Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 207
Скачиваний: 1
108 ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й
последовательность (2.41) равномерно сходится к некоторой функции F. При этом, так как функции F{ обладали свой ствами, характеризующими класс C(D, А) независимо от индекса і, то этими же свойствами будет обладать и пре дельная функция F.
Из неравенства (2.39) следует, что 5 является операто ром сжатия.
Таким образом, все условия теоремы 1.2.1 выполнены и, следовательно, уравнение (2.32) обладает единственным ре шением, которое является пределом равномерно сходящей ся последовательности функций Fn.
Обозначим его |
ф, а, е) fx(t, ф, а, е). |
F(t, |
|
Из самого определения класса С (D, А) следует, что это |
|
решение является 2 |
я-периодическим по і, Г-периодиче- |
ским по ф и удовлетворяет неравенствам типа (2.16), (2.17). Дифференцируя итерационные формулы (2.40) по ф, а, нетрудно установить, что если функции в правой части уравнений (2 .1 2 ) обладают ограниченными и равномерно непрерывными частными производными по ф, a, h до г-го порядка (г = 0 , 1 , ...), то / 4 (t, ф, а, е) также будет обладать ограниченными и равномерно-непрерывными частными про
изводными по ф, а г-го порядка (г = |
0 |
, 1 ,...). |
|
|
|
|||||||||
|
Для |
доказательства |
рассмотрим |
последовательность |
|
|||||||||
И |
ряд |
|
|
FV, F[г)............. |
|
|
|
|
(2.42) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
FV + (F\r) - |
F(0r) + |
(F{? - |
FV) + • |
• • . |
(2.43) |
|||||||
|
Из |
существования |
непрерывных |
производных |
от |
|||||||||
|
(t, ф, a, |
h, е) |
по |
ф, |
a, |
h г-го |
|
порядка |
(г — 0 , 1 ,...), |
|||||
а также равномерной сходимости интегралов |
|
|
|
|||||||||||
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
G{z) X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
R, {/ + г ; |
Дг,Г '; |
Л Д |
т ' ; |
Fp_x(і + |
г ; |
|
FP~l: |
|
«а- |
dz, |
|||
|
|
|
*У>е) |
|||||||||||
J G(2 ) X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
—oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
R \ r) { / + |
г ; |
|
|
|
(t |
ф - |
г ; |
|
А |
& ' ; |
e ) ; e ) |
dz, |
|
§ 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е М Н О Г О О Б Р А З И Я |
109 |
что очевидно согласно оценке (2.30), а также в силу огра ниченности Ri {t, 4 (3 , а, h, е) и ее частных производных по I);, а, h до г-го порядка (г = 0 , 1 ,...), следует, что в выраже нии (2.31) можно дифференцировать под знаком интегра ла по ф, а, h:
F p ]— |
S=F |
pJ }G(z)X |
X R\r) {t + |
z; |
4 r ‘; Pp-\ (t + 2 ; ВІГ 1; а & ' ; e); e}dz. |
Если I Fon I < N0 (r = 0, 1, ...) , то, учитывая ограни ченность производных от Ri (t, ф, a, h, е) по ф, а, h, имеем
I F\r) I С Ыъ |
и, следовательно, |
| F\р — F ^ 1С N0+ |
N t ~ N2. |
||
Учитывая |
неравенства |
(2.24), |
находим |
|
|
j t-f _ |
F\r) I = I SF\r) — SF(0r) I = |
|
|
||
J |
G (z) [ЯГ’ {t + z; |
A ^ 0; F,; e} - R\r) [t + |
z; Br/}- |
||
АгХ; F0; e}] dz < К (e, D)\F1 — F0\ = XL (г, D) M = iV
при j —F0| = M. Далее, получаем
lFir)-F % )\ = \SF[r> -SF [r)\ =
J G(z)lR[r){ t+ z ; B ^ - A ll - F ,- s }
г*. |
< |
R\r) \t + г; B/ja] Azja; F^ e}J dz |
< \ (e, D) I f 2 — Fi I < \ (г, D) ~ M = -j- У,
Таким образом, члены ряда (2.43) не превосходят по аб солютной величине членов сходящегося ряда с постоянными положительными членами
^о + ^ г + ^-Ь -і-Л ^ + -І-ЛГ + • • •
110 гл. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Я
и, следовательно, последовательность (2.42), составленная из
ограниченных и равномерно-непрерывных функций Fn\ равномерно сходится:
(2.44)
где Ф также ограничена и равномерно-непрерывна.
