Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 235

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

§

2. Н Е Р Е З О П Л Н С Н Ы Й С Л УЧ А Й

173

где

 

 

 

 

 

U 2 ( l ,

\ р 2, а 2) —

2 J

і [ п + т а ( а г )]

+ “ 2 0 (^ 2 ).

 

 

п,т

 

 

 

 

 

пг-\-т*фО

 

 

 

V 2 (t,

l|jg, f l a) =

rc,m

i [ n + ш (аг)]

 

( 2. 11)

 

 

 

 

 

 

п*+т*^Ь0

 

 

 

 

a’aЫ Ro.n.m(«2)

+ « 2 0

( « 2 ) ,

 

 

[/г +

mco (a2)]2

после ряда преобразований получим следующие уравнения:

d a 2

: eQo ’ (а2) +

е2 Я„ (а2) +

e3#i (t,

^ 2,

а2,

е),

dt

 

 

 

 

 

 

=

© (а2)+ е

(а2)+

©в Ы «ю(«2)} +

( 2. 12)

+

е2 ( 5 ( а 2) +

© а ( « г ) « г о ( « 2 ) } +

 

 

 

 

 

+ е3 5г (t,

ijja,

а2,

е)-

Произведя, таким образом, в уравнениях (2.3) т последова­ тельных замен типа (2.7), (2.10) и т. д., приведем уравнения (2.3) к виду, когда в правых частях переменные t и -ф будут содержаться только в слагаемых, пропорциональных ет+х. Пренебрегая в правых частях уравнений (2.9) слагаемыми, пропорциональными е2, а в уравнениях (2 .1 2 ) — слагаемы­ ми, пропорциональными е3, получим уравнения, правые части которых не будут содержать t и "ф, а будут зависеть только от а. Такие уравнения проинтегрировать значитель­ но проще, чем непосредственно уравнения (2.3), которые в общем случае не интегрируются.

Заметим, что, отбрасывая в первом уравнении системы (2.9) члены, пропорциональные е2, и интегрируя получен­ ное приближенное уравнение на интервале (0 ,f)i где t£

£[0 , L/e], получим значение а с ошибкой уже не порядка

е2 (как в правой части уравнения, из которого мы его опре­

деляем), а порядка е. Подставляя найденное значение а во второе уравнение, определяющее і[з, в правой части этого уравнения совершим ошибку порядка е (так как со = со (а)) и, следовательно, при определении яр на интервале 1 0 , L/e] найдем его значение с конечной ошибкой. Для того чтобы

174 ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К И С С ЛЕ ДО ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Й

-ф имело ошибку порядка е, необходимо, чтобы а имело ошибку порядка е2, т. е. чтобы а определялось из урав­ нения

~= eQo’ (а) + e2R0 (а).

Итак, чтобы X — х° (ф, а) имело ошибку порядка в, необхо­ димо а и о]) определять из следующей системы уравнений:

~ — eQof) (а) + &2R0 (а),

 

\

а,

,

(2-13)

~ ~ j f = и (а) + е {Ро’ (й) +

©а (й) w10(а)}.

I

Уравнения (2.13) будем называть уравнениями первого приближения.

Таким образом, в первом приближении, т, е. с точ­ ностью до величин первого порядка малости относительно е, решение исходного уравнения на многообразии будет иметь вид

х = х°(ф, а),

где й и ф определяются из уравнений (2.13). Улучшенное первое приближение будет иметь вид

X = Х° (ф, а) + {Ѳ (ф, а) f (t, ф, а, 0) +

+ Ѳ(ф,

ф, а, 0 )). (2.14)

где а и ф также определяются из уравнений (2.13). Допустим, что уравнение

Qo) (а) + еR0 (а) = F (а, г) — 0

(2.15)

имеет простой (не равный нулю) корень а — а0, причем предположим, что выполняется условие

К (а 0, е ) < 0 .

_

(2.16)

Тогда уравнения (2.13) будут иметь устойчивое решение

а =

а0,

Ф =

Фо— ® (й0) t -Т ф0,

(2.17)

где

 

 

 

 

ш

(а0) =

с о

( а 0) + еР(0п (а0).

 

Соответствующее приближенное, с точностью до величин порядка е (улучшенное первое приближение), стационарное

 

 

 

§ 2. Н Е Р Е З О Н А Н С Н Ы Й С Л УЧ А Й

 

 

175

решение

исходного уравнения на многообразии будет иметь

вид

 

(® (а0) t

фр, O,Q) -f-

 

 

 

 

 

 

•^ст.пр== -х0

 

 

 

 

 

 

+

—

{Ѳ (© (a0) t -f- ф0,

a0) f (t, © (a0) t 4 - ф0,

a0,

0 ) +

+

Ѳ (© (a0) t +

фо, a0) J (t,

© (a0)t + Фо, a0,

0 )}.

(2.18)

Решение

(2.18),

очевидно,

можно

представить в виде

 

 

 

*ст.пр =

Ф (f,

© К )^ + Фо,

а0, е),

 

 

(2.19)

где Ф (t, ф,

а, е) — непрерывная

2я-периодическая

функ­

ция t,

ф.

 

 

приближенное

стационарное

решение

Следовательно,

(2.18)

будет квазипериодическим для всех иррациональных

значений © (а0). Первое приближение

 

 

 

 

 

 

 

X = Х 0 (© (а0) t +

ф0, fl0)

 

jt

(2.20)

будет периодическим по /

с периодом

 

2

 

Т (а0) == -=---- .

В случае, если © (а0) =

r/s,

 

 

 

со(а0)

где г и s — целые взаимно

простые числа, приближенное стационарное решение (2.18) будет периодическим по t с периодом 2 nq.

