|
|
|
||||||
Совершая в уравнении (1.38) подстановку |
|
||||||||
|
г = гха \ a)y0 + z2(if, а)г/г + Ѳ(ір, a)y |
|
|||||||
(Ѳ (if, a) у = |
U (if, |
a) giptf И [a (a)] |
‘у) и принимая во внима |
||||||
ние, что в невозмущенном режиме а рассматривается как
параметр, |
следовательно, |
= 0 , |
получаем соотношения |
||
|
ю + |
Ѳ (if, а) Н (а) = |
A (if, а) Ѳ (if, а) |
(1.44)х |
|
и |
|
|
|
|
|
---- 5Тр~ ® + |
Ѳ (if, а) Н (а) = |
A (if, а) Ѳ (if, а), |
(1.44)* |
||
где Ѳ (if, |
a), Н (a) — комплексно |
сопряжены с Ѳ (if, а), |
|||
Я (a). |
|
|
|
|
|
