Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 208

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е М Н О Г О О Б Р А З И Я Г ЮЗ

непрерывные, 2 я-периодические по t, Г-периодические по ф и удовлетворяющие неравенствам

|РК , ф, «, e)|< D (e),

(2.16)

I F{t, ф', a', e) — F (t, tj/', a", e) | <

 

< А (е ){ |ф '- ф " |- Н о '- А " |} ,

(2.17)

где D (e) О, А (e) -> О при e ->- 0, будем считать принад­ лежащими классу С (D , А).

Выберем некоторую функцию F (t, ф, а, е) £ С (D, А) и рассмотрим уравнения

=

®і (а) + Pi (t, Ф, fl, F У, Ф, fl, e), e),

ta

(2-18)

=

QAt, Ф, a, F (t, ф.- а, e), e).

Воспользовавшись свойствами функций Pt (t, ф, а, h, г), Qi (t, ф, а, h, e), нетрудно установить справедливость сле­ дующих неравенств:

I Pj (t, ф, a, F (t, ф, а, е), е) j < М (е) + К(е, D) D, (2.19)

Рх(і, Ф, а, Р(^, Ф, а, е), е) £ Lip {ф, а; Х(е, D)(l + А)} (2.20)

(аналогичные

неравенства

выполняются для функции

Qi (t, ф, a, F (t, ф, а,

е),

е)).

 

 

 

Отсюда на основании теоремы Коши вытекает существо­

вание и единственность решений ф<? at

уравнений

(2.18).

Обозначим их через

 

 

 

 

 

 

 

= Blta(Ф0, flo);

at = Аг,и (Фо, fl0),

(2.21)

при этом В£<„(ф0, fl0) = ф 0,

AojAi>о, «о) =

flo-

 

Рассмотрим очевидные равенства

 

 

d (ф! — ФО

.

 

 

 

*

*

 

------_ ----- =

ю(а,) — ш(а,) +

Р х(/, Ф<, а«,

 

^ . Ф ь й ь

е), 8 ) — Px(t, ф^, а<, P(L ф„ а<, е,)е),

(2 .22)

d(а! — а/)

_

.

,

 

«

 

 

 

 

----- 5------ “

(*•

üu F*

e), e) —

 

 

— Qi (*, Ф/, fl«, F {t, ф„

atf e), e),

 

104 гл , III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Я

где -ф/, а* — решения уравнений (2.18) для функции F* (і, ф*, а*, г), также принадлежащей классу С (D, А).

Мажорируя правые части этих равенств и принимая во внимание условия (2.19), (2.20), получаем

d (г|у — %)

 

 

 

 

 

 

 

dt

< [С

+ Це, D)(l + A ) ] ( | ^ - ^ | +

 

+

1a] — at |) + Jt(e, D)|| F* — F ||,

d {at — at)

 

 

 

 

 

 

(2.23)

 

 

 

 

 

 

 

It

<; [С + Я (e, Ö) (1 + A)] (| ф^ —■фг! +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

|а ? -Я /І) + Ме, D )IF * -F i,

где С — константа Липшица в условии

 

 

 

I © (at) — со (at) I < СI а] — at|.

 

Полагаем, что С <

 

а/4. Из

(2.23) получаем следующие не­

равенства:

 

 

 

 

 

 

 

 

1Ф< — Ф< I=

IВІ'и (Фо, flo,

е)—

Вг.и(Уо. Оо, е)I <

 

~2~ (flФо —

Фо I+

|ßo —

a01]+ [|фо —

Фо I+

 

I

1F '* — F II .

2[С+Цв.Р)(1+ А)]И _

n

 

“r

 

2(1 +

Д)

1

 

 

>’

I at — at I =

1А Н (Фо, flo, e) — Az>u(ф0, a0, e) | <

} (2.24)

 

-J- {fI Фо

Фо I +

I a0

 

ß0 |] + [| Фо

Фо I +

+ | ß‘ — ао|]е2

[С+ад(И-ДШг|} +

 

 

 

I

 

ИF *

F И /

2[С-(-Я,(е,ОКН-Д)Лг[

,,

 

"*■

 

2(1 -(- Д)

У

 

 

'■

Возвратимся к уравнениям (2.12). Так как спектр матрицы Ні (а) не пересекается с мнимой осью и расположен слева от нее и вектор-функция (/, ф, а, h, е) является ограниченной функцией в области своего определения (2.13), то, как известно, уравнение

-%f- = Hi(a)h + Ri(t, Ф, a, h, е)

(2.25)

§ 2. ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

105

имеет

ограниченное

на

всей оси

R

 

решение

h (t) =

= h (t, ф (t), а (t), e),

представимое в виде

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h ( t ) =

JО ^ Я ^ - М .ф ,,

а„ /і2, e)dz.

(2.26)

 

 

 

— CO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

G (2 ) — функция

Грина

матрицы

Hi (а), определен­

ная при помощи соотношений

 

 

^ > 0

,

 

 

 

 

 

[ 0

 

 

 

 

 

 

 

G

( 0 =

U

 

~ ™

r \

 

t c

0

,

(2'27)

где /,

Г- 1

— единичные

матрицы,

Ht (а)_— [n X (п — 2)1-

матрица,

спектр

которой для

всех

а £ 9(

не пересекается

с мнимой осью и расположен слева от нее.

 

 

Нетрудно видеть,

что функция G (t)

удовлетворяет диф­

ференциальному уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= — Нх (a) G (0 = — G (t) Я, (а)

(2.28)

и условиям

 

 

 

/;

G (+ 0) = 0;

 

(2.29)

 

 

G(— 0) =

 

кроме того,

 

IG(О і С

Ке~'а^

 

 

 

(2.30)

 

 

 

 

 

 

 

на всей оси R, где К и a — некоторые

положительные по­

стоянные.

