Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл (21,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 215

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

[ § 3. М Н О Г О О Б Р А З И Я СИСТЕМ ВТОРОГО П О Р Я Д К А

121

уравнений (3.5), не приводя ее предварительно к стандарт ной форме.

Напомним некоторые известные факты из теории ли нейных дифференциальных уравнений.

Как известно, частные решения невозмущенной системы уравнений (3.3), соответствующие нормальным колебаниям, представляются выражениями

qs •■=qps7) а cos (со/ +

Ѳ)

(s, /

1, . . . , N),

(3.6)

где

со/

(j =

1, ..., N) — собственные

частоты,

определяе

мые характеристическим

уравнением

det I — arscö2 +

crs | = 0,

(3.7)

<p‘;)

(s,

/ =

1, ..., N) — нормальные

функции,

являющие

ся нетривиальными решениями системы однородных

ал

гебраических уравнений

{ -

ars(02j+ cys}Ф<Л = 0

(/-,/=

і, . . . ,

(3.8)

S = 1

и обладающие свойством ортогональности

= 0

;

= 0

(}ф І),

r,s~\

/-,s=!

а а и Ѳ — вещественные произвольные постоянные.

Заметим далее, что колебания, возбуждаемые в невозму

щенной системе (3.3) гармоническими силами

Qr =

Егcos (at -f О)

(г — 1,

... ,

N),

(3.9)

определяются выражениями

qs =

uscos (at -f- 0

(s =

. . . ,

N).

(3.10)

Для амплитуд us после

ряда выкладок получаем формулу

(и

_______ ,

(S =

1 , .

АД

(3.11)

m/ Ц - а 3)

+ C(ps

/ =

где с — произвольная

постоянная, тj — 2

^Ф^Ф^*

1, ..., N).

r,s=l

Предположим теперь, что для рассматриваемой системы

(3.3) выполняются следующие условия.

122 гл. 111. МНОГООБРАЗИЯ ВБЛИЗИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ

Г. В невозмущенной системе возможны незатухающие гармонические колебания с частотой сси, зависящие только от двух произвольных постоянных.

2°. Единственным решением, соответствующим равно весию в невозмущенной системе, является трививальное решение

Qi = Я2 = * * • = Яп = 0.

3°. Ни частота ©і, а также ни один из ее обертонов 2alf 3o)t, ..., k(Oi,... не равны какой-либо собственной частоте

ы2, Юз, •••> невозмущенной системы.

При этих условиях мы можем построить двупараметри ческое интегральное многообразие для системы (3.3) в виде

qs = фі!) а cos ((Ojt + ft)	(s = 1..........N),	(3.12)
где а и # — постоянные. На	многообразии (3.12)	система
(3.3) эквивалентна двум уравнениям

Т Г = 0’	-зг = "ь	<3J3>
интегрируя которые, находим
а = а0 = const,	ф — coj -f- Ѳ,	(3.14)
где а0 и Ѳ — произвольные постоянные.		(3.12), полу
Подставляя выражения (3.14) в формулы		(3.12), полу

чаем семейство интегральных кривых системы (3.3), зави сящее от двух произвольных постоянных а и Ѳ и лежащих на многообразии (3.12). Это семейство соответствует коле баниям в системе, совершающимся с первой основной ча стотой (i)t. Приведенные выше три условия, которым удов летворяет система уравнений (3.3), обеспечивают сущест вование такого двупараметрического семейства, но не гарантируют его устойчивости. При ряде ограничений на функции (3.4) можно доказать существование интегрального многообразия для возмущенных уравнений (3.5) и устано вить его свойства. Это можно сделать так же, как и в гла ве II при рассмотрении уравнений в стандартной форме, или как в § 2 этой главы при рассмотрении уравнений, близких к точно-интегрирующимся.

Здесь мы остановимся на иной задаче — построим при ближенное выражение для интегрального многообразия системы (3.5), зависящее от двух параметров, близкое к двупараметрическому многообразию невозмущенной систе мы (3.3).

I § 3. М Н О Г О О Б Р А З И Я СИСТЕМ ВТОРОГО П О Р Я Д К А			123
Многообразие для системы (3.5),	близкое к многообра
зию (3.1 2 ), ищем в виде
qs = фа1’ a cos ф + ем^ (а, ф) +	e2	« f’ (а, -ф) + е3...
(s= 1..........N).			(3.15)
Для определения функций и[1) (а,		ф), u(s2 )(a, ф),...,	стоя

щих при степенях малого параметра е, поступаем следую щим образом. Подставляем ряд (3.15) в систему уравнений (3.5) и приравниваем в полученном выражении слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях е. В ре

зультате для определения функций (а, ф), u f] (а, ф),...

