Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 228
Скачиваний: 1
§ 6. СИ С ТЕ МЫ У Р А В Н Е Н И Й , |
О П И С Ы В А Ю Щ И Е Д В И Ж Е Н И Я |
153 |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Метод доказательства |
лем |
|
мы 6.1, как и в § 2 гл. II, состоит в следующем. Вводим в |
|||
рассмотрение некоторые |
классы Сп (D, А) и Cm_2 (D*,A*) |
||
функций F (t, ф, а, е), и |
F* (t, ф, а, е), непрерывных, пе |
риодических по ф с периодом 2я, ограниченных функциями D (е) и D* (е) и удовлетворяющих условию Липшица от носительно ф, а с константами Липшица А (е) и Д*(е).
Рассматриваем уравнения
-Д - = о (а) + Р (і{, ф, а, F (t, ф, а, е), F* (t, ф, а, е), е),
(6.30)
~= Q (і(, ф, а, F (/, ф, а, е), F* (t, ф, а, е), е),
где F (t, ф, а, е) и F* (t, ф, а, е) — некоторые функции соответственно из классов Сп (D , А) и Ст~2 (D*, А*).
Принимая во внимание, что правые части уравнений (6.22) ограничены и удовлетворяют условию Липшица, в силу теоремы Коши убеждаемся в существовании и един ственности решений ф,, а( уравнений (6.30).
Для доказательства существования и единственности ограниченных решений gt и ht уравнений (6.22) вводим в
рассмотрение преобразование |
|
|
|
Sw.a (F, F*) = (S $,e (F, F*); S ^ , a(F, F*)), |
(6.31) |
||
которое переводит функции F |
и F* из класса Сп (D, А) X |
||
X С„ , _ 2 (D*, А*) в функции SF, SK*. |
Преобразования |
||
5 (І) и S(2) выбираются таким |
образом, |
чтобы их |
правые |
части соответствовали «вынужденным» решениям уравне ний относительно g и h в системе уравнений (6.22).
Далее рассматриваем уравнения |
|
F = SF, F* = SF* (5 = (5(1), 5 (2))) |
(6.32) |
и с помощью принципа сжатых отображений устанавлива ем существование и единственность неподвижной точки отображения 5, определяемой соотношениями
g = q>(t, ф, а, в), h = f(t, ф, а, е). |
(6.33) |
Затем показываем, что эти соотношения определяют интегральное многообразие для системы уравнений (6.22).
154 г л . 111. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И . П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й
|
Преобразования |
S(1) |
и 6'(2) |
имеют |
следующий |
вид: |
|||||
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( F , |
F * ) = |
j |
I |
(2)G 1 {t + 2>' |
а ѵ |
F |
\ (t + г; |
|||
o2; |
Ф2; |
e); |
F2(t + z-, |
аг; |
ф2; |
e); |
e} dz, |
|
(6.34) |
||
|
|
|
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sj?!,0 (F, F*) = |
j |
J (г) R1 {t + z; |
аг\ |
ф2; ^ |
(t + |
z; |
|||||
az; |
фг; |
e); |
F2(t + z; |
a2; |
ф2; |
e); |
e} dz, |
|
|
где интегрирование ведется по г от —оо до + ° ° - Поэтому» принимая во внимание, что с изменением z от —оо до -fo o а (z) может выйти из области своего определения 31, мы вместо функций G (t, ф, а, F, F *, е), R (t, ф, а, F, F *, г), определенных в области
|
|
Le X Q X 2t X Е8о, |
|
