Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 231
Скачиваний: 1
158 |
ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И |
П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х |
Р Е Ш Е Н И Й |
|||||||
где |
функции |
P^f (t, op, а, |
е) |
= |
Р (t, |
op, а, |
ср |
(t, |
op, |
а, е), |
/ (t, |
op, а, е ), |
е ), Qv,f (t, al), |
а, |
е) |
= Q (t, лр, а, |
cp |
(t, ар, |
а, е), |
||
f (t, ар, а, г), е) определены в области |
t £ Le, |
ар £ Q, а |
£ 2Г, |
|||||||
« £ Ее,, непрерывны, 2п-периодические |
not и |
по |
ар. Кроме |
|||||||
того, если функции Р (t, ар, a, g, |
h, е), |
Q (t, ар, a, g, h, е) яв |
||||||||
ляются достаточно гладкими относительно ар, a, g, h, е, то функции P<$j (t, ар, а, е), Q([1j (t, ар, а, е) также будут достаточно гладкими функциями ар, а, г.
З а м е ч а н и е 6.1. Нетрудно видеть, что из существо вания локального интегрального многообразия Ж,, опре деляемого соотношениями (6.26), вытекает существование
локального интегрального многообразия ЯК,, определяемо го соотношениями
g = ф (t, op, а, г), |
h — 'f(t, ар, а, г), |
(6.55) |
где ф, / — комплексно сопряжены с ф, /. |
многообразий |
|
С л е д с т в и е 6.2. Из |
существования |
|
ЯК,, ЯК, для системы (6.22), |
определяемых соотношениями |
|
(6.26), (6.55), согласно формулам преобразования (6.14) следует существование локального интегрального много образия 5, для системы (6.1), определенного соотношениями
х = |
I |
— |
_ |
1 |
~ { Ф (ар, а) ф (t, ар, а, е) -+- Ф (ар, а) ф (/, ар, а, е)} =з |
||||
|
|
|
= Fx(t, ар, |
а, г), |
у = |
г/° (ар, а) -J— |
{Ѳ(ар, а) f (t, ар, а, е) + |
|
|
|
+ |
ѳ (Ф, а)7 (t, ф, а, е)} = |
F%(t, ар, а, |
е), / |
(6.56)
где функции Fx (t, ар, а, е), F%(t, ар, а, е) определены в области
t £ Lg, |
ар £ О, а £ 21, е £ Ееі, непрерывные, 2л-периоди |
ческие |
по t, ар. |
Свойство притяжения локальным интегральным много |
|
образием траекторий любых решений системы (6.22), вы ходящих в начальный момент времени из точек вблизи этого многообразия, может быть сформулировано в виде следующей леммы.
Л е м м а 6.2. Можно указать такие положительные постоянные е*. т), £, с, d, Сх, С2, р2, 6.а (р2< р1( 62 < 8lt
§ 6. СИС ТЕ МЫ У Р А В Н Е Н И Й , О П И С Ы В А Ю Щ И Е Д В И Ж Е Н И Я 159
е* < ех), что если все характеристические числа матриц HL(а) и е# 2 (а) имеют отрицательные вещественные части, то для каждого положительного е <; е*, любого веществен ного t0 и любых ф0 £ Q, а0 £ 21 существуют п- и соответ ственно (т — 2)-мерные области Uc,,, UPi точек [g} и [h], обладающих следующими свойствами: если для t = t0: go £ U&2>h0 £ UPs, то тогда для всех fg> t0 из интервала
d справедливы неравенства
gft |
— ф {t, фь at, e) I < Cj (e) |
| go — |
|
|
|
— ф(*о> |
öo>e)l, |
(6.57) |
|
I hi |
— f (t, ф,, at, e)| < C 2 (e) |
] ho — |
||
|
||||
|
~ f i L Ѣ . |
«о. e)|, |
|
|
где фо, a0 представляют собой ф,, at при |
t — t0; gf/ , hf/ — |
|||
решения системы (6.22), не лежащие |
на многообразии. |
|||
Эта лемма доказывается тем же методом, что и лем |
||||
ма 2.2, поэтому на ее доказательстве мы останавливаться
не |
будем. |
|
|
З а м е ч а н и е 6.2. Из леммы 6.2 по аналогии с § 2 |
|
гл. |
II вытекает единственность |
многообразий Ж, (Ж,*). |
|
С помощью леммы 6.2 легко |
установить свойство при |
тяжения многообразием St траекторий близких к нему решений. Для этого, очевидно, необходимо оценить сле дующие величины:
\хН(і) — F1(t, фь аи е)|, I (0 F2 it, ф/, at, в) |, (6.58)
где хн (t), ун (t) — решения системы (6.1), не лежащие на многообразии, начальные значения которых принадлежат соответственно окрестностям ІУДг и Ua, (мы полагаем, что
влемме 6.2 63 и р2 выбраны такими, что при
И< М | £ | < 0 а ) , | А | < Р а ( | Л | < Р а )
будет
+ |
< А 2, -jjj- I Ѳ/г ѲЛ j C G2 |
и, следовательно х £ Нд2, у £ U0!). Принимая во внимание (6.14), (6.56), а также неравенства (6.57), выражения (6.58)
160 ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Я
можем |
