Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 216
Скачиваний: 1
126 ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я |
В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х |
Р Е Ш Е Н И Й |
|||
где введено обозначение |
|
|
|
||
|
2 |
я Ія |
|
|
|
Qro (а) = |
J |
QrJ « |
COSФ і -1ф)...............а |
|
|
|
о о |
dtdq |
(г = 1 |
N). |
|
— ф(1 и ао»! sin ф.......... |
0) |
||||
Не входя в детали дальнейшего исследования свойства многообразия для системы (3.5), сопоставления приближен ного многообразия (3.15) с точным и т. д., заметим, что ос новной целью настоящего параграфа являлась иллюстрация того, как для достаточно сложной системы уравнений (3.5) или (3.23) может быть легко построено приближенное пред ставление для двупараметрического интегрального много образия.
Ниже мьь исследуем устойчивость двупараметрического интегрального многообразия системы уравнений типа (3.23).
2. Теорема о «сильной» устойчивости двупараметриче ского интегрального многообразия. Рассмотрим частный случай системы (3.23), имеющий большое значение для при ложений.
Пусть возмущающие силы, находящиеся в правой части системы (3.23), имеют следующий вид:
Q/Ы , Чх.......... Ян, Ях............ Ям) =
= Qi (Я........... |
Ям.Ях, • • • , ям) + Е, cos vt (/ = 1 , . . . , |
N). |
Тогда, переходя с помощью замены переменных |
(3.26) |
|
|
||
|
N |
|
|
Яі г= 2 фу*Ч |
(3.27) |
|
k—\ |
|
к квазинормальным координатам, получим систему диффе ренциальных уравнений
|
= & x k (x i .......... |
x N , x t ............ |
X N ) |
+ eUk cos vt |
||
|
|
(k = 1, ... |
, N). |
(3.28) |
||
Для упрощения будем рассматривать основной резонанс, |
||||||
т. е. предположим, что ѵ » |
ю. |
функции Х |
к ( х и ..., X s , |
|||
Предположим |
также, |
что |
||||
Х и .... X N ) |
удовлетворяют условию |
Липшица сшостоянны- |
||||
ми Kk и, |
кроме |
того, для |
любых |
Т >> Т0 |
выполняются |
|
§ 3. М Н О Г О О Б Р А З И Я СИСТЕМ ВТОРОГО П О Р Я Д К А |
127 |
неравенства |
|
|
|
|
|
|
|||
, |
J. N |
V /ДО) |
. . . . *55>, а |
|
|
|
|
||
1 |
1 VI |
'0)і .......... x7)xTdt < |
|
||||||
|
2 |
x k {X?, |
|
||||||
|
о 4=1 |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
< |
— |
(3.29) |
|
|
|
|
|
|
|
4=1 |
|||
где |
ß > |
0 |
, x(k |
= |
ak cos (cofe/ |
+ cpft) (k = |
1 , |
.... N), а посто |
|
янные ak, |
tpft определяются |
выражениями |
|
|
|||||
|
«А |
|
|
|
|
1 §<Ра= |
Ч |
(tn) |
|
|
|
|
|
|
Щ Ч (t0) |
||||
|
|
|
|
|
(k= 1, . . . , N). |
|
|
(3.30) |
|
|
При этих |
условиях нетрудно показать |
(см., |
например, |
|||||
[136], стр. 390—396), что существуют такие положитель ные постоянные е0, Mk, Nk и Т*, для которых выполняют ся неравенства
|
|
\xk (t)\< N k (k=*l |
(3.31) |
при всех / > |
Г*, |
где xk (t), xk (t) — любое |
решение систе |
мы уравнений |
(3.28). |
ограниченность |
|
Неравенства |
(3.31), устанавливающие |
||
любых решений системы дифференциальных уравнений (3.28) , могут выполняться и при условиях, отличных от (3.29). Однако на этом вопросе мы останавливаться не бу дем, заметим только, что условия (3.29) являются наиболее естественными с физической точки зрения.
■ Сформулируем теперь теорему обустойчивости интегрального многообразия системы (3.23) (двупараметрического семей ства частных решений), определяемого выражением (3.24).
Т е о р е м а |
3.1. Пусть для системы, дифференциальных |
||||
уравнений (3.28) выполняются следующие условия: |
|
||||
1°. Существует положительная постоянная а такая, что |
|||||
|
|ѵ —- сі)й| > а |
(k = 2, |
|
(3.32) |
|
2°. Для любых положительных Ak (k = 1, ..., |
N) можно |
||||
найти такое ß > 0 , что |
|
|
|
||
lim 4 |
- \ 2 |
( 4 \ . . . . |
X {N\ х \°\ |
xjP) xi0>dt < |
|
T-*oo 1 |
4=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
< - ß 2 f l * |
(3.33) |
|
|
|
|
A=2 |
|
при Ak.