|
|
(6.35) |
||||||
вводим в преобразовании (6.34) функции G±(t, ф, |
а, |
F, |
||||||||||
F*, е), Rx (t, ф, а, F, F*, е), определенные |
в расширенной |
|||||||||||
области |
t £ R , |
а£Ш, |
|
|
е£ Ее„. |
|
|
(6.36) |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
Тем самым мы вместо системы уравнений (6.22) вводим |
||||||||||||
в рассмотрение систему уравнений вида: |
|
|
|
|
||||||||
4 г |
|
“ і (а) + |
(*» |
|
а>ё> h>е). |
|
|
|
|
|||
|
= |
Qi У, ф, а, g, |
h, e), |
|
|
|
|
(6.37) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
Ha (a) g + |
Gi (*, Ф> «> g, h. £). |
|
|
|
||||||
Hh |
= |
(а) Ä + |
/?i (/, Ф, а, g, h, e), |
|
|
|
||||||
- ß - |
|
|
|
|||||||||
где функции |
coj (а), |
Н3 (а), |
Я4 (а), |
(L |
ф, |
а, g, |
h, |
е), |
||||
Qi (L ф, а, g, |
h, |
г), Gt |
(/, ф, а, |
g, h, |
e), |
/?! (/, ф, |
а, g, |
h, |
e), |
|||
определены в расширенной области |
|
|
|
|
|
|
||||||
f € Я, |
в € Я, Ф € ß, |
g € |
e„ |
Ä 6 t/Pl, |
e € ESo, |
(6.38) |
обладают в этой области теми же свойствами, что и функции
Р (t, ф, а, g, h, е), Q (t, ф, а, g, h, е), G (t, ф,а , g, L,e),
§ 6. СИСТЕМЫ |
У Р А В Н Е Н И Й , О П И С Ы В А Ю Щ И Е Д В И Ж Е Н И Я 155 |
|||||
R (/, г|з, а, g, |
h, е) в области (6.35), и в области (6.35) совпа |
|||||
дают с ними. |
|
|
|
|
|
|
Матрицы / (t), J (і) определяются следующим образом: |
||||||
/(/) |
= |
0, |
J (0 = 0, |
f > 0 , \ |
|
|
Ht) = |
e ~ H*la)t, |
J(t) = e- eH'{a)t, |
t < |
0 , j |
(6,39) |
|
где H3 (а), |
# 4 (а) — соответственно |
ln X |
n]- |
и Im X |
||
X (m — 2) 1-матрицы, спектры которых |
для |
всех |
рассма |
триваемых значений а не пересекаются с мнимой осью и
расположены слева |
от |
нее. |
|
|
|
|
|
||
Нетрудно проверить, что матрицы I (t), J (t) удовлет |
|||||||||
воряют |
уравнениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 г = — eHt (a)J(0 = — eJ (t) Ні (а), |
(6.40) |
|||||||
|
|
||||||||
а также |
условиям разрыва |
|
|
|
|
|
|||
|
|
I ( |
0) |
/ (+ |
0) = |
/„, |
1 |
|
|
|
|
J ( |
0) |
J (-J- 0) == ІЩ-.2, |
I |
{ |
1) |
||
где /„, |
Іт ~ 2 |
— единичные |
матрицы |
соответствующих |
|||||
размерностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу свойств спектров матриц Н3 (а), Н4 (а) справед |
|||||||||
ливы следующие неравенства: |
|
|
|
|
|||||
|/ ( 0 |< Я |
1с -11', \J ( t) \< K 2e - ^ [t с |
[°, - j |
|
||||||
где Кі, |
Кг, 11> 7 — некоторые положительные постоянные. |
||||||||
Замечая, что эта лемма доказывается тем же методом, |
|||||||||
что и лемма 2.1, укажем лишь оценки для |
|3 (/фа (F, F *)|, |
||||||||
|
F*) I |
и |
\S?X',a’ (F', |
F * ' ) - S ^ ( F " , |
F*") |, |
||||
S ^ ',0 ' (F', F*') — 5^» о» (F", F*") |, |
которые позволяют |
при |
менить принцип сжатых отображений для доказательства существования и единственности решений уравнений (6.32).
