Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 224
Скачиваний: 1
140 г л . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й
где hx (т, Ѳ, ф, а),..., hm (т, Ѳ, ф, а) сопряжены с |
(х, Ѳ, |
||||
ф, а), |
..., hm (х, Ѳ, ф, а) и могут |
быть определены форму |
|||
лами |
типа |
|
F^m(x, а)е^п'в+т^ |
|
|
|
(т, Ѳ, ф, а) |
|
|
||
|
I І і |
[пѵ (т) + |
т о (т, а)] — Н (т, а ) |
|
|
|
|
|
3. Доказательство существования точного двупарамет рического семейства решений уравнения (5.1). Согласно формуле (1.65), параметрическое представление точного двупараметрического семейства решений уравнения (5.1) имеет вид
X = х° (т, ф (т, t, г), а (т, t, е)) -f
+ {Ѳ (т, ф (т, t, е), а (т, t, в)) f (т, 0, ф (т, і, г), а (т, t, г), е) +
+ Ѳ (т, ф (т, t, г), а (т, t, е)) / (т, Ѳ, ф (т, t, е), а (т, t, е), е)}, (5.16)
где ф (т, і, е), а (т, і, е), /г = / (т, Ѳ,ф, (т, t,e), а (х, ва точные решения системы (5.3). Таким образом, для дока зательства существования семейства решений (5.16) нужно доказать существование точных решений ф, a, h системы (5.3).
Это доказывается по аналогии с доказательством су ществования решений фл а(, ht уравнений (2.6).
Аналогом интегрального уравнения (2.31) здесь будет уравнение
F (t, ф, а, е) =
с о
=j G(z)R1{t + z-, ф2; а2; F (t + г\ ф2; аг\ е); е} dz. (5.17)
Специфика рассматриваемых уравнений, связанная с наличием медленно меняющихся параметров, приводит к
необходимости сделать следующие |
замечения. |
|
а) Так как функции F (т, Ѳ, ф, а, |
в |
) , R (х, Ѳ, ф, а, /г, е) |
зависят от т, Ѳ, ф, а, г, где т = et, Ѳ = |
^ ѵ (т) dx = Ѳ (t, e), |
|
то можем написать |
|
о |
|
|
|
F (et, Ѳ(t, e), ф, а, e) = Fl (t, ф, а, e), |
R (et, Ѳ(t, e), ф, a, h,e) =■ |
|
|
|
= Ri(t, Ф, a, h, e) |
$ Б. У Р А В Н Е Н И Я С М Е Д Л Е Н Н О М ЕН Я Ю Щ И М И С Я П АР А М Е Т Р А МИ 141
и полагать, что Fx, Rx определены для ££ [0, |
£/е];анало- |
|||
гично |
|
(t, ф, a, h, e), |
|
|
Р (et, Ѳ(t, е), ф, а, h, e) = |
|
|
||
S (et, Ѳ(t, e), ф, a, h, s) = |
|
(t, ф, a, h, e). |
|
|
б) В преобразовании (5.17) t |
изменяется в |
интервале |
||
(О, L/e 1, а z — в интервале (—о о |
, |
о Функциио ) . |
Рг и Rlt |
стоящие в правой части преобразования, являются функ циями t + z. Следовательно, чтобы к функциям Flt Rx мож но было применить преобразование (5.17), их надо доопре делить на интервалах (—оо, оо). Обозначим эти функции, определенные на интервале (—оо, оо), через F2, R2. При этом полагаем, что в расширенной области функции F2, R2 об ладают теми же свойствами, что и функции Flt R± в исход ной, а в исходной области совпадают с ними.
в) При изменении t на отрезке [0, L/e]а (t) изменяется в области 21 = [а0, аД.
Являясь функцией г, аг при изменении z от—оо доф-оо может выйти из области своего определения 21. Поэтому для аг будем рассматривать расширенную область, которую
обозначим через 2t.
Таким образом, функции F2, R2 будем рассматривать
в области |
|
t £ R , а£Ш, ф £ П, h £ U a, 0 < е < е о |
(5.18) |
и обозначать их через Fs, R3. При этом полагаем, что в области (5.18) они обладают теми же свойствами, что и
функции F (т, Ѳ, ф, а, е), R (т, Ѳ, ф, а, |
г) в области (5.6), |
|
а в области (5.6) совпадают с ними. |
ф, а, h, в) также |
|
Для функций Рг (t, ф, a, h, в), Sx (t, |
||
будем рассматривать |
расширенную область (5.18), так как |
|
аг, ф2 определяются |
из системы |
|
-^ r = (t, ф, а, h, е),
=со (et, а) + Рг (t, ф, а, h, в),
иобозначать их в этой области через Р3, S 3, со (т, а) рас сматриваем также в расширенной области и обозначаем ее
вэтой области через ац (et, а), причем полагаем, что в расширенной области coj (et, а) обладает теми же свойства ми, что и со (т, а) в исходной области, а в исходной — сов падает с со (т, а).
