Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

168 ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К И С С Л Е Д О ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Й

Любое решение, принадлежащее St, приближается к одному из этих периодических решений при t -> оо.

З а м е ч а н и е 1.1. Поскольку частоты рассматрива­ емых периодических решений будут кратными 2njsT, можем представить их линейными комбинациями частот

Таким образом, и в случае рационального значения

числа V стационарные решения уравнения (1 .1 ) (периоди­ ческие решения на многообразии S t) можно формально представить как функции, обладающие двумя основными частотами at и ар.

2. Исследование решений, не лежащих на многообразии.

Перейдем к рассмотрению решений, не лежащих на много­

уравнений в вариациях имеют отрицательные веществен­ ные части.

В этом случае любое решение уравнения (1.1), проходя­ щее при t — / 0 через какую-либо точку области определе­ ния многообразия D0o, приближается при t ->■ со к одному из стационарных решений: к квазипериодическому реше­

нию в случае иррационального ѵ или к периодическому в случае рационального ѵ.

для доказательства этого утверждения достаточно показать, что если какая-либо непрерывная и дифференцируемая функция Ѳ (0 в интервале (t0, оо) удовлетворяет неравен­ ству (1.27), то тогда

В свою очередь, для доказательства этого утверждения достаточно показать, что для любой последовательности

Н. Н. Боголюбовым [78] путем ряда тонких рассужде­ ний, на которых мы здесь останавливаться не будем, для по­ следовательности Ѳя, удовлетворяющей неравенству (1.30), установлено предельное соотношение (1.31).

3. Основная теорема. Резюмируя изложенное выше, приходим к формулировке следующего основного резуль­ тата.

Т е о р е м а 1.1. Пусть для уравнения (1.1) выполня­ ются условия теоремы 2.1 гл. II, стр. 80, и, кроме того, функция X (t, х) является Т-периодической по t равномерно относительно х £ Dao.

Тогда для достаточно малого значения е < е' (е' •< ех< С е0) поведение решений на многообразии S, представимых соотношениями вида

х(і) = Ф(а{, dpt -J- ф),

гдегр = const, а1— -у-----«внешняя» частота, ар = —------

«собственная» частота, Ф (ф, ф) — непрерывная, периоди­ ческая функция ф, ф с периодом 2 я, характеризуется числом ѵ.

Если V иррационально, каждое из решений является квазипериодической функцией t с двумя основными частота­ ми at, Ір.

Если V рационально, на S существуют периодические решения с этими же основными частотами; любое неперио­ дическое решение, лежащее на многообразии S, приближа­ ется при t-*- оо к одному из таких периодических решений.

Пусть в дополнение к указанным условиям все п — 1 соответствующих характеристических показателей имеют отрицательные вещественные части.

Тогда траектория любого решения уравнения (1.1), проходящая в начальный момент времени через какую-либо

к одному из стационарных решений (к квазипериодшескому решению в случае иррационального ѵ или к периодическому в случае рационального ѵ).

§ 2. Исследование структуры решений на двупараметрическом локальном интегральном многообразии уравнений, близких

кточно-интегрирующимся. Нерезонансный случай

1.Формулировка задачи. В §2 гл. Ill была доказана теорема о существовании и свойствах двупараметрического

локального интегрального многообразия St уравнения вида

параметр. В частности, было показано, что на многообра­ зии St, параметрическое представление которого имеет вид

ж = х° (ф, а) + -^-{Ѳ (ф, a)f(t, ф, а, е) + Ѳ (ф, a)f(t, ф, а, е)},

( 2 . 2)

исходное я-мерное уравнение эквивалентно двум уравне­

т. е. решений уравнений (2.3). Рассмотрим случай, когда Q[i) (t, ф, а, в), Рф (t, ф, а, е) —аналитические функции г:

и коэффициенты Qi,f) (t, ф, а), Р(,Р (і, ф, а) — целые поли­ номы относительно sin (nt + тф) и cos (nt + тф).

Тогда справедливы разложения

rfl- -m2=kО

правые части которых представляют собой конечные суммы. Вначале рассмотрим нерезонансный случай, то есть случай, когда ни при каких значениях а £ ЭД(St = (а0, ах))

не выполняется соотношение вида

Здесь следует напомнить следующее обстоятельство. Так как р и q, вообще говоря, могут принимать всевозмож­ ные целочисленные значения, то множество {p/q} является плотным и, следовательно, отношение p/q при соответствую­ щем выборе чисел р и q может приблизиться к любому на­ перед заданному числу.

Поэтому может создаться впечатление, что при любых значениях а £ 2 1 будет выполняться соотношение со (а) =

— plq (точный резонанс). В действительности же это н^так, потому что не все возможности, указанные соотношением со (а) = p/q, осуществимы.

Согласно приведенному выше условию разложения (2.5) имеют конечное число членов, и числа р и q вполне опреде­ ляются характером исследуемой колебательной системы, что и эквивалентно отличию от нуля указанных выше двой­ ных интегралов.