Согласно условию (2.16), любое решение уравнений (2.13), для которого начальное значение а близко к а0, стремится при t 0 0 к одному из решений (2.17). Отсюда следует, что любое решение вида (2.14), начальное значение которого достаточно близко к начальному значению при­ ближенного стационарного решения вида (2.18), стремится

при

t ->- 0 0 к одному из таких

приближенных стационар­

ных

решений.

при достаточно малом е

В дальнейшем покажем, что

свойствами квазипериодичности и устойчивости обладают также и точные стационарные решения исходного уравнения на многообразии, и, следовательно, рассмотрение улучшен­ ного первого приближения позволяет установить некоторые качественные свойства точных стационарных решений ис­ ходного уравнения на многообразии.

3. Равномерная ограниченность точных решений исход­ ного уравнения на многообразии. Установим теперь огра­ ниченность произвольных точных решений уравнения (2 . 1 )

на локальном интегральном многообразии St.,

176 ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К ИСС ЛЕ ДО ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Й

Преобразуем для этого уравнения (2.3) к новым перемен­ ным. Введем вместо а и ф новые переменные g и <р согласно формулам

а = А (g),

ф =

Ф

+

X Р<°П (а ) =

Ф

+

ф (g)> (2 -2 1 )

где А (Сеи) — общее

решение первого уравнения системы

(2.13), X — BF' (а0, е), А (0) =

а0 (здесь

g =

0

соответству­

ет а0).

 

 

 

 

 

 

 

В результате получим следующую систему уравнений:

-^j- = eXg + е*и (t,

ф,

g, е).

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

( 2. 22)

® И

(&)}

+ е Ф

(flo) + e*V У* Ф .

g .

е )- I

Применяя к уравнениям (2.22) рассуждения, аналогич­ ные изложенным в [78], устанавливаем для решений g (t) этой системы равномерную относительно t ;> 0 ограничен­ ность при достаточно малых g0. Это позволяет установить равномерную относительно t >■ 0 ограниченность точных решений исходного уравнения на многообразии (при со­ ответствующих начальных значениях). Действительно, точ­ ные решения исходного уравнения на многообразии имеют вид

* =

(Ф (0, а (0) +

-гг {ѳ (Ф (0, а (0) / (*.

Ф (0.

а (0.

8) +

 

+

Ѳ(ф(0, а (*))/(*, Ф(0,

a{t),

е)},

(2.23)

где if (/) и о (f) определяются из уравнений (2.3). Прибли­ женное (улучшенное первое приближение) стационарное решение уравнения (2 .1 ) на многообразии имеет вид (2.18). Принимая во внимание, что g0 == 0 соответствует а0, при­ ходим к выводу, что, когда g0 лежит вблизи 0 , начальное значение решения исходного уравнения на многообразии лежит вблизи соответствующего начального значения при­ ближенного стационарного решения (2.18). В результате условие ограниченности точных решений исходного урав­ нения на многообразии может быть сформулировано сле­ дующим образом.

Существует такое въ что для любых 0 <с £ -< щ все ре­ шения уравнения (2 .1 ) на многообразии, начальные зна­ чения которых лежат достаточно близко к начальным

 

 

 

 

§ 2. Н Е Р Е З О Н А Н С Н Ы Й С Л УЧ А Й

 

 

177

значениям приближенных стационарных решений (2.18),

будут равномерно ограничены для

любых t ;> 0 .

 

 

Заметим, что здесь речь идет об ограниченности произ­

вольных точных (не стационарных) решений уравнения

(2.1)

на

многообразии S(.

 

 

 

 

 

4.

 

Доказательство существования точных стационарных

решений.

Вводя

обозначение

со {А (g)} =

ш, (g),

запишем

уравнения

(2

.2 2

) в виде

 

 

 

 

 

 

J^- =

eXg -I e2P(t, cp,

g, е),

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

 

(2.24)

 

- а г =

 

(я) + еф (ао) + e2Q (А ф.

8 , е)- I

 

 

Исследование решений уравнений (2.24) сводится к

анализу следующей системы в конечных разностях:

 

gn+, =

( 1

+

2

яеЯ} gn + е2

Я 2 (ф„, gn,

г),

 

1

 

ф/И-і =

Фі. +

2я{©1(^л) +

еФ(а0)} +

еаЯ1 (фя>^я,в),

J

' '

где Нъ Н2 — 2я-периодические функции

ф *).

 

 

Система (2.25) представляет собой точечное преобразо­ вание, дающее возможность последовательно определять

значения ц>„ и gn. Согласно [78],

будем называть это пре­

образование характеристическим,

соответствующим

урав­

нениям (2.24). Система (2.25) сводится к системе

 

 

 

 

 

£» = Р(Фо).

 

 

(2-26),

 

фп+і =

Фл + 2 я [0 ) 1 (р (фя)) + еф (а0)] +

е2/ (фя),

(2.26),

если начальное значение g0 взято из соотношения

 

или

к системе

 

^ о = : Р(Фо).

 

(2-27)

 

gn =

Pn(q>n),

 

(2.28),

 

 

 

 

 

 

фл-н =

фл +

2 я [о, (ря (фя)) + еФ (а0)] +

e2f\n) (фя),

(2.28),

если

 

 

£о^Р(Фо)>

 

(2-29)

 

 

 

 

 

при

этом

Дп)(фл) =

Нк (фя,

р (фл), е).

 

 

Исследуем теперь такие решения уравнения (2.1) на

многообразии,

для

которых

начальные

значения

g и f

*) Приведение уравнений (2.24) к системе в конечных разностях (2.25) подробно изложено в [78].

Смотрите также файлы