Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 212
Скачиваний: 1
§ 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е М Н О Г О О Б Р А З И Я |
117 |
Принимая во внимание уравнение (2.28), а также усло вие (2.29), легко убедиться, что решение интегро-дифферен-
циальной системы (2.50)ь (2.50)2 |
является решением диф |
|||
ференциальной системы уравнений (2 .6 ). |
|
си |
||
С другой стороны, пусть ht, ф,, at — любые решения |
||||
стемы уравнений (2 .6 ), |
для которых при t — t0 ф( = |
ф0, |
||
at = а0, ht — h0 £ Uy. |
Назовем |
такое |
решение уравне |
|
ний (2 .6 ) решением типа ö'. |
|
|
|
|
Покажем, что всякое решение типа б' является решени |
||||
ем интегро-дифференциальной системы |
при N = h0. Для |
|||
этого, умножив обе части дифференциального уравнения
|
Hh |
Hht + R Ѵ> |
К е) |
(2.70) |
|
= |
|||
на G (т — t) и проинтегрировав в пределах от t0 до t, |
полу |
|||
чим |
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
^ G( T — t) |
dx = |
I G( x — t) Hhxdx -f - |
|
|
|
+ j |
G(x — t) R(x, фт, ax, hx, e)dx. |
(2.71) |
|
Интегрируя левую часть равенства (2.71) по частям с уче том уравнения (2.28), найдем
/ |
dh. |
t |
t |
I |
I |
Г |
|
) G(r — t) ~d%- dx — G(x — i) h |
t9 |
— I G(x — t) Hh (x) dx = |
|
^ 0 |
|
|
|
|
|
t |
|
= ht — G(t0— t) h0— Г G(x — t) Hhxdx. (2.72) to
Сопоставляя соотношения (2.71) и (2.72), окончательно
получаем
t
ht = j G (T — t)R (T , фт, ax, hx, e)dx -f- G(t0 — t)h0. (2.73)
Отсюда следует, что решения ф(, аи ht дифференциальной системы уравнений (2 .6 ), для которых h t £ Uv, являются решениями интегро-дифференциальной системы (2.50)і, (2.50)а при N = h0.
118 ГЛ. III. М Н О Г О ОБ РА ЗИ Я |
В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х |
Р Е Ш Е Н И Я |
|
С другой стороны, любое решение, лежащее на интег |
|||
ральном многообразии, |
удовлетворяет |
такому |
условию |
|/ (*о. Фо. Яо. 8)| 'C S' и, |
следовательно, |
является решением |
|
этой системы уравнений при некотором N = АТ. |
|
||
Поэтому, полагая в неравенстве типа (2.62), справедли |
|||
вом для решений интегро-дифференциальной системы
(2.50)і, (2.50)2, вместо одной из |
функций f (t, ф, а, N , е) |
|||
функцию / (і, ф, а, |
е), получим |
|
|
|
I / (/, ф, а, е) — / (t, ф, a, N, е) | < |
К (е, D) e~w ~h) \ N ' - N \ . |
|||
|
|
|
|
(2.74) |
Заменяя здесь |
произвольные |
ф, а на |
Bftjt (ф0, а0), |
|
M,t0(Фо. flo). принимая при этом |
во |
внимание |
выражения |
|
(2 .6 8 ), получаем окончательно неравенство |
|
|||
!/(*, Ф«, at, в) — Л<|</С(в, D)e |
a(t |
'о) |Д*0»Фо. «о. е) ~ К\- |
||
|
|
|
|
(2.75) |
Неравенство (2.75) установлено для решений ф,, at, ht дифференциальной системы уравнений (2 .6 ), удовлетворяю щих условию /і0 £ U(,'. Поэтому, если при t = t0 для ре шений уравнений (2 .6 ) имеет место соотношение h £ Up, то для этого решения будет выполняться неравенство (2.75), что и завершает доказательство леммы.
З а м е ч а н и е 2.2. Очевидно, что сформулированное
в лемме утверждение справедливо также и для ht, сопря женного с ht.
С л е д с т в и е 2.2. Принимая во внимание соотноше ние (2.75), на основании леммы 2.2 легко получить неравен ства
|
dt |
<x>(a) — Pf(t, ф, а, е) |
ССПе, 6)е~ѵ<(- (‘\ |
|
|
|
|
(2.76) |
|
|
|
da |
|
|
|
|
Ql (t, Ф, а, е) |
< С 2 (е, в)в- * ‘- Ч |
|
|
|
dt |
||
4. |
|
Формулировка основного результата. Перенеся свой |
||
ства решений уравнений (2 .6 ) на решения исходного урав нения (2 .1 ), можем сформулировать следующую теорему.
