Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 211
Скачиваний: 1
112 ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я |
В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й |
||||||||||||
обладают свойствами, аналогичными свойствам функций в |
|||||||||||||
правой части |
уравнений |
(2 .6 ). |
|
|
локального интеграль |
||||||||
3. |
Свойства |
двупараметрического |
|||||||||||
ного многообразия Ж,. Установим свойство притяжения |
|||||||||||||
многообразием Ж, |
траекторий любых решений уравнений |
||||||||||||
(2 .6 ), выходящих в начальный момент времени из некоторой |
|||||||||||||
окрестности многообразия Щ . |
|
|
|
уравнений |
(2.6) |
||||||||
Л е м м а |
2.2. |
Пусть |
правые части |
||||||||||
обладают свойствами, указанными на стр. |
1 0 |
1 . |
|
|
|||||||||
Тогда можно указать такие достаточно малые положи |
|||||||||||||
тельные постоянные е', |
а, |
6' (6' •< 63 |
бь |
е' С |
еі), |
что |
|||||||
если для любых а £ 2 1 все |
точки спектра матрицы Н (а) |
||||||||||||
расположены |
слева |
от |
мнимой |
оси *), |
то |
для |
каждого |
||||||
положительного |
е •< е', |
любого вещественного t0 |
и любых |
||||||||||
У,, £ Q |
и а £ 2 1 |
существует |
(п — 2 )-мерная |
область |
Uv |
||||||||
точек |
{h), обладающая |
тем |
свойством, |
что |
если |
для |
|||||||
t — t0 А". € Uv, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ІА?— / (*>Фі, ап е) I < |
V (е, 6 ) <Г“<<-'о) | hHQ— / (/0, ф0, а0, е)| |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.49) |
|
до тех t, пока |
at £ Д, где |
ip0, ап, |
h 0 — значения |
xpt, at, ht |
|||||||||
при t = t0\ ti't — любое решение уравнений |
(2 |
.6 ), |
не лежа |
||||||||||
щее на многообразии Ж/, |
и у |
(г, |
6) -о- 0 |
при |
е -> 0 , |
6 ->■ |
|||||||
-> 0 ( 6 |
< б'). |
|
|
|
|
Рассмотрим интегро-дифферен- |
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||||||||||||
циальную систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
І
h, = j G(x — t)R (т, фт, ах, hx, e)dx + G(t0 — t) N,
to |
|
= со (at) + |
p (t, tfo, at, ht, e), |
^ § - = Q(t, |
at, К e) |
t > t 0,
(2.50Д
(2.50),
*) Случай, когда все точки спектра матрицы Н (а) расположены сле ва от мнимой оси, рассмотрен ради простоты. Не представляет затрудне ний рассмотреть и более общий случай, когда спектр матрицы Н ( а ) не пересекается с мнимой осью и расположен как слева, так и справа от мнимой оси.
§ 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е М Н О Г О О Б Р А З И Я , - |
|
U S |
|||
(ф, = ф0, а( — а при t — g , где |
N — произвольный |
фик |
|||
сированный (га — 2 |
)-вектор. |
|
|
|
|
Для построения решений этой системы уравнений вве |
|||||
дем следующую вспомогательную систему: |
|
|
|||
ht = — |
[ G(x — t)R (т, фт, йх, /гХ) e)dx + G (t0— t) N, |
||||
|
|
t > t 0, |
|
(2.51)t |
|
|
•^jjp = |
«»(а,) + P (t, ф„ at, ht, e), |
|
|
|
|
da, |
Q(t> Фо at, ht, |
e) |
(2'51)* |
|
|
-5/- = |
|
|
||
(ф( = ф0і |
at = а |
при t — t0), |
решение которой |
|
будем |
искать с помощью метода последовательных приближений.