С другой стороны, так как последователность {Fn} рав номерно сходится к функции fi’. Fn =$>fi, то эту последова тельность можно почленно дифференцировать и, следова
тельно, согласно (2.44), f[r) = Ф, т. е. /f (/, гр, а, е) имеет ограниченные и равномерно-непрерывные частные произ водные по гр, а до г-то порядка (г = 0 , ],...).
Покажем теперь, что многообразие ЭЛ), определяемое функцией fi (t, ф, а, в), действительно является интеграль ным для уравнений (2.12). Для этого в уравнении
со
fi(t, ф, а, е) = j G(z)R1 {t + г; Д£/(ф, а, е);
Л£<(ф, а, е); /у [/ + г; Д^(ф, а, е); Л^(ф, а; е); е]; е} dz (2.45)
заменим ф на ß<L< 0 > < 0 |
(ф, а, в), а — на Л/1 _ / 0 > * 0 |
(ф, а) |
и заме |
||
тим, что выполняются тождества |
|
|
|
||
|
Лгд, (ß*L/„/0; |
= А{'+( |
|
|
|
Положив т = |
г + (и |
обозначив |
|
|
|
К = |
h[t\ B\Lt0 ./0 (ф, а, е); |
Л{і_,оЛ(Ф, |
е); е1 |
: |
|
Ф< = |
Я{і-і„/.(ф, а, е); at = |
Л{і,„(.(ф, а, е), |
|
||
из уравнения (2.45) получим |
|
|
|
||
оо |
|
|
|
|
|
hf, = ^ G(т |
i) R1(т, фт, ах, hXl, в) dx = |
|
|
||
—ос |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ |
J ^ (т |
0 ^ і(т>фт, öx, Ат„ е) dx -f- |
|
||
—о© |
|
|
|
|
|
|
ос |
|
|
|
|
+ j G(x — t) Rx(т, фг, ах, At,, е) dx. |
(2.46) |
§ 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е М Н О Г О О Б Р А З И Я |
111 |
Дифференцируя полученное выражение по t как по пара метру, принимая во внимание свойства функции О (г), убеждаемся, что ht, удовлетворяет уравнению
|
|
|
= Я/t + |
7Д (t, ф, a, h, е). |
|||
С другой |
стороны, |
по |
определению |
операторов |
|||
•= В[\и (ф, а, г), |
at = |
(ф, а, е) имеем |
|
||||
|
dt |
|
со (fl,) + |
Р (t, фь аи Д (t, ф#, at, е), е), |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=* <2 (*. Фь «с- М*. Ф/> at, г), |
е). |
||||
Таким |
образом, |
ф, = В£<0 (ф, а. е), |
а( = |
(ф, а, е), ht, = |
|||
= /t (/, |
ф,, |
at, |
е) представляют |
собой |
решение системы |
||
уравнений (2.12), сводящееся при t — t0 к ф, а, Д (Д, ф, а, г).
Следовательно, многообразие |
определяемое |
соотноше |
||
нием |
|
|
|
(2.47) |
|
|
|
|
|
является интегральным для уравнений (2 |
.1 2 ). |
уравнения |
||
Принимая во внимание, что в области |
(2.7) |
|||
(2 .1 2 ) эквивалентны уравнениям (2 |
.6 ), приходим к выводу, |
|||
что в этой области Д (Д ф, а, е) |
— f |
(t, ф, а, е) |
и, следова |
|
тельно, в области (2.7) многообразие, определяемое соотно шением (2.47), является локальным интегральным много образием для уравнений (2 .6 ).
Легко видеть, что из существования функции
/ (t, ф, а, е) вытекает существование функции J(t, ф, а, е), комплексно-сопряженной с / (t, ф, а, е).
Из леммы 2.1 вытекает следующее следствие.
С л е д с т в и е 2.1. На многообразии ЭП, рассмотрение исходных уравнений сводится к рассмотрению двух уравне ний относительно ф и а:
|
== со (а) -)- Pf (t, ф, а, е), |
|
da |
(2.48) |
|
= Qf(t, Ф, а, е), |
||
Ч Г |
еде функции
Pf (t, ф, а, е) = Р (t, ф, а, f (/, ф, а, е), е),
Qt (t, Ф, а, е) - Q(t, ф, а, / it, ф, а, е), е)
