Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 243
Скачиваний: 1
§ 3. Р Е З О Н А Н С Н Ы Й С Л У Ч А Й |
187 |
и обладает свойством устойчивости, заключающимся в том, что любые приближенные решения уравнения (3.2), началь ные значения которых лежат в достаточной близости к на чальным значениям приближенного стационарного реше ния (3.17), с течением времени стремятся к этому решению.
Рассматривая точные уравнения (3.6) и замечая, что отброшенные нами слагаемые при переходе к приближен
ным уравнениям |
(3.14) |
являются |
периодическими |
по / |
с периодом 2 я/ѵ, |
можем, |
применяя |
непосредственно |
метод |
Ляпунова — Пуанкаре, утверждать, что если система урав нений первого приближения (3.14) имеет устойчивое ста
тическое решение а = а„, Ѳ = Ѳ0, |
то всегда найдется такое |
положительное е0, что при любых |
положительных е < е0 |
на многообразии St существует периодическое стационар |
|
ное решение дифференциальных уравнений (3.2) с перио |
|
дом 2 я/ѵ по /, аналитически зависящее от е, причем любые решения уравнения (3.2), начальные значения которых лежат вблизи начальных значений периодического решения, с течением времени приближаются к этому стационарному
периодическому решению. Таким образом, в данном |
случае |
|||
точные решения обладают свойством первых |
приближений. |
|||
2 . |
Исследование |
общего случая. Уравнения (3.14), в |
||
которых F (а, Ѳ,е),Ф (а, Ѳ) — 2я-периодические функции Ѳ, |
||||
могут |
иметь решения |
следующих двух типов: |
|
|
а) с |
колеблющейся |
фазой, |
|
|
|
а = L (ей/ + |
ф), Ѳ= A4 (ей/+ |
ф), |
(3.18) |
где ф — постоянная интеграции, L (ср), М (ф) — 2я-перио- дические функции ср, ей — частота этого периодического решения;
б) с вращающейся фазой,
а = L (ей/ -ф- ф), |
Ѳ= М (ей/ + |
ф) + ей/. |
(3.19) |
|
Введем следующие обозначения: |
|
|
||
ѵ = |
ѵ + ей, |
v/ = ß, vt = |
a. |
(3.20) |
Тогда, очевидно, |
имеем |
|
|
|
L (ей/ -J- ф) == L (а —ß -J- ф); |
М (ей/ + ф) = М (а — ß + ф); |
|||
|
|
|
|
(3.21) |
следовательно, L и A4 — периодические по а и ß с перио дом 2 я.
188 ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К И С С Л Е Д О ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Й
Подставляя значения а и Ѳ ((3.18) и (3.19)) в правую часть выражения (3.13), учитывая при этом соотношения (3.20) и (3.21), видим, что приближенное (первое приближе ние) стационарное решение уравнения (3.11) на многооб разии может быть представлено для случая а) в виде
X |
= |
х ° (ß -f- М (ос. — ß "Ь "Ф)> |
— ß -j- ф)) -p |
|
|
|
|||||
|
+ ~ {Ѳф + М (а — ß + ф), |
L (а — ß + |
ф)) / (ß. ß + |
||||||||
|
+ |
M (а — ß + ф), L (a — ß + Ф), |
0) + |
Ѳ (ß + A4 (а — ß + |
|||||||
+ |
^ ),Ь (а —ß + Ф))/ (ß, ß + |
M(a — ß + |
ф), L (a—ß+^),0)}=i |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
^ Z . i a , |
ß), |
(3.22) |
|
где Zi (а, |
ß) — периодическая функция а |
и ß с периодом |
|||||||||
2 я, |
и для случая б) — в виде |
|
|
|
|
|
|||||
X = |
х° (а + М (а — ß + ф), |
L (а — ß + ф)) + |
|
|
|
||||||
+ ~2 |
~ 1 |
© (а + М (а — ß + ф), L (а — ß + ф)) / (ß, |
а -f* |
|
|||||||
|
|
|
|
-j-M (а —ß + |
ф), |
L (а — ß + |
Ф), |
0) -j- |
|
|
|
|
|
-ь Ѳ (а -f Af (а — ß + ф), L (a — ß -f- ф)) / (ß, |
а + |
|
|||||||
|
|
+ |
M (a — ß -f ф), |
L (a — ß + ф), |
0)} = |
Z2 (a, ß), (3.23) |
|||||
где |
Z2 |
(а, |
ß) — также |
2 я-периодическая |
функция |
а, ß. |
|||||
Допустим теперь, что один характеристический показа тель уравнений в вариациях, составленных для решений (3.18) и (3.19),— отрицательный (второй равен нулю в силу того, что решения (3.18) и (3.19) являются периодическими решениями системы (3.14), зависящими от одной произволь ной постоянной).
Тогда, как известно, система уравнений (3.14) будет иметь
общее решение |
вида |
|
|
|
а == L (eüt -f- ф, Сег}л), |
Ѳ= М (sQt |
ф, Сет ) |
(3.24) |
|
в случае а) и |
вида |
|
|
|
а — L (еШ -f- ф, |
CeeW), |
Ѳ= М (гШ + ф, |
Сеш ) + |
eQt (3.25) |
в случае б), причем здесь ф и С — произвольные постоянные, L (ф, g), М (ф, g) — аналитические функции, регулярные при малых g, периодические по ф с периодом 2 я.