Рассмотрим теперь такие решения г|у, at уравнений

(2.18) , которые

при і — t0 принимают значения

ф,

а: г(з( =

= Bz,i„ (ф, а); а(

—

(ф, а). Для этих решений

из

урав­

нения (2.26) получим интегральное уравнение

 

 

 

СО

 

 

 

F (t, ф, а, е) =

]

G(2 ) Rx [t -f- г; В ^ (ф, a); Л£<„ (ф, а);

 

—оо

 

 

 

F ( t + z; B z j A t y ’ а); ^ „ ( Ф . a Y> е); е} dz,

 

(2.31)

определяющее функцию F (t, ф, а, е) £ С (D , А).

Как видим, здесь интегрирование по г ведется от —оодо + оо, и так как а, определяемая как решение уравнений (2.18) , является функцией г (— t — /0), то при изменении z от —оо до -f оо переменная а = а (г) может выйти из об­ ласти 21 = (а0, щ). В связи с этим при рассмотрении ин­ тегрального уравнения естественно расширить область зна­ чений а (() для t £ ( — 0 0 , 0 0 ).

106 ГЛ. III. МНОГООБРАЗИЯ ВБЛИЗИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯ

Докажем теперь существование единственного решения уравнения (2.31). Для этого вместо уравнения (2.31) рас­ смотрим операторное уравнение

F = SF,

(2.32)

где S — оператор, определяемый правой частью (2.31), и применим к уравнению (2.32) принцип сжатых отображений.

Воспользовавшись свойствами функции R t (t, ф, a, h, е), а также неравенствами (2.24), получим

 

 

 

I St'ba (F)I < -Щ- {М (8

) + I (8 , D) D),

 

(2.33)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

I S

t . w (F*) -

S,.*.« (F) I <

(г, D )\ F *

— F \\ j

<Га|г| dz +

+

K l (e, D) (1 +

A) $

(I В Ц -

Bit. I +

IАІХ -

Ab}) X

 

 

 

 

 

 

— OO

 

 

oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

dz <

K l (8

, D) IIF* -

F II

j <Га1г| dz + K l (e, D) и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— OO

 

 

 

 

X

( 1

+ A) J

-а + 2 [е + Я (е .о К1Ч-д )3}ігі( | ф * — ф 0 | + 1а*—й 0|)

dz+

 

K l 2(е,

D) (1

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

,

+

Д.) „ £•*

с и

С

« + 2 [С-)-?.(е.О)(Н-Д)]] |2і

 

,

+

С + М 8

, D)(1

+Д)"Г

Г)|

J

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/аМе, РҢ1 + А)

Г —аіг)

•

(2.34)

 

 

 

 

 

 

C + Me, D)(l +Д)

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выберем теперь величины D и А как функции парамет­ ра е (D = D (е), А = А (е)) таким образом, чтобы D (е) ->• -► 0, А (е) -> 0 при е -> 0 и чтобы для всех положительных

е< 8 і (ej <; е0) выполнялись неравенства

Ж-{М (г) + 1(г, D)D) < D;

-% -l(e,D )(l + А )< Д ;

(2.35)

2 [G + Я(е, D)(l + Д ) ] < 4 -

8Ä. (е, D)

К < 1.

а

 

§ 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е М Н О Г О О Б Р А З И Я

107

Такой выбор D, А всегда возможен, поскольку а > АС, М (е) ->- ОД (е, D) -> 0 при г -> 0, D 0.

В результате вместо (2.33) и (2.34) получим следующие неравенства:

 

\St.ba(F)\< D (e),

 

(2.36)

I

(F*) — 5<,ф,а (F) |< А (е) (1 -ф* — ф I -f- j а* — а |} +

 

 

 

+ 4 - | | ^ - F | |

(2.37)

и, в частности, при F* =

F

 

 

I S w a ' (F) — Sw,a (F) I <

A (e) (I ф* — ф I -f I a* — a |}. (2.38)

 

Из неравенств (2.36) и (2.37) следует, что при е <

ej опе­

ратор S отображает класс функций С (D, А) на себя.

 

 

При а* = а, ф* =

ф из неравенства (2.37) получаем

 

ISF » - SF I <

-±- j р >— F I, I/ 1- sup I f |.

(2.39)

 

Покажем теперь, что

последовательность

функций F0,

Fi, ..., Fn, ..., принадлежащих классу С (D,

А), равномер­

но сходится к пределу, также принадлежащему этому клас­ су функций.

Возьмем функцию F0 и построим функцию Fі согласно равенству рг =* SF0. Функцию Fі назовем первым прибли­

жением уравнения (2.32). При этом,

так как S переводит

функции из класса С (D , А) в функции того же класса, то

Fi

(D , А). Можем

построить

второе приближение

F%=

SFU принадлежащее классу С (D, А), и, вообще, мо­

жем построить (р + 1 )-е приближение

 

 

 

 

FP+l= S F p,

 

(2.40)

также принадлежащее классу С (D, А).

В

результате получим последовательность функций

 

 

F0,F U . . . ,

Fa, . . . .

(2.41)

принадлежащих

классу

С (D, А).

 

 

Составим ряд

 

 

 

 

 

+

— ^о) +

(^ з — ^і) +

• • •

+

(Fn+i — Fn) + • • •.

На основании неравенства (2.39) и свойства ограничен­ ности функций Ft легко видеть, что члены этого ряда по абсолютной величине не превосходят членов сходящегося ряда с постоянными членами. Отсюда вытекает, что

Смотрите также файлы