Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 223
Скачиваний: 1
144 ГЛ. Ш . М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й
функциями (5.22) и (5.23), лежат на одних и тех же поверх ностях и полностью их заполняют.
Таким образом, задача сводится к оценке близости поверхностей 5Т и 5пр, параметрическое представление которых имеет вид (5.22) и соответственно (5.23). Имеем
I Фт (т, Ѳ, ф, а, в) — Фпр (т, Ѳ, ф, а, г) \ = \х° (т, ф, а) +
+ -гг {Ѳ (ч 'Ф. а) / (т, Ѳ, ф, а, е) + Ѳ (т, ф, а)} (т, Ѳ, ф, а, е)} —
— х° (т, ф, а) (Ѳ (т, ф, а) hm(т, Ѳ, ф, о, е) +
+ Ѳ (т, ф, а) hm(т, Ѳ, ф, а, е)} <
< -J- ( I Ѳ (т, ф, а) 11 / (т, Ѳ, ф, а, е) — hm (т, Ѳ, ф, а,е)| +
+ IѲ (т, ф, а) 11 / (т, 0, ф, а, е) — hm(т, 0, ф, а, г) |)
или, принимая во внимание ограниченность матриц Ѳ, Ѳ некоторой константой М\
I Фт (т, 0, ф, а, е) — Фпр (т, 0, ф, а, г) | <
< М ( I / (т, Ѳ, ф, с, е) — hm (т, Ѳ, ф, о, е) | +
+ |
I / (т, 0, ф, а, е) — hm (т, Ѳ, ф, а, е ) | ). (5.24) |
|
Таким образом, |
требуется получить оценку |
для |
I / (т, 0, ф, а, е) — hm(т, 0, ф, а, е) | |
(5.25) |
|
(оценка для |/ (т, Ѳ, ф, а, е) — hm (т, 0, ф, а, в)| полу чается аналогично).
Чтобы оценить выражение (5.25), необходимо вместо дифференциального уравнения относительно h рассматри
вать |
интегральное |
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
SF3= j U (z) R3 (t + г; а; ф; |
F3(t + г; а; |
ф; е); е) dz. (5.26) |
|||
Рассмотрим |
разность |
|
|
|
|
/ (t, ф, а, е) — hm (t, ф, а, е) | = |
|
|
|
||
|
) |
U (г) [R3 (t + z; |
ф, а, f (t, ф, а, е), е) — |
|
|
|
— R3 {t + |
г; ф; а; hm(t, ф, а, е), е) + |
em+Vm] dz |
, (5.27) |
|
где |
em+i гт означает совокупность членов порядка |
ет +‘. |
|||
§5. У Р А В Н Е Н И Я С М Е Д Л Е Н Н О М Е Н Я Ю Щ ИМ ИС Я ПАР А МЕ ТР А МИ 145
Принимая во внимание, что функции R 3 удовлетворяют условию Липшица по ф, а, h с функцией X (е, р) в качестве постоянной Липшица, а также ограниченность матрицы U (z) (I U (z) I С /Се~ѴІг|). можем написать
I / (t, ф, а, г) — hm (t, ф, а, е) | <
< - у |
(е, р) I f (t, ф, а, е) — hm(/, ф, а, е) |] + ет+І | гт|. (5.28) |
||||||
Выберем теперь такое постоянное р и такое s', чтобы для |
|||||||
всех р < |
_ |
е' выполнялось неравенство |
TS |
|
1. |
||
Р и е < |
X(в, р) < |
||||||
Такой выбор е', р всегда можно сделать, так как X (е, р) |
О |
||||||
при е -> 0, р -> 0. |
|
|
в виде |
|
|||
Тогда неравенство (5.28) можем записать |
|
||||||
I / (t, ф, а, е) — hm (t, ф, а, е) | |
1 — К |
X (е, р) |
рт+і I г |
|
|||
|
|
|
|
|
<>£ |
\'rt |
|
откуда |
следует |
|
|
|
|
|
|
|
I / (t, ф, а, е) — /Г (t, ф, а, е) | < етГт+ |
, (5.29) |
|||||
где через гт обозначено \гт\. |
|
|
|
|
|||
Аналогичное |
неравенство |
имеет |
место |
относительно |
|||
I / ((, ф, а, е) — hm (t, ф, а, е) |.
Возвращаясь в системе (5.19) к исходному интервалу времени, мы тем самым совершим переход к исходному интервалу времени и в оценке (5.29) и, таким образом, будем иметь следующую оценку:
I / (т, Ѳ, ф, а, е) — hm(т, Ѳ, ф, а, е) | < sm+1 гт+ Аналогично
I / (т, Ѳ, ф, а, е) — hm(т, Ѳ, ф, а, е) | < em+1 гт+ • —
Возвращаясь к неравенству (5.24), можем написать
I Фт (т, Ѳ, ф, а, е) — Фпр (т, Ѳ, ф, а, е) | < 2Мет+'гт |
= |
- Lem+1. (5.30)
146 г л . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Я
§ 6. Системы уравнений, описывающие «быстрые»
и«медленные» движения
1.Основные предположения. Рассмотрим систему п +
+т уравнений с «быстро» и «медленно» изменяющимися
переменными следующего вида:
-ld xr = X (y)x + еХ* (t, X, у),
(6.1)
■7Г = еѴ V’ У)>
где X, X* и у, Y — Соответственно п - и m-векторы, X (у ) "—
— (я X п)-матрица, е — малый положительный |
параметр. |
||
Предположим, что вектор-функция Y (/, х, у) допускает |
|||
существование среднего |
по |
і: |
|
|
|
т |
|
Y, {х, у) = |
lim |
) Y (it, л:, у) dt, |
(6.2) |
7->oo |
1 0 |
|
|
и наряду с системой (6.1) рассмотрим вспомогательную систему
- ^ = Х(У)х,
(6.3)
■^- = вУ0(х, у).