записать |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 хН(0 —■ (t, Фь at, е) [|< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
< |
аі (К |
|
Р 2 . е) |
{ Ig? — Ф |
(*, Ф о |
аь е ) |
I + |
I g? — |
|
|
|||||||
— Ф {t, фь at, е) |} < |
|
(ö2, p2l е) е~щ1~1о)( | g0 — |
|
||||||||||||||
|
Фо (^0> |
'Фо. а 0> 8) I |
§0I |
|
Фо |
(^0> Ф о . |
^0>8 ) |
I ) , |
j (6.59) |
||||||||
I yH(t) — Fü(t, ф<( at, e)|j< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
< |
<*2 (S 2, |
Р г . 8 ) |
{ |
I ht |
— f |
(t , |
ф<( at, e) | + |
|ht |
— |
|
|
||||||
— lit, ф |
ь at, e ) |
I |
} < |
X2( 6 2l |
p 2 , e ) e~M~U) ( | ho — |
|
|||||||||||
— |
/ (*0. |
Ф о . ß o.8 ) |
I + |
Iho |
— |
f |
(t0, Ф о , a0, e) | ) . |
|
; |
|
|||||||
Пусть |
ф (/„, |
|
фо, |
a0l e) £ U6i (cp (t0, ф0) |
a0, e) |
£ £/fli), |
f (t0, |
||||||||||
Фо. a0, |
e) £ |
|
t/Pl |
(/ (f0, |
фо, |
fl0, |
e) £ f/Pt). |
Тогда, |
принимая |
||||||||
во внимание, что неравенства (6.57) выполняются для |
go £ |
||||||||||||||||
€ U&z |
(go |
|
|
ho |
£UPt |
(ho |
£UPi), из |
(6.59) |
получаем |
||||||||
\\хн (t) — ^ |
{t, ф(, at, e)j) < |
C2 |
(6 |
2, p2, e) e~w _*o), J |
|
||||||||||||
IIУН (t) — F2 |
(t, ф,, |
at, e )f< C 2 |
(6 |
2, p2, e)e~w ~t,] j |
|
||||||||||||
для xH (t0) £ T/AJ, г/я (/) £ ^Лт, |
на |
интервале |
времени |
0 -< |
|||||||||||||
<t < L/e.
Полученные результаты окончательно можно сформули
ровать в |
виде |
следующей теоремы. |
|
|
(6.1) |
|||||
Т е о р е м а |
6.1. |
Пусть |
относительно системы |
|||||||
выполняются условия |
1°, |
2° |
(стр. |
146—147). Тогда можно |
||||||
указать такие положительные числа |
е0, |
ег, е*, 6 0, 6 |
1, |
6 2, |
||||||
Po. Pi. р2 (S2 < |
öi < 6 |
0, р2 < |
рг< |
ро, |
8 * |
< в! < е0), |
что |
|||
при любых положительных г •< е* |
будут |
справедливы сле |
||||||||
дующие утверждения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Система (п-\- т) уравнений (6.1) имеет двупарамет |
|||||||||
рическое локальное интегральное многообразие St, предста |
||||||||||
вимое в параметрической |
форме соотношениями вида |
|
||||||||
х = 4 " (Ф |
^ |
Т (*> 'Ф. я. 8 |
) + |
Ф (Ф, а) ф (t, ф, а, 8 )} = |
|
j |
||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
Fi (t, Ф, а, е), |
* |
|
# = г/°(ф,а)4 |
- у{Ѳ(ф, a)f(t, ф, а, e)-f Ѳ(ф, а)/(*,ф,а, е)} = |
I |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
F2 (t, Ф, a, e) |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.61) |
||
§ 6. СИСТЕМЫ У Р А В Н Е Н И Я , О П И С Ы В А Ю Щ И Е Д В И Ж Е Н И Я |
161 |
||||
(свойства функций Р\ {(, ф, а, е), |
F.2 (/, ф, а, е) |
указаны на |
|||
стр. |
158). |
|
|
|
уравне |
2, |
На многообразии St исходная система п + т |
||||
ний |
эквивалентна системе |
двух |
уравнений |
|
|
4 г = “ <а- + p v.f (*• |
а- 8)> |
~W~ = QM (*• |
а’ ®)* |
|
|
3. Многообразие S t обладает свойством притяжения траекторий любых решений системы (6 .1 ), выходящих в начальный момент времени из точек вблизи многообразия S/, причем это притяжение осуществляется по закону
(6.60).
4. Интегральные многообразия системы слабо связанных осцилляторов. В качестве примера рассмотрим систему диф ференциальных уравнений
^2 “ЬU)iX{ — 8.Х,■(xlt•••,Хп,Х±, ...,Хп,(,б)
( і = 1 ..........П), |
(6.62) |
где Х{ — дважды непрерывно-дифференцируемые функции своих аргументов, квазипериодические по ( с частотами
.... «V |
линейно |
независимыми в совокупности с |
|
со,, ..., со„. |
уравнениях (6.62) замену |
|
|
Совершив в |
|
||
Х[ = |
рі cos ф,., |
Хі = — р,со(- sin ф„ |
(6.63) |
получим |
|
|
|
rfcp/ |
= |
со; |
COS Ф/ |
х/ / |
р„ cos фл; |
|
|
8 |
X, (Pi cos фх.......... |
||||
®iPi Sin ф^, |
. • ■, |
^лР/г sin фл, |
ф|, , . ., |
фт, С), |
||
dt ~ |
/l+s’ |
|
|
|
|
|
dpt |
|
sin op, v . |
|
|
||
d T = |
— e — |
c ( P i c o s Фі> • • • * |
P « C O S (P «; |
|||
—cousin Фі, . . . . |
— co„p„ sin ф„; |
фх.......... |
фт ; e) |
|||
|
|
(t = 1, . . . . л; s = 1.......... |
m ). |
|
||
Введя |
обозначение |
|
|
|
||
|
|
|
|
И= ффі|), |
|
|
(6.64)
(6.65)
Q Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова
