Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 232
Скачиваний: 1
162 ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й
можем записать систему (6.64) в следующей векторной форме:
-^Г = 0 + £ р іи>Р. е)>
(6.66)
(и, р, е).
Система (6 .6 6 ) является системой типа (6.1). Нетрудно видеть, что вектор-функции F (и, р, е), R (и, р, е) обладают свойствами, аналогичными свойствам функций в правой части системы уравнений (6 .1 ).
Следовательно, применяя тот же метод, что и для ис следования системы (6 .1 ), можно доказать в достаточно малой окрестности некоторого частного семейства решений соответствующей (6 .6 6 ) вспомогательной системы уравне ний существование локального интегрального многообра зия St системы (6 .6 6 ):
р = / (и, г). |
(6.67) |
Отсюда, согласно (6.65) и (6.63), будет следовать существо вание локального интегрального многообразия S( исход ных уравнений (6.62),
Хі = /,(Фі... |
Фя.t, е) cosф; (і - 1,...,п). |
Глава IV
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Настоящая глава посвящена исследованию стационарных режимов некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений.
Исследованы периодические и квазипериодические решения на одиопараметрическом интегральном многообразии уравнений в стан дартной форме, а также решения в окрестности этого многообразия.
Аналогичное исследование проведено в случае двупараметрического локального интегрального многообразия уравнений, близких к точно интегрирующимся, при этом рассмотрен как нерезонансный, так и резо нансный случаи.
Дано приложение метода интегральных многообразий для иссле дования стационарных решений некоторой релаксационной системы, а также для исследования квазипериодических решений систем, близких к гамильтоновым.
§ 1. Структура решений на однопараметрическом интегральном многообразии уравнений в стандартной форме
1.Периодические и квазипериодические решения. Рас
смотрим уравнение в стандартной форме
= гХ (t, X), |
(1.1) |
где*, X — «-векторы, е — малый положительный параметр. Предположим, что для уравнения (1.1) выполняются условия теоремы 2.1 гл. II. Тогда существует однопарамет рическое интегральное многообразие St уравнения (1.1),
представимое в виде
x = f(t, Ѳ). |
( 1.2) |
На многообразии St исходное уравнение эквивалентно уравнению
(1.3)
164 гл. IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ РЕШЕНИЙ
Функции / (і, Ѳ), F (t, Ѳ) обладают приведенными выше свойствами (см. стр. 81), в частности, функция F (t, Ѳ) дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет неравенствам
I F(t, Ѳ) I < 8 (e), |
I F{t, Ѳ') — F (t, Ѳ") I < n (e) j Ѳ' - Ѳ" 1, (1.4) |
в которых б (e) -> 0, Ti (e) -> 0 при e -> 0. Кроме того, функции f (t, Ѳ), F (t, Ѳ) являются 2я-периодическими по
Ѳи почти-периодическими по t равномерно относительно
Ѳс частотным базисом функции X (t, x).
Внастоящем параграфе рассмотрим важный частный случай, когда функции / (t, 0), F (t, 0) являются периоди ческими функциями t с периодом Т (не зависящим от 0). Это будет иметь место, например, когда функция X (t, х)
является периодической |
по t с периодом Т. |
В рассматриваемом |
«случае периодичности» функций |
/ (t, 0), F (/, 0) Н. Н. Боголюбовым [78] на основании ре зультатов А. Пуанкаре [176] и А. Данжуа [33] был про веден анализ структуры решений, лежащих на многообра зии St. Остановимся на этих результатах.
Рассмотрим решение уравнения (1.3) как функцию
начальных значений |
t0, Ѳ0 |
= Ѳ (t0) и разности t — t0\ |
|
Ѳ(9 = Ѳ(*0) + |
Ф(* — *o. t0, 0(g). |
(1.5) |
|
Из периодичности |
функции F (t, 0) относительно |
t и |
|
0 с периодами соответственно Т и 2я следует, что функция
Ф (т, /0, |
Ѳ0) |
также будет периодической относительно |
t(> |
|||
и Ѳ0 с периодами соответственно Т и 2я. |
|
|
||||
Пусть теперь Ѳп = |
0 (t0 + пТ). Имеем |
|
|
|||
Ѳ/1 +i = |
Ѳ„ -f- Ф (Т, t0-f- пТ, Ѳ„) = |
Ѳл + |
Ф (Ѳ„), |
|
||
|
|
Ф(Ѳ„) = Ф (Г ,/0 ,ѲД, |
|
(1.6) |
||
причем |
Ф(0) |
является 2я-периодической |
функцией |
0. |
||
Согласносвойствам |
правых частей |
рассматриваемых |
|
|||
уравнений функция Ф (0) будет обладать непрерывными
производными |
первого и второго порядков. |
Кроме того, |
из неравенств |
(1.4) следует |
|
|
|Ф '(Ѳ )|<ер(е), р (е) -*■ 0; |
(1.7) |
|
Е-*0 |
|
поэтому при рассматриваемых достаточно малых значениях е, для которых
ер (е) < 1 ,
§ 1. |
С Т Р У К Т У Р А |
Р Е Ш Е Н И Й |
165 |
получаем |
1 + Ф '(0 )> О . |
(1.8) |
|
|
|||
Таким образом, |
функция |
|
|
|
/ДѲ) = |
Ѳ+ Ф(Ѳ) |
(1.9) |
является монотонно возрастающей и обладает свойством периодичности «второго рода»
F(Q + 2л) = Д(Ѳ) + 2я.
