Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 239

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

178 ГЛ. ІѴ. П Р И М Е Н Е Н И Е к И С С Л Е Д О ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Й

удовлетворяют соотношению (2.27). Согласно [78], такие решения уравнения (2 .1 ) на многообразии будем называть квазистационарными. В этом случае исследование характе­ ра решений сводится к решению итерационного уравнения

фп-ы = ф„ + 2л К (р (ф„)) + вФ (а0)} +

+ е2 Я і(Ф/г; р(фл), е)

(2.30)

или уравнения

 

Ф«+і = фя + Ф(ф/.) — ^(ф«)-

(2.31)

Итерационное уравнение типа (2.31) рассматривалось Пуан­ каре — Данжуа.

На основании их исследований для уравнения (2.31) справедлив следующий результат.

Существует предел

 

© (а0, е) = lim

,

 

не зависящий от ср0, при

(1 -юо

 

 

этом

© (а0, е) — непрерывная

функция, удовлетворяющая условию Липшица.

ите­

Если © (а0, е) иррационально,

то общее решение

рационного

уравнения

 

 

 

имеет вид

ф/г+І = F (ф«)

 

2я©(а0, в) п +

ф + Е (2я© (а0, е)я + ф),

 

Ф„ =

(2.32)

где ф — произвольная постоянная,

причем выражение ф +

+ Е (ф) является монотонно возрастающей функцией, не остающейся постоянной ни в каком, сколь угодно малом, интервале.

Пусть

© (а0, в) рационально:

© (а0,

в) = гIs,

где г и

s — целые

взаимно простые числа.

Тогда

рассматриваемое

итерационное уравнение

имеет

периодические

решения,

для которых

 

 

 

 

 

фл+ 1

— фл = 2л;г.

 

 

Любое решение ф„ при неограниченном возрастании п приближается к одному из таких периодических решений.

Из этого результата следует, что в случае иррациональ­ ного о) (а0, в) решения системы (2.25) могут быть представ­ лены в виде:

g { t)= Фі(*. ю(а0, е)/ + ф, в),

(2.33)

Ф (0 = « (flо, в) Н - Ф + Ф 2 (*, © (а0, в) t - f ф , в),

 

§ 2.

Н Е Р Е З О Н А Н С Н Ы Й . С Л УЧ А Й

179'

где Фх (t,

Ѳ), Ф2

(t,

Ѳ) — непрерывные 2я-периодические

функции

t.

 

в

(2.21) и полученные

выражения

Подставляя (2.33)

в (2.23), убеждаемся,

что

в рассматриваемом

случае ир­

рационального со (Ö0, г) на многообразии существуют ста­

ционарные решения

уравнения

(2 .1 ), и

притом — ква-

зипериодические с двумя основными частотами 1

и со (а0, г).

В случае

рационального со (а0,

е) функции g (() и <р (і) —

— со (а 0)

t — ф являются периодическими

относительно t

с периодом 2its, и, следовательно, согласно (2.33) и (2.21)

соответствующее стационарное

решение

уравнения (2 .1 )

на многообразии будет периодическим по t с периодом 2 its.

5.

Свойство устойчивости точных стационарных реше­

ний на многообразии. Согласно изложенному выше, любое

решение

уравнения

(2.31)

при рациональном

со (а0, е)

с течением времени приближается к одному из

периодиче­

ских решений этого уравнения

(речь идет о таком

любом

решении,

для которого g0 =

Р (ф)). Следовательно,

любое

квазистационарное решение исходного уравнения на мно­

гообразии с течением времени приближается к одному из

указанных стационарных периодических

решений.

 

Покажем теперь, что любые решения уравнения (2.1), лежащие на многообразии, для которых начальные значе­ ния могут не удовлетворять условию

So = Р (Фо).

но лежат достаточно близко к начальным значениям при­ ближенного стационарного решения (2.18), приближаются при <->оо к точным стационарным решениям уравнения (2 .1 ) на многообразии: к квазипериодическому — в случае иррационального со («0, е) и к периодическому — в случае рационального со (а0, е).

Для этого, очевидно, нужно показать, что, когда | g01<;

<0 О(т. е. начальное значение g находится в 0 о-окрестнос-

ти приближенного стационарного решения), любое решение уравнения (2.28)3 при п -> со приближается к решению предельного уравнения (2.26)3 в случае иррационального со (а0, е) и к периодическому решению этого уравнения — в случае рационального со (а0, е).