128 |
ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Я |
|
Тогда существуют такие положительные постоянные е0, |
Ки |
К<>, что неравенства |
І^ (0 І< К е /С і, |* * ( 0 |< К е /( 2 (е <ео, & =2.........N) |
|
|
(3.34) |
будут удовлетворяться для любого решения уравнения (3.28), начиная с некоторого t — Т*.
Д о к а з а т е л ь с т в о . При выполнении первого ус ловия теоремы для любых T u e справедливо неравенство
|
|
t+T |
|
Т |
(3.35) |
|
|
|
где |
= с)й = const. Кроме того, для любых Т и г всег |
|
да можно найти такое положительное постоянное М0, для которого выполняется неравенство
|
|
|
|
|
t+T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-|г- |
j ukcos vt sin i[)dt |
|
|
(3.36) |
||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножим теперь уравнения (3.28) (кроме первого, k — |
|||||||||||
= |
1) соответственно на xk (k = |
2, ..., N) и проинтегриру |
||||||||||
ем в пределах от t до t + |
Т. Суммируя полученный резуль |
|||||||||||
тат по k, находим |
|
|
N |
|
|
|
|
|
||||
N |
4 -[al(t + T ) - a l( t) } = |
Dk ' |
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
8 J |
|
|
|
|
ß=2 |
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
Xk (X?, . . . |
, |
x$>, xj0’..........xW) xi0) dt + |
|||||||
|
|
t |
k—2 |
|
|
|
t+T |
N |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
-f e |
\ |
2 ukcos vtx{k |
dt, (3.37) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
*=2 |
|
|
где Dk (k — 2...... N) удовлетворяют неравенствам |
||||||||||||
|
|
|
t+T |
|
|
|
|
t+T |
|
. . . , XNJO), |
||
I Dk I < |
euk |
j |
I xk |
Xfe0) I dt -f- e |
j |
I Xk(xl0), |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t+ T |
ң |
|
|
|
*iü\ |
... , x $ ) I xk — Xk |
\dt ~\-e |
\ |
|х Г |^ |
2 |
| ^ . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
(0)|4 |
S { |
|
|
|
|
|
|
|
|
t + T |
|
m=t\ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
|
Xm\}dt+ |
j |
\xk — x f ]\Я* 2 |
{|XS>- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
m = l |
|
XmI + I — xmI) (3.38)
§ 4. СИСТЕМЫ С П Е Р Е М Е Н Н Ы М И К О Э Ф Ф ИЦ ИЕ Н ТА МИ |
129 |
Суммируя эти неравенства, убеждаемся, что при е •< ео бу дет справедливо неравенство
N |
|
N |
2 |
N |
2 1 |
Dk \ < г Ѵ е |
Sx 2 |
a, |
52 2 ah S3\T, (3.39) |
ft—2 |
ft=2 |
|
φχ= 2 |
|
где S it S2, S3 — некоторые положительные постоянные. Мажорируя теперь правую часть выражения (3.37), на
основании неравенства (3.38) и (3.39), второго условия тео ремы и неравенств (3.35) и (3.36), полагая t = пТ, Т — L/г, получим для всех t > Т*, с точностью до величин первого порядка малости, неравенство
2 at (пТ) < К ( 1 - РеГ)" + |
еСх (1 - РеТ)п~' + |
ft—2 |
|
+ |
eC1( l - i i L j ' 1_1 + eC2, (3.40) |
в котором К, Сі, С2 — некоторые положительные постоян ные. При п —V оо первые три члена правой части неравен ства (3.40) стремятся к нулю, следовательно,
2 а\(пТ) -< еС2. |
(3.41) |
ft=2 |
|
Принимая теперь во внимание обозначения (3.30), полу чаем неравенства (3.34), что и требовалось доказать.
Учитывая замену переменных (3.27), нетрудно видеть, что, согласно доказанной теореме, любое решение системы дифференциальных уравнений (3.28), начиная с некоторого момента времени, становится близким к рассматриваемо му двупараметрическому многообразию, представимому
в виде (3.24).
§4. Интегральные многообразия систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
В этом параграфе сформулируем основные результаты, относящие ся к распространению теорем главы II и теорем §2 настоящей главы на системы нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
5 Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова
