Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 240
Скачиваний: 1
182 |
ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е |
К |
И С С Л Е Д О В А Н И Ю Р Е Ш Е Н И И |
||||
3°. |
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
имеет изолированное апатическое решение а = |
п0, |
для ко |
|||||
торого F (а0, е) < |
0 . |
|
|
|
|
|
|
Тогда можно указать такие положительные постоян |
|||||||
ные Sj, р2, где р2 < |
p' (p' |
определено в § 2 гл. Ill), |
что для |
||||
любых |
положительных |
е •< ех |
справедливы |
следующие |
|||
утверждения. |
. 1 имеет) |
семейство точных стационар |
|||||
1 . |
Уравнение ( 2 |
||||||
ных решений, лежащих на многообразии |
|
|
|||||
x(t) = |
x°(ty(t), a(t)) |
+ -L ІѲ(г|;(/), a{t))f{t, гр(1), a(f),e)-{- |
|||||
|
+ |
Ѳ(г[) (t), |
a{t))](t, я|і (0) a (f), |
e)}, |
(2.37) |
||
где г|i (t) и a (t) определяются из |
уравнений (2.36). |
||||||
2. |
Поведение этих решений характеризуется величиной |
||||||
со (а0, г).
При иррациональных значениях со (а0, е) точные стацио нарные решения являются квазипериодическими функциями с двумя основными частотами 1 и со (а0, е).
При рациональных со (а0, е) рассматриваемые стацио нарные решения являются периодическими функциями. В этом случае любые квазистационарные решения уравнения (2 .1 ), лежащие на многообразии, с течением времени при ближаются к одному из этих стационарных периодических решений.
Любые решения уравнения ( 2 . 1 )не, лежащие на много образии, начальные значения которых лежат в р2 -окрестнос ти начальных значений приближенных стационарных ре шений ( 2 . 1 8 стремятся) , при t - о - око одному из точных стационарных решений вида ( 2 . 3 7 к) :квазипериодическому или периодическому — в зависимости от иррационального или рационального значения со (а0, s).
§ 3. Резонансный случай
1.Приближенное представление решений на многооб
разии. Улучшенное первое приближение. Перейдем теперь
к рассмотрению |
«резонансного» случая, когда при некото |
|
рых значениях |
а £ % может выполняться |
соотношение |
|
сo (a )^p /q , |
(3.1) |
|
|
§ 3. |
Р Е З О Н А Н С Н Ы Й С Л У Ч А Й |
183 |
где р |
и |
q — целые взаимно простые числа, |
определенные |
|
в (2 .6 |
). |
|
|
|
При исследовании резонансного случая уравнение (2.1) |
||||
удобно |
записать |
в виде |
|
|
|
|
|
= X (х) + гХ* (vt, X, е), |
(3.2) |
где X * (vt, X, е) является периодической функцией t с
периодом 2я/ѵ. Тогда условие резонанса |
примет |
вид |
|||
|
а (а )^р ѵ /д , |
|
(3 .3 ) |
||
а система уравнений (2.3) запишется в виде |
|
||||
— —■eQ(f)(vt, |
ф, а, е), |
j |
|
||
dt |
|
|
! |
(3.4) |
|
di p |
: (о (а) + |
еР( ) (vt, ф, а, е). |
|||
j |
|
||||
|
|
||||
dt
Ради упрощения выкладок остановимся на рассмотрении
основного |
резонанса, т. е. случая, когда р = q = |
1 (см. |
|||
[1 0 0 ]). |
|
|
|
|
|
Вводя в рассмотрение фазовую расстройку |
|
||||
|
|
|
Ѳ= ф — vt, |
(3.5) |
|
перепишем |
|
уравнения |
(3.4) в |
виде |
|
da |
|
= eQm (vt, |
vt + Ѳ, |
а, е), |
|
Ч Г |
|
|
|
(3.6) |
|
|
|
|
|
|
|
= со (а) — V + eP^ (vt, vt + Ѳ, а, е).
Как и в нерезонансном случае, полагаем, что имеют место разложения
Q{f)(vt, |
vt + |
Ѳ, |
а, |
s) ^ |
^ |
enQ(nf) (vt, |
v t+Ѳ, а), |
|||
|
|
|
|
|
|
|
п=0 |
|
(3.7) |
|
Р<п (vt, |
vt + |
Ѳ, |
а, |
е) = |
2 |
&npi^ |
« |
vt + Ѳ> °). |
||
причем |
|
|
|
|
|
|
п=О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qo) (vt, |
vt 4 - Ѳ, |
а) = |
Qof>(а) |
+ |
2 |
e |
m(«)^[m'+ffllV(+e)]. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n,m |
|
|
Po' (vt, |
vt + |
0 , |
fl) = |
|
(fl) + |
2 |
P t , m (fl)ei[nV<-|-m(vH-0)] |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пг-{-тгф0 |
|
|
184 г л . IV. П Р И М Е Н Е Н И Е к И СС Л Е Д О В А Н И Ю Р Е Ш Е Н И Й
где |
|
|
|
|
|
|
|
QoXm (а) 2=л |
2 л |
|
|
|
|
||
= |
|
\ |
Qof ) ( < |
V / + 0 , |
a)e-'[»v/+mv/+e)]Éfv/ flf(v/ |
_(_ Ѳ), |
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
Ро .п .т ( а ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2я 2я |
|
iu ®> |
а) e-'C'ivz+nuvi+e)] * * d (xt -f Ѳ). |
|||
|
|
|
|
||||
|
о |
0 |
|
|
|
|
|
Вводя |
функции |
|
|
|
|
||
ui « |
xt + |
n |
, |
V |
< . * ( ‘Ч)‘г[пѵ,+т<ѵ‘+Ѳ,,] |
> |
|
Üx, ax) = |
2 J |
------------ |
ШСО(öj)J |
|
|||
|
|
|
|
n,m |
І [лѵ + |
|
|
|
|
|
|
п2-\-т*ф0 |
|
|
|
|
|
|
|
п+тфО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ uio(ai> ®l)> |
|
» 1 (xt, |
xt + |
Ѳх, ax) = |
V] |
Р о! л . т (fll) еІ'С"Ѵ Н ‘"і(ѴІ+Ѳ,)] |
} i3 '8) |
||
i [лѵ + |
ЛКО (o1)] |
|
|||||
|
|
|
|
ntm |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«a(a1 ) < U |
( a1)el'['1V<+m<V'+e‘,] |
ѳі). |
|
|||
|
|
|
[лѵ + 171(0 (üj)]2 |
|
|||
где u10 (öj, Ѳх), v10 (alt Ѳх) — произвольные функции аъ Ѳх, периодические по Ѳх с периодом 2л, и совершая в системе
уравнений |
(3.6) замену переменных согласно формулам |
а = ах4- |
(xt, xt + Ѳ1( ax), Ѳ= Ѳх + et't (xt, xt -f Ѳх, ax), |
|
(3.9) |
после ряда преобразований получим следующую систему уравнений:
- ь - - » [ * > , ) |
+ |
s |
<& „ «■,>««■] + |
|
|
|
dt |
|
п,т |
|
|
|
|
|
|
п*-\-т*ф О |
|
|
|
|
|
|
n-|-m= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
e2RU) (xt, |
xt -f Ѳъ |
аІУ е), |
|
■Щг-= с о ( a x) — |
V + |
е {P T ( о х ) + Е |
Рокт ( й і ) |
еітѲ і - f |
||
|
|
|
п,т |
|
|
|
|
|
|
n*+m*=5t0 |
|
|
|
|
|
|
n-j-m= 0 |
|
|
|
4- Юа (ях) и1(,{о1( |
Ѳх)| -f e25<f) (ѵ/, ѵ/+ |
Ѳх, |
ax> е). |
|||
(ЗЛО)
§ 3. Р Е З О Н А Н С Н Ы Й С Л УЧ А Й |
185 |
При этом функции /?(0, S(f) обладают такими же свойствами,
как и |
функции Q(f\ |
Р^}. |
случаем функции |
||
Вводя |
по аналогии |
с |
предыдущим |
||
и2 (vt, |
vt |
+ Ѳ2, й2), ѵ2 (vt, |
vt + Ѳ2, а2) и |
совершая в систе |
|
ме уравнений (3.4) замену переменных согласно формулам
|
|
а1= а 2 + еан2 |
(vt, |
vt + |
Ѳ2, |
а2), |
|
|
|
|||
|
|
Ѳ, = |
02 |
-f е2 У2 |
(vt, vt -ф Ѳ2, |
а,), |
|
|
(3.11) |
|||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
8 IQof>(a2) + |
2 |
|
QÖ!U (a2) |
|
+ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
n-fm=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ e2 |
f ^ n (a2) + |
2 |
|
|
|
|
) |
+ |
|
||
|
|
I |
|
|
n.m |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
п‘+тгф0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-P e3R{3h (vt, |
vt -f- Ѳ2, |
ß2, e), |
||||
-^rr- = |
w (a2) — V -f- e fp (oh (a2) + |
2 |
^cu.« (a2) eimd*+ |
|||||||||
u |
|
|
|
1 |
|
|
«,/n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п*-\-тгфО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rc-j-m= 0 |
|
|
|
|
|
-b Од (a2) w1 0 (Ѳ2, й2)| -f- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 -e2 |S (0f) (a2) + |
2 |
Scu,™ (a2) ешѳ*+ ®â (a2) «2 |
о(Ѳ2, |
a 2)]+ |
||||||||
1 |
|
n,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
п‘~І-тгфО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п+т—О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ es5j (vt, |
vt + 0 |
2, o2, e). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.12) |
Произведя, таким образом, в уравнениях (3.6) т после довательных замен вида (3.9), (3.11) и т. д., получим урав нения, в правые части которых t входит только в слагаемые, пропорциональные ет+1.
