Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 204
Скачиваний: 1
§ 2. ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ |
99 |
однопараметрического семейства решений (1.29) посред ством преобразования
х== х° (т, ijj) + |
-5 - (Ѳ(т, -ф)h + Ѳ (т, ф) К) (1.63) |
||
к виду |
|
|
|
d f> |
|
C Ö (T ) + |
P (T , Ѳ, ф, h, e), |
~ЗГ = |
|||
dh |
|
|
(1.64) |
dt |
= |
H(x)h + R(x, Ѳ, ф, h, e), |
|
а в окрестности двупараметрического семейства решений (1.34) посредством преобразования
X = х°(т, ф, а) -f {Ѳ(т, ф, а) h -f Ѳ(т, ф, a)h} (1.65)
— к виду |
|
|
dt |
со(т, а) Р (т, Ѳ, ф, а, ft, е), |
|
|
|
|
da |
S (т, Ѳ, ф, а, А, е), |
( 1. 66) |
~ЗГ |
||
~ |
= H (x,a )h + R (т, Ѳ, ф, |
, ft, е), |
при этом матрицы Ѳ (т, ф), Ѳ (т, ф, а) имеют тот же смысл, что и в предыдущих пунктах.
§ 2. Двупараметрические локальные интегральные многообразия
1 . Основные предположения. В настоящем параграфе исследуем локальные интегральные многообразия нели нейного уравнения
- § - = Х(дг) + еУ(*, ж ) , |
(2.1) |
где X, X, Y — п-векторы, в окрестности двупараметриче ского семейства периодических решений соответствующего невозмущенного уравнения
-2 Г = *(*)• |
(2 -2 ) |
Предположим, что выполняются следующие условия.
4«
100 |
г л . |
III. М Н О Г О О Б Р А З И Я |
В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И И |
|
сти |
Г. |
Вектор-функции X (х), еУ (/, х) определены в обла |
||
R |
X D X Е 8о, |
я в л я ю т с я непрерывными функциями |
||
своих аргументов, 2 |
я-периодическими по /. |
|||
|
2°. Невозмущенное уравнение (2.2) имеет двупараметри |
|||
ческое семейство периодических решений *) |
||||
|
|
X = х° (соt + |
ф, а) |
(х° (ф + 2л, а) = л; 0 (ф, а)), (2.3) |
зависящее от двух произвольных постоянных ф, а, причем в общем случае со является функцией а.
3°. В р0-окрестности решения (2.3) |
Х (х)еС 2, V (tx ,)£ |
||
e e l |
уравнений в вариациях |
|
|
4°. Для |
|
|
|
~ |
= А (ф, а) г (А (ф, а) = Хх (х° (ф, а))) |
(2.4) |
|
п — 2 характеристических показателя |
при любых |
а £ 2 1 |
|
( 2 1 = (а0, йі)) имеют отрицательные вещественные части (два характеристических показателя равны нулю ввиду наличия у уравнения (2 .2 ) двупараметрического семейства периоди ческих решений).
5°. А (а) Ф 0 для а £ 2), где **)
А (а) =• min D (ф, а, h) ч>
| f t = 0 =
5л:0 (ф, а ) |
д х ° (ф, а ) |
1 |
(2.5} |
5ф |
д а |
’ ~2 Ѳ (ф, а) + Ѳ (ф, а) |
При этих предположениях докажем существование и установим свойства двупараметрического локального ин тегрального многообразия уравнения (2.1) [971.
*) Заметим, что решения (2.3) представляют собой семейство орбит, являющееся двумерным интегральным многообразием уравнений (2 .2 ), параметрическое представление которого содержит две произвольные постоянные ф и а . Индивидуальные решения, лежащие на этом много образии, соответствуют частным решениям уравнений
di|)
со(а)]
dt
* * ) Матрицы Ѳ (ф, а ) , Ѳ (ф, а ) определены в § 1.