Пусть выполняются следующие предположения.
1°. Система уравнений (6.3) допускает существование
двупараметрического семейства |
периодических |
решений |
X = 0, у = у0 (at + ф, a) |
(cut + ф = ф), |
(6.4) |
где у° (ф, а) — периодическая функция ф, при этом а> в общем случае является функцией а и удовлетворяет усло вию Липшица
|
I со (a') — со (а") | с С | а' —• а" |. |
(6.5) |
|
Полагаем, что С является достаточно малой постоян |
|
ной порядка 8, так что со медленно изменяется |
с изменени |
|
ем |
а. |
|
в |
2°. Функции в правой части системы (6.1) непрерывны и |
|
области |
|
|
4 X Од X D0 X Е £о |
( 6 . 6 ) |
§ 6. СИСТЕМЫ У Р А В Н Е Н И Й , О П И С Ы В А Ю Щ И Е Д В И Ж Е Н И Я 147
(Dд — A-окрестность х = 0; |
D„ — ст-окрестность у = |
= г/° (ф, о); L — конечное число) удовлетворяют условиям |
|
X*(/,X, у) £Сіу, {X (у) X, У (t,X, у)} £С%у. |
|
При этих предположениях докажем существование дву- |
|
параметрического локального |
интегрального многообразия |
St системы (6.1) в окрестности семейства решений (6.4), установим его свойства и сведем рассмотрение исходной системы на многообразии к двум уравнениям относительно
переменных |
tf и |
а. |
|
|
||
Заметим, |
что |
в аналогичной постановке Дж. Хейл |
||||
[214] |
исследовал |
частный случай |
системы |
(6.1), когда |
||
X (у) = А, |
где А — постоянная матрица. |
|
||||
2. Уравнения |
специального вида. Представим исходную |
|||||
систему уравнений в виде |
|
|
||||
= X (у0)х + Х г (t,X, у, г), |
|
|
||||
= |
еУ0 (0, у0) + |
еѴ'ох (0, у0) х + гУ'0у (0, у0) y + eY1 (t, х, у), |
||||
где |
|
|
|
|
(6.7) |
|
Х г (i, X, у, е) = X (у) X — X (у0) X + еХ* (t, х, у), |
||||||
|
||||||
EY ! (t, X, у) = |
eY (t, х,у) — еУ0 (х , у) + |
еУ0 (х, у) — |
еУ0 (0, у0) — |
|||
|
|
|
— гУ0х(0, if ) X — eY0y(0, у0) у. |
|||
Совершим теперь в полученных уравнениях замену пере менных согласно формулам
X — X1,
У = У1+ еУ'олг (0, у0) X-1 (у0) х \
где Xх по-прежнему принадлежит области DA, а относитель но у1 предположим, что она принадлежит D-, при этом
о — такое, что а + Л4Д < а, {Уо* (0, у0) X "1 (у0) | < М, и, следовательно, у не выходит из области своего опре деления D,J.
В результате такой замены система уравнений (6.1) примет вид
d x1 |
= X (у0) X 1 + Х2 (t, X 1 , у1, г), |
|
dt |
||
dyl |
(6.9> |
|
= еУ0 (°> У°) + еУ’оу(0, у0) у1+ еУ2 (/, х \ у1), |
||
t dt |
148 ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й
где |
|
Х2 (i, х \ у1, е) = |
Хх (t, X 1, у1 + гУОх (0, у0) Х~1(у0), х1, г), |
е У 2 (t, X 1, у 1, е ) |
= г У ! (t, X1, у1+ і'У'ох(0, г/°) X-1 (г /°), х 1) — |
- еУ'о* (0, г/°) X“ 1(г/>) Х2 (/, д \ у \ е) +
4- Е2Уоу (0, у0) Уо* (О, у0) X-1 (у0) X1.
Рассмотрим соответствующие системе (6.9) уравнения в вариациях
dbx |
X(y°)öx, |
|
dt |
||
(6 .10) |
||
dby |
||
sy'oy(0,y°) Sy. |
||
dt |
Для уравнений (6.10) по аналогии с § 1 введем в рассмот рение интегральные матрицы X (4, а), У (ф, а, е), матрицы монодромии X (Т , а), У (Т , а, г), а также ln X (Т , а),
In У(Т, а,Е), С (а) = ln X (Т , а), В (а, в) = -у In У (Т , а, е),
зависящие от а как от параметров. Здесь В (а, е) является аналитической функцией е, однозначной для ех С е0 и, Следовательно, допускающей для любых положительных
е< ех разложение
В{а, е) = В0 (а) + еВх (а) +
причем в рассматриваемом случае В0 (а) = 0.
Из предположения 1 ° вытекает существование двух ну левых точек спектра матрицы В (а, е). Обозначим их рх = = р2 “ 0 и предположим, что они являются изолирован* ными точками спектра. Полагаем, что остальной спектр <j0 (В) матрицы В (а, е), а также спектр а (С) матрицы С (а) не пересекаются с мнимой осью и расположены слева от нее.
Рассмотрим функции
Ф (ф, а) ~ X (ф, а) е~^с <а>, Ѳ (ф, а, е) = У (ф, а, е) е~^в (а'е>
(6.11)
и соответствующие им комплексно-сопряженные функции Ф (ф, а), Ѳ (ф, а, е), для которых справедливы следующие