Выберем произвольную функцию / 0 |
(t, ф, а), |
удовлетво |
ряющую в области |
|
|
R X Й X Ш |
|
(2 .5 2 } |
условию Липшица |
|
|
7о(^, “ф, «) е Lip {^, |
А}, |
(2.53) |
где А — постоянная, не зависящая от ф и а, а также выбе рем вектор N таким образом, чтобы выполнялось условие
|
|
|/ 0 (*,ф ,га)|+ К |Л М < О (е) < 6 2, |
(2.54) |
|
в |
котором |
К — постоянная из условия (2.30),и положим |
||
|
|
h V, Ф> а, Ю = /о V, Ф, fl) + G (t - g N. |
|
|
Тогда, согласно неравенствам (2.54) и (2.30), имеем |
|
|||
|
|
|
|/„ (/,ф ,а,Л 0 |< £ > (е )< 02, |
(2.55) |
|/ 0 |
( /,ф ',А ',Г ) - /о ( < ,Ф ',в ',^ ') |< |
|
||
|
< А (|ф' — ф" I + I а' — а" I) + Ке~аЦ~и) \ N' — N" |. |
(2.56) |
||
|
Рассмотрим уравнения |
|
||
|
“2 р |
= |
® (а) + Р (t, ф, о, /о (t, ф, а, N), е), |
|
|
|
= |
Q(t, гр, а, / 0 (/, ф, а, N), е). |
(2.57) |
|
|
|
114 гл. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И ЗИ П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й
Согласно свойствам функций Р (t, ф, a, h, |
е), Q |
(t , ф, а, |
||||||
h , е), правые части |
уравнений (2.57) удовлетворяют усло |
|||||||
виям теоремы Коши |
и, следовательно, |
при |
заданных на |
|||||
чальных условиях решение |
уравнений |
(2.57) существует |
||||||
и единственно. Обозначим его |
|
|
|
|
||||
|
ф/° = |
(ф0, а0, N); |
а[* = Л&. (ф0, а0, N). |
|
||||
Подставляя в уравнения (2.51)1( (2.51)2 вместо ф, |
a, |
h соот |
||||||
ветственно функции |
Bfzj a (ф, a, N), A fz°to (ф, a, |
N), |
/ |
0 (t + z; |
||||
Bz,t„\ |
A lw N), |
находим значение h в первом приближении |
||||||
|
|
и-< |
|
|
|
|
|
|
/і(С |
ф, a, N) =т— j |
G (г) R(t + z; B h (ф, a, N); Ah (ф, a, N); |
||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
h V + |
г; В[у, Аіу, N); г) dz + G(t0 - |
t) N. |
|
(2.58) |
С другой стороны, из уравнений (2.51)!, (2.51)2, согласно не равенствам типа (2.19), (2.20), а также (2.30), получаем
d [В[\ (ф', a ', N ') — В[\ (ф', а", N")] |
|
||
------J------------ - --- !----------------- < |
|
||
< А, (е, D) (1 + |
Д) (I В':, (ф', a', N') ~ |
В& (ф", а", N")\ + |
|
+ I А& (ф', а', N') - |
A h (ф', |
a", W»)|} + |
|
|
|
+ К(е, D) Ke-a{t~h) \N' — N "\, |
|
d [4«! (ф', a ', N ') - |
A h (ф', a", |
N")\ |
|
--- :--------Jt : |
< |
|
|
< Я (e, D) (1 + |
Д) (I B h (Ф', fl', N') - |
B h (Ф", а", N") | + |
|
+ 1A h (ф', a', N') - |
A h (ф', а", N")\) + |
||
|
+ Ц г, D)Ke~a{t~ia)\N '— N”\. (2.59) |
||
Из этих неравенств находим |
|
|
|
1ВІУ (ф', a', N') - |
Bh. (ф', а", /Щ < |
|
|
< 4 |
- ( И > ' - ф " | - К - а ', І) + |
+ (1 ф' — ф" I + I а' — а" I)еЧляні+АХ*-« +
5 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е |
М Н О Г О О Б Р А З И Я |
115 |
||||
1___________ X ( e , D ) K |
, N , _ |
N „ I , |
|
, |
2Ж е.О )(1+Д )«-<„), |
|
^ — a + к (г, D ) ( l |
+ Д ) 1 |
1 1 |
|
|
|
'* |
|
|
|
|
|
|
(2.60) |
I A’X (ф', a’, N') - |
А {\ (ф', |
а", ЛГ)| < |
4 “ (Іа’ — а"\ — |
|
||
— | ф' — Ф" I) + |
(IФ' — Ф"I + Iа' — a"I) ^Ä D )(1+A )« -« + |
|||||
I___________^ ( е ’ Д ) К _______ I A7' ___ A T " I I p — a l t — to) |
, |
?.(E,D)(1+A )(( T 0) I |
||||
+ - а + Я , ( 8 , 0 ) ( 1 + Д ) І ІѴ |
|
|
i _ e |
|
/• |
|
Согласно неравенствам |
(2.55), |
(2.56), |