Если правая часть уравнения (2.28)а является монотон­ но возрастающей, этот результат непосредственно следует из лемм, доказанных в [78].

180 ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К И С С Л Е Д О ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Я

В рассматриваемом нами случае нетрудно установить, что правая часть уравнения (2.28)а действительно является монотонно возрастающей функцией. Введем для этого обо­ значение

2 я 1«! (р„ (ф „)) + еФ (а 0)] -ф е2Я х (ф„, p„(<p„), e) = F ( <ря).

Имеем

F <’ pn (ф„) =

2.Т0), [рп

(ф„)]

 

 

dH,

,

dH,

dpn

(2.34)

 

 

 

d<fn

 

др„

d(fn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мажорируя правую часть (2.34) и принимая во внимание,

что *)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дН1

< G,

дН1

< G ,

дрп

<е0,

I(öl(р(ф))I<

М,

дРп

 

 

дфп

 

 

д(рп

 

 

 

 

 

 

 

 

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.35)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

(фп)I< 2neMG -f е2{G +

eG2}

 

(G,

М =

const).

Поэтому для

достаточно

малых

значений е,

для

которых

имеем

 

 

 

2neMG +

е2

{G +

eG2}<с 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

F<Pn(фп) >

0 ,

 

 

 

 

 

 

откуда

следует, что

функция

 

 

 

 

 

 

 

 

фп Н- Р (фп) =

Ф« +

2 я {©! (р„ (ф „)) +

еФ (а0)) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

е2 ^і(ф ». Ря(Фп), е)

является

монотонно

возрастающей.

и

свойствах

семейства

6.

 

 

Теорема

о

существовании

точных стационарных решений на многообразии. Итак,

установлено, что при выполнении соотношения h 0 =

р (ср0)

рассмотрение уравнения (2 .1 ) на многообразии сводится к

рассмотрению итерационных уравнений (2.26)ь (2.26)2, для

которых установлено существование стационарных реше­

ний:

квазипериодических — в

случае

иррационального

to (а0,

е),

и

периодических — в

случае

рационального

to (а0, е); при этом к указанным периодическим решениям

стремятся любые решения уравнений (2.26)!, (2.26)а. Отсюда

*) Неравенства (2.35) устанавливаются исходя из свойств функций

P { t , Ф,

g ,

е), Q( t ,

ф, g ,

е).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 2. Н Е Р Е З О Н А Н С Н Ы Й С ЛУЧ АЙ

181

следует, что любые квазистационарные решения исход­ ного уравнения на многообразии с течением времени при­ ближаются к одному из стационарных периодических ре­ шений.

Любое решение уравнения (2.1) на многообразии, для которого £„=#= р (фо), но которое лежит в достаточной бли­ зости к начальному значению приближенного стационарно­ го решения (2.18), при t -> оо приближается к одному из точных стационарных решений: к квазипериодическому —

вслучае иррационального со (а0, е), и к периодическому —

вслучае рационального со (а0, е). Для этого, как указыва­

лось, необходимо было показать, что, когда |g o i< c r0, любое решение уравнения (2.28)3 при п -> оо стремится к решению предельного для него уравнения (2.26)а в случае иррационального со (а0, е) и к периодическому решению

этого

уравнения — в случае рационального со (а0, г).

С

другой стороны, любые решения уравнения (2.1)

(не лежащие на многообразии), начальные значения кото­ рых принадлежат области определения многообразия, с течением времени стремятся к многообразию по экспо­ ненциальному закону.

Справедлива следующая теорема [99]. Т е о р е м а 2.1. Пусть для уравнения

-%T = X(x) + eX*(t, X, е),

кроме условий теоремы 2.1 гл. Ill о существовании и свой­ ствах двупараметрического локального интегрального мно­ гообразия, выполняются следующие условия.

1°. Правые части уравнений

=

eQ(f) (t,

if, а,

е),

 

!

=

«о (а) +

ePif) (t,

if, а,

е)

j

являются аналитическими

функциями

а,

г.

2°. Ни при каких значениях

а £ Sif

не выполняется

соотношение

 

 

 

 

 

<o(a)atp/q,

где р и q — целые взаимно простые числа, определенные в

( 2. 6).

Смотрите также файлы