Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 227
Скачиваний: 1
§ 6. СИСТЕМЫ У Р А В Н Е Н И Й , О П И С Ы В А Ю Щ И Е Д В И Ж Е Н И Я 149
соотношения:
дФ ay а)■® (а) -f Ф (ф, а) со (а) С (а) = X (у0 (ф, а)) Ф (ф, а),
дФ (Ф, а) со (а) -f Ф (ф, а) со (а) С (а) = X (у0(ф, а)) Ф (ф, а),
д \ р
|
|
|
|
|
|
|
(6.12) |
|
"ѳ (у |
’ е)'~ю ^ |
+ |
ѳ СФ’ а’е) “ (а) в (а>е) = |
|
||||
- |
|
|
_ |
= |
еУо^(0, г/° (Ф, а)) Ѳ (ф, а, е), * |
|
||
|
|
|
. |
_ |
с (6.13) |
|||
5Ѳ (у |
’в'• м (а) + |
Ѳ |
Ф е) ® И |
5 (а- е) = |
|
|||
|
|
|
|
= |
eF0;, (0, у0(ф, а)) Ѳ (ф, а, е). |
|
||
Введем теперь |
в |
системе (6.9) |
вместо х1 (х\....... |
х'п), |
||||
У1 (У\..... У]) новые переменные g (gb |
gn), ф, а, h (hu .., |
h j |
||||||
посредством следующей |
замены: |
|
|
|
||||
|
X1~ |
\ |
[ф (Ф, а) g + |
Ф (ф, а) g], |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(6.14) |
|
|
if = |
-гг [Ѳ (Ф, а, г) h + Ѳ (ф, а, е) К]. |
|
|||||
Подставляя выражения (6.14) в уравнения (6.9) и прини мая при этом во внимание соотношения (6.12) и (6.13), по лучаем
1 |
/ ЗФ |
|
. |
ЗФ |
- |
dip |
со (а) |
1 |
|
2 |
\ Зф |
& |
' |
Зф |
^ |
ЧГ |
|
||
|
|
|
|||||||
|
|
ЗФ |
|
! |
ЗФ |
- |
|
|
|
|
, |
д а |
£ |
Г |
д а |
£ , |
|
|
|
|
+ |
4"ф ( т |
— НН“)г) = |
, a , g , h , t ) , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|(6.15) |
|
|
|
+ |
|
|
|
— |
<«>) + |
|
+ |
X (-35- h + |
! И |
% + |
4 - ѳ ( f |
,Н г (а).к) + |
||||
+ 4 ~ ѳ ( " § ------ |
s H 2 (a)h) — e Y 3 (t, ф, a , g , h, е), |
150 г л . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
* 3 |
(*, 4> a, g, ft, е) = |
Х 2 (t, 1 |
(Ф (Я|), a) g + Ф (4, a) g), |
|||||
~Y (® (4, а) h + Ѳ (і|), а) К), |
|
е), |
|
|
|
|||
у 3 |
(t, 4. Ф g, h, е) = еУ2 (t, j |
(Ф (4, а) g + Ф (4, а) g), |
||||||
4 |
” (Ѳ ( 4 . а) h + ѳ ( 4 . а)Ъ), е) + |
е К 0 (0 , у0) + |
}( 6 . 1 б> |
|||||
+ |
_L [Ѳ |
а) со (а) (&2В2 (а) + |
■• • ) + |
|
||||
|
|
|
+ Ѳ (4, а) со (а) (г2В2 (а) + • • • )], |
|||||
|
# ! (а) = со (а) С (а) |
(Н1 (а) = |
со (а) С (а)), |
|||||
|
Н2 (а) = со (а) Вг(а) |
(Н2 (а) = |
со (а) |
(а)). |
||||
|
Система |
(6.15) |
представляет |
собой |
систему (п + т) |
|||
уравнений относительно [2 (п + |
т) — 2] неизвестных. В ка |
|
честве разрешающего |
условия |
по аналогии с § 2 примем |
следующее: |
|
|
- ^ - - H 1(ci)g = ^ - H |
1(a)g = Z1-, |
|
d h
d t
В результате носительно (и +
гН2 (а) h = dh |
е# 2 |
(a) h = |
Z2. (6.17) |
|
d t |
|
|
|
|
получим систему |
(п + |
т) уравнений |
от |
|
т) неизвестных |
---- а> (а),~ , |
Zx и |
Z2. |
|
\ |
I |
д Ф |
|
<ЗФ |
- \ |
( |
d \р |
|
2 |
\ |
дг|5 |
|
дг|5 |
|
( |
d t |
|
. |
|
1 ( <5Ф |
. |
|
|
|
||
+ |
~ L ТI —\ Ж ^ ~ + |
д а |
|
|
||||
1 |
/ |
<ЭѲ |
4 . |
иѵуд Ѳ |
7Г -\ 1 dib |
|||
|
|
|
|
W |
h ) \ d f |
|||
~Ь • |
д |
Ѳ , |
, |
д Ѳ |
, |
d a |
||
- W h + ~ t o h |
d t |
|||||||
|
|
|||||||
\
ш(a )j +
+4 < ® + ®>z .
=X 2 (t, я|), а, g, h, e),
(6.18)
\
■©(a)J +
+ i _ ( 0 + 0)Z 2 =
= e V 2 (f,\p, a, g, h, e).
