Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

§ 5. У Р А В Н Е Н И Я С М Е Д Л Е Н Н О МЕ Н ЯЮ Щ ИМ ИС Я П АР АМ ЕТ РАМИ 135

= Я (т, а)/г + Я (т, 0, ф, а, h, е).

Остановимся на рассмотрении этого случая. Предположим, что относительно уравнения (5.1) вы­

полняются следующие условия.

1д. Функции X (л:), Y (т, Ѳ, X, г ) определены и непрерыв­ ны в области L X Q X D X Е8о, где D — открытая об­

ласть пространства Rn, L — некоторое число (которое мо­ жет быть взято сколь угодно большим при сколь угодно малых значениях е).

2°. Уравнение невозмущенного движения (5.2) при лю­

2я-периодического относительно ф = со (a)t + ф, йависящего от двух произвольных постоянных а, ср и от т как от параметра. При этом о в общем случае зависит от т, а и является ограниченной функцией т, удовлетворяющей условию Липшица по а.

3°. В области

- ^ - = х;(т,х°)бх,

представляющее собой однородное линейное дифференци­ альное уравнение с матричным коэффициентом, имеет для любых т £ (0, L] (п — 2) характеристических показателя с отрицательными действительными частями (два характе­ ристических показателя равны нулю), которые являются непрерывными функциями т.

вэтой области классу (Ѳ2я; Фглі М (е)|л=о; к (е, ^,а,ю);

2)(о (т, а) — ограниченная функция т, удовлетворяю­ щая условию Липшица по а;

3)Я (т, а) — [п X (п — 2) 1-матрица, непрерывная от­

на основании леммы Флато — Левинсона [1991 справедлива оценка

В этом параграфе мы рассмотрим следующие вопросы: укажем способ нахождения приближенного двупара­ метрического семейства частных решений уравнения (5.1); установим существование соответствующего точного дву­

параметрического семейства решений; покажем, что разность между точным семейством ре­

шений и его т-м приближением — величина порядка ет.

2. Построение приближенного двупараметрического се мейства решений исходного уравнения. Для построения приближенного семейства решений уравнения (5.1) не­ сколько усилим ограничение гладкости на правую часть ’•уравнения (5.1), а именно, предположим, что векторфункции X (т, х), Y (т, Ѳ, X, е) являются неограничен­

но дифференцируемыми относительно т, х, е в области (5.5), раскладывающимися в сходящиеся ряды по степе­ ням X , е. Тогда соответствующим образом усилится свой­ ство гладкости функций в правой части уравнений (5,3).

коэффициенты при одинаковых степенях е, получим следую­

+ Rh (т, Ѳ, ф, а, 0, 0) hi + Rq (т, Ѳ, ф, а, О, 0) фх +

•f %а(т>Ѳ, ф, а, О, 0)ах -f Rs(т, Ѳ, ф, а, 0, 0) —

Из системы (5.9) находим ht (т, Ѳ, ф, а) как частное ре­ шение, соответствующее возмущающей силе R (т, Ѳ, ф, а, 0, 0):

жении в ряд Фурье функции, стоящей в правой части урав­ нения (5.9),

Знаменатель в выражении (5.11) отличен от нуля, так как все -собственные значения матрицы Н (т, а) имеют от­ личные от нуля вещественные части.

После того как найдено выражение для h± (т, 0, ф, а), становится известной правая часть уравнения (5.10), из

§ 5. У Р А В Н Е Н И Я С М Е Д Л Е Н Н О М Е Н Я Ю Щ ИМ ИС Я ПАР АМЕТ РАМИ 139

где F^,„ (г, а) — коэффициенты в разложении в ряд Фурье функции, стоящей в правой части уравнения (5.10):

О0

+R^ (т, 0, ф, а, 0, 0) фг + Ra (т, 0, ф, а, 0, 0) ах-f

членов, стоящих при е в решениях соответственно первого и второго уравнений системы (5.3) после подстановки в них hx (т, 0, ф, а). Приближенное решение этих уравнений мо­ жет быть найдено при помощи асимптотических методов

ф, а, е) и подставив его в первые два уравнения системы (5.3), получим

= со (т, а) + Р (т, 0, ф, а, hm(т, 0, ф, а), г),

(5.14)

-^ г = S (т, 0, ф, а, hm(т, 0, ф, а), е).

Определив из этой системы значения ф, а и подставив

их, а также выражение для hm — в преобразование (1.65), получим следующее частное решение уравнения (5.1) (т-е приближение), зависящее от двух произвольных постоян­ ных:

причем hm (т, Ѳ, ф, а, е) имеет представление