Учитывая соображения, высказанные выше для не
резонансного случая |
по поводу |
точности, получаемой |
||
при |
интегрировании |
приближенных уравнений, |
очевид |
|
но, |
что в первом (улучшенном) |
приближении |
решение |
|
186 |
гл. |
IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К |
И С С Л Е Д О В А Н И Ю |
Р Е Ш Е Н И Й |
|||||
уравнения (3.2) |
на многообразии будет иметь вид |
||||||||
X — х°(ѵ/ + Ѳ, |
а) + |
(Ѳ (vH- Ѳ, ä)f(vt, |
vt -(- Ѳ, а, 0) -f- |
||||||
|
|
|
+ |
Ѳ(ѵ* + |
Ѳ, а) 1 (vt, vt + Q, |
а, |
0)}, (3.13) |
||
где а и 0 |
определяются из системы уравнений |
|
|
||||||
~ |
= е |Qof) (а) + |
2 |
Qokm (а) е/тѲ| + |
|
|
|
|||
|
|
|
|
п2- -т2фЪ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п- -т—0 |
|
|
|
|
|
+ е2 |
№ |
(а) + |
У, |
Rokm (а) еітЬ\ = гР (а, |
Ѳ, |
е), |
|||
|
I |
|
п,т |
|
) |
|
|
|
|
|
|
п2-{-т2ф0 |
|
|
|
|
|||
dQ |
|
|
п- -т=д |
|
|
|
|
||
|
- s |
. |
|
|
|
|
|
|
|
_ |
= С 0 ( а ) - Ѵ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ 8 |
( |
(а) + |
п,т |
P{J k m (а) еітѲ+ (о'а (а) и10(Ѳ, а)\)= |
|||||
|
|
п2- -т2ф0 |
|
|
|
|
|||
|
|
п- -т=0 |
= оз (ах) — V+ |
еФ (а, Ѳ). |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.14) |
Допустим, что уравнения (3.14) имеют статическое решение
а — а0, Ѳ = |
Ѳ0) соответствующее |
|
положению равновесия, |
|||||
F(a0, |
Ѳ0, e )= 0 , |
со (aQ) — v -f еФ (a0, |
Ѳ0) = 0, (3.15) |
|||||
причем корни уравнения |
|
|
|
|
|
|
||
X2— е [Fa (а0, 00, е) — Фѳ(а0, Ѳ0)] X + |
eFѳ (а0, |
Ѳо- |
е) М а 0)+ |
|||||
+ е2 [Ф0 (а0, |
0О) FQ(а0, |
Ѳ0, е ) — Fa (а0, |
Ѳ0, е) Фѳ (а0, Ѳ0, е ) ] = О |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.16) |
имеют отрицательные |
действительные части. |
|
||||||
Тогда приближенное (улучшенное первое приближение) |
||||||||
стационарное решение |
уравнения |
(3.2) |
на |
многообразии, |
||||
соответствующее решению а0, Ѳ0, |
будет |
иметь |
вид |
|||||
X= *° (vt + |
Ѳ0, а0) Н— |
{в (vt + |
Ѳ0, а0) f (vt, vt + |
Ѳ0, a0, 0) ф |
||||
+ Ѳ(ѵ/ + Ѳ0, a0)f(vt, |
vt + |
Ѳ0, |
a0, |
0)}. |
(3.17) |
|||
Это решение является периодическим по t с периодом 2л/ѵ
