Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 220

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

130 г л . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я ВБ ЛИ ЗИ П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

1. Существование и свойства интегральногомногообра­ зия. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида

 

J i . =

со(0 +

P(t,

g, А, г),

 

 

 

 

dh

 

 

 

 

+ Q(t,g,h,e),

 

 

(4-П

 

- % -~ H (t)h

 

 

 

где h — n — 1-вектор,

H (t) — ограниченная

[(я — I) X

X (я ■— 1)]-матрица,

со (/) — ограниченная

функция

для

всех вещественных t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полагаем, что функция Р (t, g, ft, е) и (я — 1)-мерная

вектор-функция Q

(t,

g, ft, е) определены в области

 

 

 

R X ß

 

 

 

X Uèo X Ее„

 

(4.2)

где □ — неограниченная

область,

и принадлежат в

этой

области классу (t2n-, М (е) |ft=0; Це,

ö)<g>h)),

где

М (г)

0,

к (е, б) ->- 0

при

е -> 0,

б ->■ 0

(б <

б0).

Матрица Н (/),

определенная

как функция

t на

всей

вещественной

оси,

удовлетворяет

условиям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

]Я (/)|< М ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.3)

причем корни р,- (t) (і

=

1, ..., я —■1) соответствующего ха­

рактеристического

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

det I р/ — Н (t) I = 0

 

 

 

(4.4)

удовлетворяют условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Re (Pi (01 <

— Yi>

 

Y i> °-

 

 

(4-5)

Следовательно, для матрицы G (t, ^.удовлетворяющей урав­ нению

■dG(a tX}- =- Н (0 G (t, т), G(t, T)| <=T = /,

(4.3)

справедлива оценка

|0 ( ^ ,т ) |< Я с - ^ - г),

/ > т,

(4.7)

где К и у = ух/4 — положительные постоянные, / — еди­ ничная [(я — 1) X (я — 1)1-матрица.

При этих предположениях с помощью метода Н. Н. Бо­ голюбова можно доказать существование и устойчивость одномерного интегрального многообразия для системы уравнений (4.1).

 

§ 4.

СИСТЕМЫ

С П Е Р Е М Е Н Н Ы М И КО Э ФФ ИЦ ИЕ Н ТА МИ

131

Для

этого вводим

в

рассмотрение

класс С (D,

Д)

(п — 1)-мерных вектор-функций

F (t, g)

и

преобразование

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

SF =

J

G(t,t + z)Q(t + г; Ti, (gr); F (t +

2

; T*t (g); e); e) dz,

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.8)

которое преобразует функции F из класса С (D , А) в функ­

ции

SF.

 

 

 

 

 

 

 

 

Мажорируя правую часть выражения (4.8), получаем

неравенства

 

 

 

 

 

 

 

 

\SF \< D (e),

 

 

 

 

(4.9)

 

l S F * - S F \ < A(E)\g0- g

0\ + ^r

 

 

\\F*~F\\,

 

где

D (г) -> О,

Д (е) -> О

при

е -> 0.

 

 

Из неравенств

(4.9)

непосредственно следует, что урав­

нение

 

 

F = SF

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в классе функций С (D, Д) имеет единственное решение F, которое обозначим через f (t, g, г).

Это решение определяет интегральное многообразие системы уравнений (4.1).

Найденное интегральное многообразие обладает свой­ ством устойчивости, заключающимся в том, что траектории любых решений уравнений (4.1), начальные значения кото­ рых принадлежат области определения многообразия, с течением времени приближаются к многообразию по экс­ поненциальному закону.

Чтобы показать это, вводим в рассмотрение интегродифференциальную систему, эквивалентную системе диф­ ференциальных уравнений (4.1):

X

 

ht = \ G (t, т) Q(т, gx, /іх, e)dx + G (t, t0) А,

(4.10)

JjL..^co(t) + P(t,gt, h t,e),

i > t0\

(4.11)

ët = go ПРИ t =

 

 

где А — произвольный фиксированный

{п — 1)-мерный

вектор.

 

 

132 гл . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

Для построения решения системы (4.10) — (4.11) рас­

сматривается вспомогательная система уравнений u-t

А = - J G(t,t + z)Q(t + z-g,h,e)dz + G(t,t0)A, (4.12)

о

- f - = ® ( 0

+ P (t,g ,h ,z)

(4.13)

St

= ëo П Р tИ = h-

 

Решение этой системы уравнений ищется методом по­ следовательных приближений. Затем показывается, что функции, к которым сходятся последовательные приближе­ ния, удовлетворяют системе (4.10) — (4.11). Эти функции определяются выражениями

ht "=f (t, Tit, (g0, Л); Л; е),

gt = Tfu . (g0', A);

(4.14)

h = Л, g = g0 при t = t0.