Поэтому преобразование
Ѳ-^/ДѲ) |
( 1 .1 0 ) |
можно рассматривать как взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение окружности на себя.
Благодаря соотношениям (1.6) видим, что последо
вательные значения |
решения уравнения (1.3) в точках / «= |
||
= /„ + |
пТ |
можно |
получить итерацией преобразования |
(1.10) |
при |
начальном значении Ѳ0. |
|
Итерации преобразований рассматриваемого здесь типа были предметом исследований А. Пуанкаре [1761 и А. Данжуа [33], в которых было установлено следующее.
1. Существует предел
не зависящий от Ѳ0.
2. Если V иррационально, общее решение итерационного уравнения
Ѳ„+1 =--f(0„) |
(1.12) |
имеет вид |
|
Ѳп — 2лѵп + ф -f Е (2лѵп 4- ф), |
(1-13) |
где ф — произвольная постоянная. Здесь Е (ср) — непрерыв ная, 2я-периодическая функция. Выражение ср + Е (ср) яв ляется монотонно возрастающей функцией, не остающейся постоянной ни в каком, сколь угодно малом, интервале.
3. Пусть Vрационально (ѵ = r/s, где г, |
s — целые взаимно |
простые числа). |
|
Тогда рассматриваемое итерационное уравнение имеет |
|
периодические решения, для которых |
|
9Л+І — Ѳ,г = 2лг. |
(1.14) |
166 |
гл. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К И С С Л Е Д О В А Н И Ю Р Е Ш Е Н И Й |
Любое решение Ѳп при неограниченном возрастании п приближается к одному из таких периодических решений.
Пусть Ѳт будет каким-либо решением рассматриваемого уравнения, исходящим из начального значения Ѳ0, лежащего внутри интервала 0, 2л. Тогда для него можно указать такие ат, ßm
что |
“т > ° - ßm>°> ат+ |
< 2п> |
О-15) |
||
— а т < e ms — 2 ятг < |
ßm- |
(1.16) |
|||
|
|||||
Из этих результатов устанавливается ряд следствий. |
|||||
Так, |
рассмотрим сначала |
случай |
иррационального ѵ. |
||
Из (1.5) |
следует |
|
|
|
|
откуда |
Ѳ(t) = Ѳ„ + Ф (t - |
10 - пТ, ia, Ѳя), |
(1.17) |
||
|
|
|
|
||
Ѳ(t) = 2пѵп + iß -f- Е (2лѵл + iß) +
+ Ф (t — 10— пТ, tg, 2лvn 4 - iß -j- E (2лvn + iß)). (1.18) Полагая для сокращения
- l + E (ф ) + Ф g, /0, Ф + £ (ф )) - / (s, ф ),
где
2 лѵ
можем написать также
Ѳ(t) = 2яѵ - j j '0 + iß + / (2лѵ (~*Ч ~пТ- , 2яѵя -f- ißj .
(1.19)
Заметим, что введенная функция f (g, ф) непрерывна и обладает по отношению к ф периодом 2 л.
Далее, так как соотношение (1.19) справедливо при лю бом п, то
д■2 лѵ, 2 яѵя -f iß -f- 2 лV/
= / ^2 яѵ |
, 2 лѵп 4 - iß). (1 .2 0 ) |
Величина t здесь произвольна. Возьмем
t — tg — nT = —L- и
2 яѵ
§ 1. С Т Р У К Т У Р А Р Е Ш Е Н И Й |
г 167 |
и представим тождество (1 .2 0 ) в виде
/ (и — 2 яѵ, 2 лѵп + ф + 2 лѵ) = f (и, 2 лѵп -ф ф). (1 .2 1 )
Поскольку числа 2пѵп образуют на окружности всюду плотное множество, то в силу непрерывности можем от сюда заключить, что для всех <р
f (и —2 лV, ф + 2 лѵ) = f(u, cp). |
(1 .2 2 ) |
Построим функцию
f (2nvR (— j , ф — 2лvR (-^ -)) = / (», ф), (i -23)
обладающую периодом 2л по отношению к ф и и. Ясно, что эта функция непрерывна, так как ввиду тождества (1 .2 2 ) свойство непрерывности сохраняется в точках разрыва
R (-£ ) 1781.
Полагая в формуле (1.19)
получим
Ѳ(0 = 2 я ѵ ^ ^ + ф + / ( 2 л - ^ « . ) 2 л ѵ - ^ -- Ь ф ) . (1.24)
Подставляя это выражение в (1.2), убеждаемся, что ре шения рассматриваемого основного уравнения (1 .1 ), ле жащие на интегральном многообразии St, имеют в данном случае вид
x{t) — Ф (a,t, apt ф- ф), |
ф = const, |
|
2іс |
2itv |
(1-25) |
Щ— т > ар — |
т |
I |
где Ф (ф , ф) — непрерывная функция угловых переменных Ф, ф с периодом 2л.
Итак, рассматриваемые решения, лежащие на много образии St, являются квазипериодическими и обладают двумя основными частотами — «внешней» частотой 2я/Г и
«собственной» частотой 2 лѵ/Т.
Перейдем теперь к рассмотрению случая рациональ
ного V.
Согласно приведенному выше третьему результату Пуан каре — Данжуа, на интегральном многообразии St име ются периодические решения с периодом sТ.
