Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 203
Скачиваний: 1
•94 г л . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й
Введем теперь в исходном уравнении (1.24), представлен ном в виде (1.36), вместо х (хь ..., хп) новые переменные Ф, а, h (й3, ..., hn) посредством замены *)
X — х°(ф, а) + |
(Ѳ (ф, a) h + Ѳ(ф, a)h). |
(1.45) |
Используя соотношения (1.44)ь (1.44) . 2 и очевидное тожде
ство дх |
а^ |
со = |
X (х° (ф, |
а)), находим |
|
|
|||||
д*°(Ф. а ) |
|
J _ |
( |
д Ѳ |
(ф, а ) |
, |
дѲ(ф, g) |
т г |
dip |
-со I -j- |
|
гіф |
1 |
2 |
V |
дф |
|
^ |
|
|
dt |
||
|
|
|
|
||||||||
д х ° |
(ip, a) |
, |
_1_ / dO (ф, a) ^ |
д Ѳ (ip, a) |
j |
da |
|||||
|
do. |
|
' |
2 |
\ |
д а |
‘ |
д |
а |
I |
dt |
+-тгѳ (Ф, a) ( 4 -----H(a)h
+4 " Ѳ (ф, a) ( - ^ ---- H (a) hj = Y (t, ф, a, h, h, e). (1.46)
Система (1.46) представляет собой систему п уравнений от носительно (2 п — 2 ) неизвестных
dip |
• со (а), |
d a |
dh |
Н (a) h, |
Н (a) h. |
|
dt |
1 Г ’ |
dt |
||||
|
|
|
Выбирая в качестве разрешающего условия соотношение
|
|
dh |
|
г г / |
\ t |
|
dh |
|
■Я (а) А, |
(1.47) |
|
|
|
--------H{a)h = — |
|
||||||||
получим |
следующую |
систему |
п |
уравнении |
относительно |
||||||
п |
неизвестных: |
dip |
|
, |
ч |
da |
’ |
4 |
---- Я (а) к |
||
|
|
|
di |
|
|
|
Ч Г |
dt |
|
) |
|
д х ° (ф, а ) |
д |
в (гр, а ) |
и |
, д |
в (ф, |
а ) 77 |
dty |
||||
|
dip |
1 2 |
д ф |
|
|
|
dф |
|
П |
! dt |
-со(а) + |
|
|
|
|
|
|
||||||
+ |
д х 0 (ф, а ) |
1 д Ѳ |
(ф, а ) |
|
|
|
|
|
da |
||
д а |
+ |
|
д а |
|
|
|
|
|
|
dt + |
|
+ |
— [Ѳ(ф, a) + |
Ѳ(ф, а)] |
|
dh |
Н (a)hj = У (t,\p,a, h, e). |
||||||
|
di |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.48) |
*) Замена (1.45) является вещественной.
§ 1. П Р И В Е Д Е Н И Е К С П Е Ц И А Л Ь Н О М У В ИД У |
95 |
Здесь вектор-функция Y (t, ф, а, h, е) определена в облассти
R X XF X St X U 6i X Eg0,
непрерывна, Т-периодическая по ф и обладает ограничен ными и равномерно-непрерывными частными производными
по ф, а, |
h первого порядка. |
|
|
||||
|
Из выражения (1.37) и формулы преобразования х -> |
||||||
Y |
(ф, |
а, |
h) |
видим, |
что |
при |
h = 0 вектор-функция |
(t, ф, |
а, |
h, |
е) будет |
ограничена некоторой функцией |
|||
М |
(е) -> Оприе -> 0. Кроме того, Y |
(t, ф, а, к, е) будет удо |
|||||
влетворять условию Липшица по ф, а, h с константой Лип
шица Я (е, сг) ->- 0 при 8 |
-> 0,ст -> 0. Чтобы проверить пос |
||
леднее свойство, достаточно |
показать, что вектор-функция |
||
Уг(ф, а, К) = Х (х° (ф, а) + 1) |
— Х ( |
0 (ф, а)) — Хх (х° (ф, а)) I |
|
(і = ~Т (Ѳ |
ö)h + |
Ѳ (Ф. а) h)) |
|
удовлетворяет условию Липшица с константой Я (а) 0 при
а0 (вектор-функция еК (/, х, е) удовлетворяет условию
Липшица с константой sL).