§ 6. С ИС ТЕ МЫ У Р А В Н Е Н И Й , О ПИ С Ы В АЮ Щ И Е Д В И Ж Е Н И Я 151
Предположим, что определитель системы (6.18)
det (ф, а, g, h) =
L ( дф |
, |
(ЭФ - |
т { ж § + ж - І ) ’ |
4 - ( ф + ф) |
||
2 |
\ <Эф S + -Щ- 8 |
|||||
1 |
/ д & |
. , |
д Ѳ т \ |
т ( ж h + Ж |
|
|
2 \ дф |
h + - W h}' |
Ä) ’ |
4 - ( ѳ + ®) |
|||
|
|
|
|
|
|
(6.19) |
отличен от нуля при g = |
0, /г — 0 для |
всех |
а £ 2t. Тогда, |
|||
в силу непрерывности, он будет отличен от нуля и в некото рой достаточно малой окрестности значений g = 0, h = 0. Обозначим эту окрестность через 1/^Рі — X Ußr При этом, очевидно, мы всегда можем найти такие положитель
ные 6г и рі, |
чтобы при |g | < |
6lt |
I h \ <C p! |
было -^-ІФ^ + |
||
-f- Ф^| < |
A, |
- ~ \ Qh -f- Ѳ/іI < |
а |
и, следовательно, |
чтобы |
|
X и у не выходили из областей своего определения (6.6). |
||||||
Разрешая |
систему (6.18) |
в |
области |
|
|
|
U |
X Q X 2f X U 6 lP l X Ее„ |
(Le= f0, U е]) |
(6.20) |
|||
относительно |
величин |
|
|
|
|
|
- ^ - - « ( а ) , |
Н1(а) g, |
еЯ2(а)М 6.21) |
||||
получаем следующую систему уравнений:
d\J) |
|
— co (et) -f- P (t, ф, a, g, h, e), |
|
|
|
dt |
|
|
|
||
da |
|
= |
Q (t, ф, a, g, h, e), |
|
|
dt |
|
|
|
||
dg |
|
= |
Bi (ä) g + G (t, ф, a, g, h, e) |
(g = gi, |
• • • >gnf> |
dt |
|
||||
dh |
|
= |
etf2 (a)h-\-R (t, ф, а, g, h, e) |
'S1 II cf* |
• >^m)- |
~1F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.22) |
Из свойств функций в правой части исходных уравне |
|||||
ний |
(6.1) вытекает, что функции Р |
g, Н,г), Q (t, ф, |
|||
152 гл. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й
a, g, h, е), G (t, яр, a, g, h, в), R (t, яр, a, g, h, e) определены в области
|
Lg X ß X 2t X U6l X UPl X Ee„ |
(6.23) |
|
и принадлежат в этой области классу |
|
||
|
М (б) |й=о; g=o! L (б, р, е)(^аіёіЛ)); |
(6.24) |
|
для каждого а £ 31 спектры матриц Нх (а), Н2 (а) |
не пере |
||
секаются с мнимой осью и расположены слева от нее и, |
|||
кроме |
того, |
со (а) = Lip {а; С). |
(6.25) |
|
|
||
З а м е ч а н и е |
6.1. Не представляет затруднений про |
||
извести приведение к специальному виду также в случае, |
|||
когда система уравнений (6.3) обладает ^-параметрическим |
|||
семействам периодических решений (k <; п). |
|
||
3. |
Локальное интегральное многообразие. В предполо |
||
жении, что правые части уравнений (6.22) обладают ука |
|||
занными выше свойствами, можно установить справедли |
|||
вость |
следующей |
леммы. |
|
Л е м м а 6.1. |
Можно указать такое положительное |
||
еі -С ео> что для каждого положительного е <; вг система уравнений (6.22) имеет двупараметрическое локальное ин тегральное многообразие Ж), представимое соотношениями
g = q>(t, яр, а, е), Іг = / (t, яр, а, е), |
(6.26) |
где функции ср (/, яр, а, е), / (t, яр, а, в) определены в области
|
Le X й X 2Г X Ее„ |
|
|
|
(6.27) |
||
непрерывны, |
2л-периодические |
по яр, удовлетворяют нера |
|||||
венствам |
|
|
|
D* (е), |
(6.28) |
||
I cp (t, яр, а, е) I < D (г), | / (t, яр, а, е) | < |
|||||||
где D (е) -> |
О, D* (г) -> 0 при е -> 0 и условию Липшица |
||||||
1ср (/, яр', а', е)—ф (t, яр", а", е)| < Д |
(е) (| яр' —яр" | + |
W — а" |), |
1 |
||||
I / (t, яр', а', б ) — / (t, яр", а", е )|< Д*(е) (| яр'—яр"| -f |а' —а"\) |
J |
||||||
|
|
|
|
|
|
(6.29) |
|
с константами Липшица А (е) |
О, А* (е) -> 0 при в -> 0. |
||||||
Кроме того, если функции Р (t, яр, а, |
g, |
h, |
в), |
Q (t, |
яр, |
||
а, g, h, в), |
G (t, яр, а, g, h, в), R (і, яр, а, |
g, |
h, |
в) являются |
|||
достаточно |
гладкими функциями своих |
аргументов, то |
|||||
функции ф (t, яр, а, в) u f (t, яр, а, в) также будут достаточно гладкими относительно яр, а, в.