получаем ряд систем дифференциальных уравнений второго порядка, в правых частях которых стоят функции, перио дические по ф. Принимая во внимание сделанное нами выше замечание о свойствах систем вида (3.3), определя

ем из полученных систем уравнений функции иі1) (а, ф),

т4 2) (я, ф),..- как вынужденные колебания (как частные ре шения, соответствующие внешним возмущающим периоди ческим силам). После ряда элементарных алгебраических

выкладок получаем для					(а,	ф)	следующее выражение:
				N		(!)
иі1)(а, ф)= 2		N		2 t f ° W		(!)
иі1)(а, ф)= 2			Ф<7)	'= ‘		+
	/■=і
			N
	N		2	{$l> (а)cos t			(а)sin ф) фЯ
+	S	^	Г= 1	________________________					+
+	S	^			т/ (соj — (іф				+
					N
			N	(!)	2 uik) (a)cos &ф +			(°)sin
			"	(!)	r=1		___________________
				(S=	1..........N),				(3.16)
где введены обозначения
	2	JI
frk>(a) =	JQr(Ф(і°а cos ф .......... —						ф^асс»! э іп ф ,		. . . . 0) х
	о							К	cos &ф йф,
								К	cos &ф йф,

124 ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

q?\a) =	j Qr (фі^а cos гр,	...	, — ф^ас^ sin ф, ...	, 0 ) X
X stnfoficty (r = 1,		. . .	, ІѴ; k — 1, 2, .. .).	(3.17)

Рассматривая следующую систему уравнений, получим

выражение для uf* (а, ф) и т. д.

В результате можем построить приближенное представ ление интегрального многообразия системы (3.5) с точно стью до величин порядка ет . На этом интегральном много образии система (3.5) эквивалентна двум дифференциальным уравнениям относительно а и ф (приближенным)

~ = еЛі {а, е),

-^ - = (о1 + е51 (а, е)

Впервом приближении для величин еЛ4 (а, 0) и еВі (а, 0) после ряда выкладок (заметим, что эти выкладки являют ся совершенно элементарными) получаем

еАу (а, 0 ) =			2 я	до
еАу (а, 0 ) =	1 ^ 4		\	2	/ 4	^ COS ф , . . . ,
		—	Ф і ^ а ю ^ т ф ,			. . . ,	0 ) s i n ip dip,
еВ1 (а, 0) =			2л	pj
еВ1 (а, 0) =	2 ~	^	і	Е ф ^ Д ф ^ С О З ф ..........
	і.	1	П	/»1
		— Фі1 ,асо1			sin ф,	... ,	0) cos ф dtp.

(3.19)

Сопоставляя теперь выражение для представления ин тегрального многообразия возмущенной системы (3 .5 ) в первом приближении

qs --■=ф^а cos ф + £u[l) (а, ф)

(3 .2 0 )

с выражением для интегрального многообразия невозму щенной системы (3.12), видим, что уже в первом прибли жении интегральное многообразие, рассматриваемое как

§ 3. М Н О Г О О Б Р А З И Я СИСТЕМ ВТОРОГО П О Р Я Д К А

125

некоторая двупараметрическая поверхность, деформиру ется благодаря наличию малых поправочных сла^емых

ги[1) (а, ф).

Двупараметрическое семейство интегральных кривых си стемы (3.5), определяемых выражениями (3.20), в которые подставлены значения а и ф, определенные из системы урав

нений (3.18), по сравнению с кривыми
qs = cps'^oCos (co^ + Ѳ)	(3.21>

претерпевает деформацию не только за счет того, что кри вые лежат на многообразии (3.20), но и за счет того, что они определяются из более сложной системы уравнений (3.18), чем система (3.13).

Можно было бы рассмотреть и более общий случай внешней возмущающей силы, когда она зависит также и от

времени (периодически)
zQr М	Яѵ • • •	. ЯN, Яі..........Фѵ, е)	(г = 1, . . . . N).	(3.22)
В этом случае приходим к рассмотрению системы
N	iarsQs +	Сг$Яа) = е<З.К Яъ	4N,(h..........ЯЫ, 8)
2	iarsQs +	Сг$Яа) = е<З.К Яъ	4N,(h..........ЯЫ, 8)
		(Г= 1, ... ,	N).	(3.23)

Для системы уравнений (3.23) приближенное представ ление для двупараметрического интегрального многообра зия, близкого к интегральному многообразию невозмущен ной системы (3.3), ищем в виде