§ 3. Р Е З О Н А Н С Н Ы Й С Л У Ч А Й |
189 |
ІПодставляя значения а и Ѳ из (3.24) и (3.25) в правые части выражений (3.22), (3.23) и учитывая обозначения (3.20), видим, что общее приближенное решение уравнения (3.2) на многообразии S может быть представлено в случае
а) |
в виде |
|
|
|
|
|
.. |
.. |
|
|
, |
|
X = х° (ß -f- М (а — ß -f- |
СегХІ), |
L (а — ß -j- ф, |
CeeXt)) |
\- |
||||||||
+ |
(Ѳ (ß 4 |
- M (a — ß + ф, |
СегХІ), |
L (а — ß + |
ф, |
Сеш )) >4 |
||||||
|
X /(ß, |
ß + |
M (a — ß + ф), |
L(a — ß + ф), |
0) + |
|
||||||
|
+ 0(ß + |
M (a — ß -f-ф, СегКІ), |
L(<x— ß -f ф, |
CeeXt)) X |
||||||||
|
^/(ß> |
ß + |
M (a — ß + ф), |
L{a — ß +ф), |
|
0 )) = |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= Y x(a, |
ß, |
g ) , |
(3.26) |
||
где Y x (a, ß, g) — периодическая функция а, |
ß с периодом |
|||||||||||
2 л, и в случае б) — в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X = х° (а -f- М (а — ß + |
ф, |
Сеш), |
L (а — ß + ф, |
СеЕМ)) + |
||||||||
+ |
-у- {Ѳ (а + М (а — ß -j- ф, |
СегХІ), |
L{а — ß + ф, |
Сеш )) х |
||||||||
|
X /(ß, |
а + |
/И(а — ß + |
ф), |
L(a —ß + ф), |
0) + |
|
|||||
|
+ Ѳ ( а + Д 4 ( а — ß +ф, CeeXt), |
L(а —ß + ф, Сеш )) |
X |
|||||||||
|
X 7 (ß. а + |
M (а — P. -L , x |
L (а — ß + ф), |
0)) = |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
>%(«, |
ß. g), (3.27> |
|||
где Y2 (а, ß, g) |
также |
является периодической |
функцией |
|||||||||
а, |
ß с периодом 2 л. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
На основании того, что один характеристический пока |
|||||||||||
затель уравнений в вариациях, составленных для решений (3.18) и (3.19), отрицателен, любое приближенное решение (3.26) или (3.27), начальное значение которого лежит в некоторой окрестности начального значения приближенного стационарного решения (3.22) или, соответственно, (3.23), с течением времени стремится к одному из этих приближен ных стационарных решений.
Рассмотрим теперь точные решения уравнений (3.6),
190 |
ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К И С С ЛЕ ДО ВА Н ИЮ |
Р Е Ш Е Н И Й |
|
||
Представим уравнения (3.6) в виде |
|
|
|||
~ |
= |
гР(а, Ѳ, е) + е2 Я(П (vt, |
vt + Ѳ, а, |
е), |
j |
~ - |
= |
о)(а) — ѵ + еФ(а, Ѳ) + |
e2 S (f) (W, vt -f- Ѳ, а, е) |
| |
|
at |
|
|
|
|
j |
(3.28)
и введем вместо а и Ѳ новые переменные & и g с помощью формул
a = L(ft, g), |
Ѳ~ М (ft, g) |
(3.29) |
в случае а), или с помощью формул |
|
|
a = L(ft, g), |
9 = M(f t , g) + ft |
(3.30) |
в случае б). Подставляя выражения (3.29) в уравнения
(3.28), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
= |
|
{Mg[&F(M, |
L, е) + е*/?шК |
vt + М, |
L, e ) J - |
||
|
|
— LR [со(L) —• V+ еФ (М, |
L) -f- |
|
|||
|
|
|
|
H-e2 S,n« |
vt + M, L, |
е)]}, |
|
JjL = |
±[M bleF(M, |
L, г) + e*R{i)(vt, |
v t + M, |
L, e)j - |
|||
— L $ [со (L) — V -[- еФ (/Vf, L) + e2 |
S(f) (vt, vt -f- M,L, e)]} |
||||||
(Д = |
— Mi)Lè). |
|
|
) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(3.31) |
С другой стороны, принимая во внимание, что любое |
|||||||
решение приближенной системы |
|
|
|
||||
|
|
da |
= |
e.F(a, 0 , e), |
|
1 |
|
|
|
dt |
|
|
(3.32) |
||
|
|
d0 |
= |
со (а) — V-f- еФ (а, |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
в случае |
а) имеет вид (3.24), имеем тождественно |
||||||
|
|
L{,eQ -f- Ьяг\Сеш — EF(M, |
L, |
е), |
|
||
|
|
А40еЙ |
A'lgElCe*1' — еФ (М, |
L) ф- со (L) — ѵ, |
|||