Т е о р е м а |
2.1. |
Пусть для уравнения (2.1) |
выполня |
ются условия 1°—5°, |
сформулированные на стр. |
100. |
|
Тогда всегда можно указать такие положительные по |
|||
стоянные у, е \ |
р', |
ра (р' < ра < pt; в' < ві), |
что при |
§ 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е М Н О Г О О Б Р А З И Я |
119 |
любом положительном е <; е' будут справедливы следующие утверждения.
1 . Уравнение (2 .1 ) имеет двупараметрическое локальное интегральное многообразие S t, лежащее для всех t £ R в об
ласти Dp2.
2. Многообразие St допускает параметрическое представ ление вида
х = х° (ф, а) + ~ {Ѳ (ф, а) f (t, ф, а, е) +
+ Ѳ (ф, a)~f(t, ф, а, е)} = Ф(^, ф, а, е), (2.77)
где вектор-функция Ф (t, ф, а, е) определена на множестве R X Ф X 8 ( X Eg-, является непрерывной функцией своих ар гументов, 2п-периодической по /, Т-периодической по ф, и обладает ограниченными и равномерно-непрерывными част ными производными по ф, а первого порядка.
3. На многообразии St уравнение (2.1) эквивалентно двум
уравнениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
== и (а) + |
Pf (t, ф, а, е), |
- ~ = Q , (t, ф, а, е), |
(2.78) |
||||
где функции |
|
|
Р (t, ф, а, f (t, ф, а, е), е), |
|
|
|||
|
Pf (t, ф, а, г )~ |
|
|
|||||
|
Qf (i, ф, а, е) = |
Q(t, ф, а, f(t, ф, а, в), е), |
|
|
||||
определены |
на |
множестве R х Ф х 31 х Ее- и |
обладают |
|||||
свойствами, |
аналогичными |
свойствам |
вектор-функций |
|||||
Р (t, ф, а, h, е), |
Q (t, ф, а, h, |
е) в правой |
части |
уравне |
||||
ний (2 .6 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Любое решениеx (f)уравнения (2.1), не лежащее намно- |
|||||||
гообразии S t, начальное значение которого при t — t0 при |
||||||||
надлежит области DP’ (х £ Dp-, когда h £ U&), притяги |
||||||||
вается к многообразию по закону |
|
|
|
|||||
|
IX (0 - |
Ф it, ф, а, е)1 < |
С, (г, р') е - ^ ~ и\ |
|
(2.79) |
|||
dtyt |
ö (a,)— Pf(t, rpt, at, e) |
< C 2 (8 ,p ') e- M |
, |
|
||||
dt |
(2.80) |
|||||||
|
dat |
■Qf (t, ф(І au e) |
< C S(e, p') |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
dt |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
до тех пор, пока at £ ?(.
5. Если в области R x D Pox Еео Х(х) £ C*f2, Y (t, х) £ Сх, то в области R X DPa х Ч1 х Ее> Ф (t, ф, а, е) £ С^,а.
120 г л . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й
§ 3. Интегральные многообразия систем нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка
1. Приближенное представление двупараметрического интегрального многообразия. Рассмотрим колебательную систему с N степенями свободы, для которой невозмущенная система соответствует обычной схеме теории малых колеба ний и, как известно, полностью характеризуется кинети ческой энергией
|
|
I |
" |
arsqrqs |
(3.1) |
|
|
|
Т = |
2 |
|||
|
|
z |
r,s==1 |
|
|
|
и потенциальной |
N |
|
|
|
||
|
|
I |
|
|
(3-2> |
|
|
|
^ = у |
2 crSq/7s. |
|||
где |
qs (s = |
1, ..., N) — обобщенные |
координаты |
и ars, crs |
||
(г, |
s = 1, ..., N) — соответственно |
инерционные |
и ква- |
|||
зиупругие |
коэффициенты, причем |
ars = asr, crs = |
csr. |
|||
|
Подставляя значения (3.1) и (3.2) в уравнения Лагран |
|||||
жа, получаем дифференциальные уравнения невозмущен ного движения
N
2 |
(<W7S+ |
crsqs) = |
0. |
(3.3) |
|
S = 1 |
|
|
|
|
|
Предполагая, что |
возмущение |
определяется малыми |
|||
обобщенными силами |
|
|
|
|
|
eQ,(<7i, • • • . qN , q 1 , |
• • • , qN, |
<0 |
(r |
= l , |
, N ) , (3.4) |
приходим к задаче исследования следующей системы диф
ференциальных |
уравнений второго |
порядка: |
|
N |
|
. |
. |
2 [artqt + crsqs) = eQr (qu ... , |
qN,q lt ... |
, qN,e) |
|
|
( r = 1............ N), |
(3.5) |
|
которые при e = |
0 вырождаются в |
уравнения (3.3). |
|
С помощью специальной замены переменных система уравнений (3.5) может быть приведена к уравнениям в стандартной форме, для которых в главе II подробно изло жена теория интегральных многообразий и рассмотрены их свойства.
Однако в ряде случаев целесообразно построить ин тегральное многообразие непосредственно для системы