Имеем |
|
|
|
|
Еі г = Х'і (х° (ф, а) + |
/) — Х'х(х° (ф, а)), |
|||
К]ф = Хф (х° (ф, а) + |
/) — Хф(х° (ф, а)) — Х х$ (х° (ф, а)) I — |
|||
* |
|
|
|
Хх (х° (ф, а)) /ф, |
У\а == Ха (х° (ф, а) + |
0 — X (х°(ф, а)) — х"ха(х° (Ф, а)) / — |
|||
|
|
|
|
— X* (х9 (ф, а)) Іа. |
Очевидно, можем написать |
||||
Уі (Фг> й2 , h2) |
Ег ( ф |
fl1( hi) = Y х(ф2, й2, h2) — |
||
— ЕЛфі, Ö2, Аа) + |
ЕЛфi, аа, h2) — Е1(ф1, а1; А2) + |
|||
|
|
|
|
1 |
+ Уг(фі. аъ fh) — У1 (Фі, «1 , К) = j Гіф (фх + s (ф2 — |
||||
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
1 |
— Фі), а 2, й2 |
)(ф2 —• q>i)ds + ] Е'іа (фл, аг + s(a2 — a]), h2)(a2— |
|||
|
|
|
|
о |
|
|
1 |
|
|
— аг) ds + |
j |
Y\h(ф1( аъ hx -f s (h2— Іц)) (h2 — hx) ds. (1.49) |
||
6
96 г л . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Я
Введем обозначения |
|
|
A.J (о) = |
sup I Y н|, (ф, а, h) | = |
sup | Xц, ( л : 0 + /) — Хц, (х°) — ' |
|
|І|«о |
|
|
|
- Х 4 (*0 ) / - Х ( * ° ) 4 1, |
X2(a) = |
sup I Via (ф, a, h) \ = |
sup | Xa (x° -f /) — Xa (x°) — , |
|
|/|=ga |
|/|«sa |
- Х ; а (х«)/-Х Л х°) la\,
X3 (a) = sup I Yu (ф, a, h) | = sup | X/ (x° + l) — X* (x°) |.
| / | « o |
|/|sCT |
|
(1.50) |
В силу непрерывности |
производных вектор-функции |
X (X) следует, что Xt (a) -> 0 при а -> 0 (і = 1,2).
В результате, воспользовавшись представлением (1.49),
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
і ^"і (Фг> a2 i ^2 ) |
(Фі> аь ^i) I ^ |
(°) IФ2 |
Фі I "Ь |
|
|||
|
+ К (о) \аг — а1\ + |
Х3 (а) | / 2 |
— Іх \ < |
|
|||
< |
Mof)(Iф2 — Фі I + \ а2 — ах \ + \k — 1Л)> |
(1-51) |
|||||
где X (о) = |
max {X,j (a), Х2 (а), |
Л3 |
(a)} |
0 |
при о -> 0 . |
||
|
a |
определитель |
|
системы |
(1.48) |
через |
|
Обозначим |
|
||||||
D (ф, a, h). Предположим, что существует такой интервал
91 = (а0, öi), что |
для a £ 91 |
D (ф, а, /г) | й = 0 Ф 0 для 'всех |
||||
ф £ Ф. Тогда |
в |
силу |
непрерывности |
определитель |
||
D (ф, а, К) будет отличен от нуля и в некоторой достаточно |
||||||
малой окрестности |
точки h = |
0 , причем всегда |
можно |
|||
подобрать такое |
достаточно |
малое |
б1( чтобы |
при |
h £ |
|
переменная х, определяемая выражением (1.45), не выходи ла из области DPl.
Разрешая систему уравнений (1.48) в области |
|
|
R X Ф X 91 X U6t X Еео, |
(1.52) |
|
получаем |
|
|
|
® (а) + Р ((, ф, а, h, г), |
|
= |
S(t, ф, а, h, £), |
(1.53) |
~ = |
Н (a) А + R(t, ф, а, h, е). |
|
|
|
|
§ 1. П Р И В Е Д Е Н И Е К С П Е Ц И А Л Ь Н О М У В И Д У ] |
97 |
||||
Принимая |
|
во |
внимание |
свойства |
вектор-функции |
|||
Y |
(t, ф, а, h, е), а также свойства матрицы Ѳ (ф, а), |
устанав |
||||||
ливаем, |
что |
скалярные функции |
Р (t, ф, |
а, h, е), |
||||
S |
(t, |
ф, а, |
Н, |
е) и (п — 2 |
)-мерная |
вектор-функция |
||
R |
(t, |
ф, а, |
h, |
е) определены в области (1.52) и принадлежат |
||||
в этой области классу |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(hx, фт; М(г) jft=0; |
Ч 8. а)(ф,ад)); |
(1.54) |
||
спектр [n X (п — 2)]-матрицы Н (а) для любых а £ §1 не пересекается с мнимой осью и в общем случае расположен как в левой, так и в правой полуплоскости.
Рассмотрим случай, когда невозмущенное уравнение (1.19) обладает k + 1 -параметрическим семейством реше ний
X = х° |
(a>(a)t + ф, а) (х° (ф + |
Т, а) = х° (ф, а)), |
(1.55) |
зависящим |
от параметров а — аь |
.... ak и ф, причем |
го = |
= го (а) > 0 .