Имеем |
|
I S{!la(F, F*) I < |
[М (г) + а, (в, D, D*) (D + D*)}, (6.43) |
1S$>.« (F, F*)\< - ^ ~ {М (в) + К(е, D, D*) (D + £>*)}, (6.44)
156 ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Я
а также |
|
|
|
|
|
|
|
||
I S \ ] ^ |
(F’, F*' ) - S WW’ (F", P") I < |
ec |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e, D, D*) (1 F' _ F' 1+ [I F*' - F*" |) |
J e~ ^d z + |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
cc |
— cc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(e, D,D*)( 1 + |
A + A*) J «T™ {| г|>' - |
Г I + |
|
||||
|
|
|
|
|
|
—oo |
|
|
|
|
|
|
|
-r I a' — a" I}dz -j- |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
+ |
K1X(e, D, D*)( 1+ |
Д + |
Д*) J |
е{-’І+2Іс+^«е'°*д*И1+д+А*ИЯ*І X |
|||||
X 1 1 |
— V I + I G' |
|
, |
Ki№(8, D, D*) (1 + |
A + A*) |
>4 |
|||
|
' J a~ ' |
C ~ Ms, D, D*) (1 + A + A*) |
|||||||
|
|
|
|
|
OO |
|
|
|
|
X (|]F '-F "] + iF*'- |
jPtw|) j |
T1+2[C+X(E,D,D*)(1+AH-A*)]H21 |
|
||||||
|
|
|
|
Ki№(e, D, D*) (1 + A + A*) |
|
|
|
||
|
|
|
C+Me, D, D*)(l + Д + Д*) |
|
|
|
|||
|
|
|
OO |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
j e~m dz(§F' — F"j| + HF*' — F*"[j) |
(6.45) |
|||||
И |
I S{t% ^ (F', |
F*') - |
Slf^a" (F', |
F*') I < |
cc |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< К 21(г, D, D*)(IF - |
F"\\ + IF*' - F * '\ ) |
j e ~ ^ 1dz + |
|||||||
|
|
|
|
|
|
cc |
—oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ КЛ(е, D, D*)(l+A-fA*) J е~еѵіг| {| ф '— ^ | + |
|
|||||||
|
|
+ [ a' — a" [} dz + |
|
— OO |
|
|
|
||
|
|
/CJJÄ,(e, D, D*) (1 -j- A -f A*) x |
|
||||||
X |
J е;- еѵ+2 [с+?.(е,о,о*)и+д+д*)]НгІ (ITJ' — |
|a' — a" \} dz-\- |
|||||||
+ |
КЛ?(е, D, D*) (1 4- A + A*) |
(l|F' — F"|j-j-|F*' — F*"|) |
X |
||||||
C + Ms, D, D*)(1-f Д + Д*) |
|||||||||
|
|
X |
J е < -еѴ + 2 [С + М 8 ,0 .0 * )(1 + Д + Д * )]Я г|^ г _ |
|
|
||||
|
|
|
—00 |
|
|
|
|
|
|
K\№(s, D, D*) (1 T A + A*) „
С - r К(s, D, D*) (1 + A + A*) *
CC
К j e - ^ d z ( iF' - F' 14ІF*' - F*" 1) |
(6.46) |
§ 6. СИСТЕ МЫ У Р А В Н Е Н И Й , О П И С Ы В А Ю Щ И Е |
Д В И Ж Е Н И Я 157 |
|||||
Выберем теперь D, D*, А, А* как |
функции параметров |
|||||
е таким образом, чтобы при е |
0 они стремились к нулю |
|||||
и чтобы для всех е, меньших |
некоторого е, (et < |
е0), вы'- |
||||
полнялись неравенства: |
|
|
|
|
||
{М (е) + |
К(е, D, D*) (D + |
D*)} < |
D, |
(6.47) |
||
-^2- [М (е) + |
%(е, D, D*) (D + |
D*)} < |
D*, |
|||
|
||||||
2[C+ 'k(E,D,D*)(\+ ^+^*))<^- |
(<-f- |
(6.48) |
||||
^ Â ( s ,D ,D * ) ( l + A + |
A*)<A, |
(6.49) |
||||
е7 |
D*)(l + Д +А *)<А *, |
(6.50) |
||||
|
|
|
|
|
||
*ZL-X(S,D ,D * ) < 1, |
k (e, D, £>*) < 1. |
(6.51) |
||||
ч |
|
ьг |
|
|
|
Такой выбор D, D*, А, А* всегда возможен при т] > 8Ки
У> 8/Са.
Врезультате получим неравенства
1 S&„ (F, Р ) I< D (е), JS $.e(F, F*)S < 7)* (e), (6.52)
1S&a (F\ F*') - |
S\%,a (F", F*") IJ < |
\ ( IF - |
F" 1+ |
- н Г ' - Р " ! ) , |
|
|
■(6.53) |
|
|
|
|
ISjXa (F, F*') - |
S $ ,e(F", F*") II < |
4 - (1F' - |
^11 + |
+ 1F*' — F*" |J),
из которых следует, что отображение 5’ = S(I) X S(2) явля ется сжатием и, следовательно, уравнения (6.32) обладают в классе функций Сп , т ~ 2 (D (е), А (е); D* (е), А* (е)} единственным решением
F = Фі (t, ф, а, е), F* = Д (f, ф, а, е), |
(6.54) |
которое и определит интегральное многообразие ЗИ( урав
нений (6.22) в области |
(6.23). |
С л е д с т в и е 6.1. |
На интегральном многообразии |
37^ переменные ф, а удовлетворяют системе двух уравнений
T f- = ® (я) + Рѵл (*. Ч>. а>е). - у г = а' е)’