а |
также |
(2.60), |
из выражения (2.58) видно, что всегда можно выбрать та
кое |
е' < |
е1( |
чтобы |
для |
всех |
е < е' |
вектор-функция |
||||
/і (/, ф, а, |
Af, е) |
удовлетворяла следующим неравенствам: |
|||||||||
IЬ (t, ф, а, N, е)| < |
{М (е) + |
Я(е, D) D} + |
К\ N | < |
D (е), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.61) |
|/і(<, Ф', fl', N \ z ) - h ( t , |
ф", а", ЛГ', B)| < ^ ( 8 , 0)(|ф' — ф'И- |
||||||||||
|
-Н а’ — а" I) + |
к г(е, D) e_ct(<_w \N' — Nn|, |
(2.62) |
||||||||
где |
vx (е, D) -> 0, |
/Сі (е, £>)->/( |
при |
е ->- 0, |
D -> 0. |
|
|||||
|
Затем из уравнений |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
(о (а) + Р |
(/, ф, а, |
(/, ф, а, |
в), е), |
|
||||
|
|
= |
Q(*. Ф, а, М*. Ф. а, tf, е), е), |
|
(2.63) |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
ф = Ф0, |
а — а 0 |
при |
/ = 0, |
|
, |
|||||
можем найти значения ф5‘, а І |
\ соответствующие ft = |
/х(/, ф, |
|||||||||
а , N , е): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фі‘ = |
Мл (Фо- а |
а , |
Л/); |
aft*= |
Л^о(ф0, «о. ^). |
(2-64> |
после чего для определения ft во втором приближении найдем
/. (*, ф, а, Л7, е) =
«= — <•J-* G(z)# {/ + z; ß i ’t (ф, а, W); Аѵ(ф, а , N )\
е
/і (* + г \ B [\t\ A [ \ t \ N ; e); e} dz + G (t0 — t) N , (2.65)
116 |
г л . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я |
В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й |
|
при |
этом вектор-функция |
/ 2 ((, ф, a, N, е) |
удовлетворяет |
неравенствам типа (2.61), |
(2.62). |
|
|
Нетрудно убедиться в том, что построенная таким спо |
|||
собом последовательность вектор-функций |
|
||
|
/„(/, ф, a, N), /у(/, ф, |
a, N ,e)..........fn(t, ф, |
a, N, е) |
сходится равномерно относительно /, ф,й к некоторой функ ции / (t, ф, a, N, е), также удовлетворяющей неравенствам
типа (2.61), (2.62). |
|
ф, a, N , е) является |
||||
Покажем, что вектор-функция / (t, |
||||||
решением |
интегро-дифференциальной системы (2.51)х, |
|||||
(2.51)2. Раскрыв эти уравнения, получим |
|
|
||||
|
|
to-t |
|
|
|
|
f(t, ф, а, N, е) = — [ |
G{z)R {t + |
г; В[л (ф, а, N)\ |
|
|||
|
|
О |
|
|
|
|
A{,t(ф, а, М)\ f{t + 2 ; В[/, |
АІ,(\ N\ e); |
е) dz ~yG(t0 — t)M. |
||||
|
|
|
|
|
(2.66) |
|
Заменим здесь ф на В[Ла(ф0, а0, М), а — на Л{л (ф0, |
а0, |
N), |
||||
заметив при этом, что |
|
|
|
|
||
4.П4л(Фо.йо. N)\ 4 ц 0 (Фо. аа, N)] = 4_мл(Фо> а0, N), |
| |
|||||
в ’.і [4л(Ф 0>fl«. Ю; Аі(о(іѵ ао- АО] = |
я£+,л(фо. «о. N). |
I |
||||
|
|
|
|
|
(2.67) |
|
Принимая |
обозначения |
|
|
|
|
|
ht = |
/(*. ВиЛ%> «о- #); 4 л (Фо, а0, N); N; е), |
1 |
|
|||
Ч»< = |
5 М» (Фо- а0 . ЛО; |
А/ = 4 д 0 (Фо, ао. W) |
I |
|
||
и вводя вместо г новую переменную |
интегрирования т = |
|||||
= г + |
t, |
получаем |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
ht = |
j |
G(т — f) R (т, фх, йх, hT, e) dx -f- G (t0— t) N, (2.69) |
||||
|
и |
|
|
|
|
|
где ф*, щ по своему построению удовлетворяют уравнени ям (2.50)3.
(2 .6 |
Итак, функции ht, |
ф,, |
at, |
определяемые выражением |
8 ), представляют собой |
решение интегро-дифференци |
|||
альной системы (2.50)!, |
(2.50)2, |
сводящееся при t = 10 к |
||
N, |
ф0, а„. |
|
|
|