Нетрудно видеть, что тогда уравнение (1.39) для каждо го фиксированного значения а будет иметь решения вида
г0 (Ф> а) = |
дха (ф, а) |
|
|
Zj (ф, а) = |
öx° (ф, а) |
дсо (а) t . |
|||||
|
дф |
|
|
|
<3ф |
|
düj |
|
|||
|
|
|
|
|
|
дх0 (ф, а) |
(/ = 1, |
... , k). |
(1.56) |
||
|
|
|
|
|
|
да. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Предположим, что для всех а £ ЭД, ф £ 'F |
|
|
|
||||||||
|
|
rang |
дх°(ф , |
а) |
д х ° (ф, а) |
1 . |
(1.57) |
||||
|
|
|
д\р |
|
да |
— k + |
|||||
т. е. решения z0 (ф, |
a), |
z> (ф, а) (J |
— 1, .... k) — линейно |
||||||||
независимы. Матрица |
В |
(а), |
определяемая |
по |
аналогии с |
||||||
предыдущим |
случаем, |
будет |
иметь k + 1 -кратное нулевое |
||||||||
собственное |
|
значение. |
Остальной |
спектр |
матрицы |
В (а) |
|||||
обозначим о0 (В) и предположим, что он не пересекается с мнимой осью и в общем случае расположен в левой и пра вой полуплоскостях.
В рассматриваемом случае также имеет место представ
ление |
вида (1.43) |
|
|
г = |
2 і (ф, a) t/ 0 |
+ Z (ф, а) у + U (ф, а) е-Ч>н<а>[«(аИ 1 у, (1.58) |
|
где Уо— скаляр, |
у = уи ..., ук, у = |
ук+1.......уп- \ Л ( ф, а) — |
|
(п X ^-матрица, |
U (ф, а) — (п х |
[п— (k -j- 1)]}-матрица, |
|
4 Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова
98 ГЛ. Ш . МНОГООБРАЗИЯ ВБЛИЗИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
H ( a ) - [ n - ( k + |
1)] X [n — (k + 1)]-матрица, зависящая от |
||||||||||||
а как |
от параметра, спектр которой совпадает с о0(А). |
||||||||||||
|
Посредством подстановки типа |
(1.45), |
в |
которой |
к — |
||||||||
[а — (k 4 |
- 1 )1 -вектор, |
исходное |
уравнение |
приводится |
|||||||||
к |
виду |
(1.53), |
где |
а = |
a t ....... |
a k, |
h |
— hk+ u |
• ••> |
V-w |
|||
со |
(a) |
== |
to (a u ..., a k) > |
0, |
P |
(t, |
op, |
a, |
h, |
e) |
—- скаляр |
||
ная |
функция, S (t, |
ф, |
a , |
h , |
e) — /г-вектор-функция, |
||||||||
R |
(t, |
ф, a, h, e) — [n — (k + |
1 )]-вектор-функция, свойства |
||||||||||
которых аналогичны свойствам функций в правой части уравнений (1.53).
В частном случае, когда уравнение (1.19) обладает одно параметрическим семейством периодических решений
X = х° (tot + cp) (х° (ф + 2я) = х° (ф)) |
(1.59) |
и со не зависит от а , |
исходное уравнение (1.24) посредством |
|
замены |
|
|
х = лг°(ф) + 4 "(©(Ф)Л + Ѳ(ф)А), |
(1.60) |
|
в которой матрицы |
Ѳ (ф), Ѳ (ф) выбираются по |
аналогии |
с предыдущими пунктами, приводится к виду |
|
|
|
= © + />(*, ф, h, в), |
О - 6 » |
dh |
|
|
J L = Hh+R(t, Ф, К е), |
|
|
где скалярная функция Р (t, ф, h, е) и (п — 1)-мерная век тор-функция R (t, ф, h, в) принадлежат классу
(*2 ЯІ фт; М(е)ІА=о; Me, oW n); |
(1.62) |
спектр постоянной [п X (п — 1)]-матрицы Н не пересекает ся с мнимой осью и в общем случае расположен как в левой, так и в правой полуплоскостях.
Для уравнений с медленно меняющимися параметрами вида (1.27) также представляет интерес рассмотрение обще го случая, когда условие линейной независимости характе ристических показателей, имеющих отрицательные вещест венные части, не выполняется и функции, стоящие в правой части рассматриваемых уравнений,являются не аналитическими, а лишь дважды непрерывно-дифференцируе мыми. В этом случае мы также можем применить изложен ный выше способ и привести уравнение (1.27) в окрестности