Функции / (t, g, A, e) удовлетворяют неравенству

I f ( t ,g ',A ',z ) - f { t , g", A", 8)| < V(8, D ) \g '~ g "I +

+ К (e, D) e~w ~h) I A! — A" |. (4.15)

Кроме того, очевидно, что решения интегро-дифферен- циальной системы (4.10) — (4.11) являются также реше­ ниями системы дифференциальных уравнений (4.1).

С другой стороны, пусть Ат, gx — любые решения си­ стемы уравнений (4.1), для которых h = h0, g — g0 при т = ^0. Тогда, подставляя это решение в первое уравнение системы (4.1) и умножая слева на G (t, т), имеем тождест­ венно

G {t’ т>ДЙГ = G (*• г) Н (т>^ +

G (t, х) Q (т, gx, hx, е). (4.16)

Интегрируя

полученное тождество в пределах

от t0 до t,

находим

 

t

 

t

 

t

 

 

 

I” G

dx ^

\G

T ) ^ ( т )

+ [ G (t, т )

X

 

 

 

X Q(T, gx, hx, г)(іх. (4.17)

Интегрируя

левую

часть

(4.17)

по частям, имеем

/

 

 

 

t,

 

j G (t, T)

dx =

G(t, t)ht — G {t, t0) A0 — j*

At dt.

 

 

 

 

to

(4.18)

 

 

 

 

 

§ 4.

С ИС ТЕ МЫ С П Е Р Е М Е Н Н Ы М И

К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т А М И

133

Замечая,

что

 

 

 

 

 

(4.19)

окончательно находим

 

 

 

t

 

 

 

ht = \ G(t, Т) Q(Т, gT, hx, e)dx + G(t, tQ) h0.

(4.20)

Итак, любое решение системы уравнений (4.1), удовлет­

воряющее начальным условиям

g — go, h = hQ£ UD,

является решением интегро-дифференциальной системы (4.10) — (4.11) при А = ho.

Таким образом, любое решение дифференциальной си­ стемы уравнений (4.1), для которого h0< D , является ре­ шением интегро-дифференциальной системы при А — h0. С другой стороны, любое решение, лежащее на интеграль­ ном многообразии

h — f(t, g, 8),

(4.21)

удовлетворяет условию | / (/0, g0, е) | <! D и, следовательно, является решением интегро-дифференциальной системы при некотором А — А'.

Поэтому, согласно (4.15), можем написать

 

I f (t, g, е)— / (t, g, A, e) I <

К (e, D) e~w - U) \ А’ -

A | (4.22)

или, заменяя произвольное g

на gt — Tftj0(g0; А),

 

I / (t, gt, s )— ht \ < K (8, D)

I / (/„, g0, e) -

ft01. (4.23)

Исходя из полученных результатов, можем сформули­

ровать следующую теорему [131].

 

Т е о р е м а 4.1. Пусть

для системы дифференциаль­

ных уравнений (4.1) выполняются условия, сформулирован­ ные на стр. 130.

Тогда всегда можно указать такие положительные

постоянные рх, р2 и е

(р2 С р1(

<; е0), что для каждого

положительного ес^ех

система

уравнений (4.1) имеет

единственное одномерное интегральное многообразие, пред­ ставимое соотношением

h = f(t, g, e),

(4.24)

134 г л . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

в котором [ (t, g, е) как функция t u g

определена для

t £ R,

g £ G и удовлетворяет неравенствам

 

 

|/(^. g,

е)| <

£> (е) <

pi,

(4.25)

(t, g",

e) I <

Д (в) I g' - g" 1,

(4.26)

где D (e) -->0, A (e) -> 0 при

г

0.

обладает свойством

Это интегральное

многообразие

устойчивости, заключающимся в том, что любое решение уравнений (4.1) h = ht, начальное значение которого при­ надлежит области UPt, с течением времени притягивается к нему по закону

\ h t - f

(t, gu е)| < К (г,

D) е ~ ^ \

(4.27)

где у — некоторая

положительная

постоянная.

 

§5. Уравнения с медленно меняющимися параметрами

1.Общие свойства рассматриваемых уравнений. Поста­ новка задачи. Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение с медленно меняющимися параметрами

 

~

= Х{х, х )+ еУ

х,г),

(5.1)

где X, X, У — п-векторы, s — малый

положительный па­

раметр,

т = &t,

t — время.

рассмотрению

урав­

Как

указывалось во введении, к

нений (5.1) приводят многие задачи, приведенные в [136], связанные с исследованием нестационарных колебатель­ ных процессов.

Для удобства исследования уравнение (5.1) целесооб­ разно преобразовать к специальному виду.

В § 1 было изложено приведение уравнения (5.1) к спе­ циальному виду в окрестности однопараметрического се­ мейства периодических решений невозмущенного уравнения

~ = Х(х,х),

(5.2)

а т жже в окрестности двупараметрического семейства ре­ шений уравнения (5.2), зависящего от двух произвольных постоянных а, ф и от т как от параметра. В последнем

Смотрите также файлы