142 ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й
Матрица Н (et, а) у нас определена для t £ Ю, L/e]. Вместо матрицы Н (et, а) вводим в рассмотрение матрицу Нг (t, а), определенную на интервале (—оо, оо), при этом полагаем, что на интервале (—оо, оо) она обладает тем
свойством, что для решения уравнения |
= H1 (t, a)U |
|
справедлива оценка |
|
|
|
\U (t) | < Ке~У\‘\ |
|
а на промежутке |
[0, L/e] совпадает с Я (т, |
о). |
Таким образом, вместо системы уравнений (5.3) pac- |
||
сматривается следующая система: |
|
|
"2 Р = |
(et, а) + Р3 (t, ф, а, h, е), |
|
= |
S3 (t, ф, а, h, е), |
(5.19) |
= |
H1 (t, a)h + R3 (t, if, а, h, e), |
|
которая в области (5.6) эквивалентна системе (5.3). Доказав существование и единственность решений
г|) (т, t, е), а (т, t, е), h = f (т, Ѳ, if (т, t, е), а (т, t, е), е)
уравнений (5.3) и подставив их значения в формулу (1.65), получим следующее представление точного двупараметри ческого семейства решений уравнения (5.1):
X = х° (т, ф (т, t, е), а (т, /, е)) +
+ -у- {Ѳ(т, ф(т, t, е), а (т, t, е)) f (т, Ѳ, г|з (т, /, е), а(т, t,e), e)-f
+ Ѳ (т, ф |
(т, t, е), а (т, t, e))J (т, Ѳ, ф |
(т, t, е), а (т, t, е), е)} = |
||
|
|
= |
Фт(т, Ѳ, ф (т, t, е), а (т, і, е), е), (5.20) |
|
где ф (т, |
t, |
е), а (т, t, |
е) определяются из системы |
|
^1' |
|
© ( т , а) + |
Р (т, Ѳ, ф, а, / |
(т, Ѳ, ф, а, е), е), |
— L |
= |
|||
|
|
|
|
(5.21) |
~= S (T , Ѳ, ф, а, / (т, Ѳ, ф, а, е), е)
как функции времени, зависящие от двух произвольных постоянных.
§ 5. У Р А В Н Е Н И Я С М Е Д Л Е Н Н О М Е Н Я Ю Щ ИМ ИС Я ПАР А МЕ ТР А МИ 143
4. Оценка разности между точным семейством решений и его т-м приближением. Семейство решений (5.20) пред ставляет собой совокупность интегральных кривых, за
полняющих некоторую поверхность в пространстве R'1, которую обозначим через ST.
Параметрическое представление этой поверхности ана литически может быть задано либо в виде (5.20), где пара метрами являются произвольные постоянные, от которых
зависят ф (т, t, |
е), а (т, t, е), либо в виде |
X = X (т, % а) + |
|
+ -гг {Ѳ (т, 1 ]), а) f (т, Ѳ, ф, а, е) + Ѳ (т, я|з, а) / (т, Ѳ, -ф, а, е)} =
= Фт(т, Ѳ, ф, а, е), (5.22)
где ф, а — произвольные параметры, изменяющиеся в той же области: ф £ Q, а £ Ш.
Из существования представления (5.20) с очевидностью вытекает существование представления (5.22).
Аналогичные рассуждения имеют место и относительно приближенного двупараметрического семейства решений (5.15) . Это семейство решений также целиком заполняет
некоторую поверхность в пространстве Rn, которую обо значим через Snp. Аналитически эту поверхность можно представить либо в виде (5.15), либо в виде
X = х° (т, ф, а) +
+ -гг {Ѳ (т, ф, а) hm(т, Ѳ, ф, а, е) + Ѳ (т, ф, а) h'n(т, Ѳ, ф, а, е)} = = Фпр (т, Ѳ, ф, а, г), (5.23)
где ф, а — произвольные параметры.
Из такой идентичности представлений (5.20) и (5.22), (5.15) и (5.23) вытекает следующий факт.
Если требуется получить оценку между точным двупа раметрическим семейством решений (5.20) и его m-м при ближением (5.15), то в аналитических выкладках вместо выражений (5.20), (5.15), представляющих собой функции многообразий (соответственно точного и приближенного), можем пользоваться выражениями (5.22) и (5.23), которые являются параметрическими представлениями соответ ствующих многообразий, так как, как кривые, определяе мые функциями (5.20) и (5.15), так и кривые, определяемые