§ 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е М Н О Г О О Б Р А З И Я |
101 |
Как было показано в § 1, с помощью формулы замены пе ременных (1.45) уравнение (2.1) приводится к виду
-$ - = <о(а) + Р (/, ф, а, h, е),
da |
= Q V, Ф, а, (і, е), |
(2.6) |
W |
= H{ä)h + R(t, ф, а, h, е),
где функции Р (R ф, а, h, е), Q (t, ф, а, h, е), R (t, ф, а, h, е) определены в области
R X О X 9Г X U6t X Ее„ |
(2.7) |
|
и принадлежат в этой области классу |
|
|
(/2я; |
М (е) |Л=0; Я, (е, а)(1|,АЛ)); |
(2.8) |
кроме того, для любых а £ ЗД спектр матрицы Я (й) не пе |
||
ресекается с мнимой осью и расположен слева от нее. |
||
З а м е ч а н и е |
2.1. Если порядок гладкости |
функций |
X (X), Y (t, х) по X повысить до г-го (г = 2, 3, ...,), |
то соот |
|
ветствующим образом повысится также порядок гладкости
функций |
Р (t, ф, а, h, е), Q (і, ф, а, h, е), |
R(t, ф, а, h, е) |
||||
по ф, а, |
h. |
|
|
|
|
локаль |
2. Лемма о существовании двупараметрического |
||||||
ного интегрального многообразия. |
|
|
|
(2.6) об |
||
Л е м м а 2.1. Пусть правые части уравнений |
||||||
ладают указанными |
выше свойствами. |
Тогда всегда можно |
||||
указать такое положительное et С |
е0, |
что |
для любого по |
|||
ложительного е <! Sj |
уравнения (2 .6 |
) |
имеют единственное |
|||
двупараметрическое |
локальное интегральное многообразие, |
|||
представимое соотношением вида |
|
|||
|
h — |
Ф, а, е), |
(2.9) |
|
где вектор-функция / |
(/, ф, а, е) определена в области |
|||
|
R x Q x V l x Е8о) |
(2.10) |
||
является непрерывной |
функцией своих |
аргументов, 2я-пе- |
||
риодической по t, Т-периодической по ф |
и для любых а £ 91 |
|||
удовлетворяет неравенствам |
|
|
||
\f(t, ф, а, е)| < D ( e ) < 6 |
2 (б2 |
-Сöj), |
|
|
I / (t, ф', а', е) — f (t, ф", а", е) | < |
А(е) {| ф' —ф" | + К — а"\}, |
|||
где D (е) -> 0, А (е) -> 0 при е ->- 0. |
( 2. 11) |
|||
|
||||
I |
102 ГЛ. Ш . М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х |
Р Е Ш Е Н И Я |
||||||||
I |
Если функции, стоящие в |
правой части уравнений (2.6), |
||||||||
! |
в области (2.7) имеют ограниченные и равномерно-непрерыв- |
|||||||||
I |
ные частные производные по ф, |
a, h, е до г-го порядка (г = |
||||||||
|
•==0 , I,...), то функция f (t , ф, |
а, |
е) также будет иметь в |
|||||||
1 |
области (2 .1 0 ) |
ограниченные и |
равномерно-непрерывные |
|||||||
■частные производные по ф, а, е до г-го порядка. |
уравнений |
|||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Вместо |
системы |
|||||||
: (2 .6 ) рассмотрим систему |
|
|
|
|
|
|
||||
|
-др * |
% (а) + Рі (*, Ф, а, К е), |
|
|
||||||
|
-% Г |
= |
Qi (t, -ф, a , |
h , |
е), |
|
|
(2. 12) |
||
|
|
= |
Ну (a) h + |
Rt (t, -ф, a, h, г), |
|
|
||||
|
в которой функции, стоящие в правой части, определены в |
|||||||||
|
расширенной области |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t е я , |
ф G Q, а g й, |
h е и 6„ г е е 8о, |
(2 |
. із) |
|||||
|
где 81 — расширение |
81 — области |
изменения |
а (/) |
для |
|||||
|
всех ! £ R, обладают в этой |
области теми же свойствами, |
||||||||
|
что и функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р (t, ф, а, h, е), |
Q (t, ф, а, h, е), |
R (і, ф, а, |
h, в) |
|
|||||
в области (2.7), а в области (2.7) совпадают с ними. Необходимость введения системы (2.12) будет обуслов
лена ниже.
Установим существование интегрального многообразия ЭЛ) уравнений (2.12), представимого соотношением вида
h = Ы*> Ф, а, е), |
(2.14) |
где / 1 (t, ф, а, е)— непрерывная функция своих аргументов, 2 л-периодическая по і и Г-периодическая по ф, удовлетво ряющая неравенствам типа (2.11). Для уравнений (2.6) мно
гообразие ЭЛ$ будет локальным интегральным многообра зием (= ЭЛ,).
В дальнейшем вектор-функции F (t, ф, а, е), определен ные в области
, Я х Ч ' Х І Х Е 60, |
(2.15) |
