Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 244
Скачиваний: 1
§ 3. Р Е З О Н А Н С Н Ы Й С Л УЧ А Й |
191 |
откуда находим |
|
ей = ~ - {MHEF(M, L, е) — Lg [еФ(М, |
L) + ® (L) — ѵ]}, |
еІСеш = -^-{M$eF(M, L, e) — £*[еФ (M, |
L) + со (L) —v]}. |
|
(3.33) |
Принимая во внимание выражения (3.33), из уравнений
(3.31) |
получаем |
|
|
|
|
|
~ = |
eQ + |
- ^ { M Äe2£ (n ( < |
v^ + |
M ( # , g), |
L(f*,g),B)-~ |
|
|
|
— Lg£?S{i)(vt, |
vt + |
M(&, |
g), |
L(0 , g), e)}, |
= ebg + |
~ {M’^ R U) (vt, |
vt + M (&, |
g), |
L (d, g), e) - |
||
|
|
— L'üS,2SU)(vt, |
vt |
M (ft, |
g), |
L (й, g), s)) I |
или, вводя соответствующие обозначения, имеем следую щую систему уравнений:
= |
ей + |
е2/?і (vt, |
vt + |
О, g, |
г), |
j |
|
|||
J[L = |
eXg + e2S1(vt, |
vt + |
|
g, |
|
!, |
(3 .34) |
|||
Ф, |
e). |
j |
|
|||||||
Аналогично в случае б) найдем |
|
|
|
|
|
|||||
= |
eQ + |
e2R2 (vt, |
vt + |
G, |
g, |
8 ), |
I |
|
||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
(3.35> |
-£ - = e^S + |
e2 |
S2 |
(v/, |
+ |
|
g, |
e). |
j |
|
|
Введем обозначение vt |
+ |
Ф = cp. Тогда системы уравне |
||||||||
ний (3.34) и (3.35) примут |
вид |
|
|
|
|
|
|
|||
= V+ |
eQ + |
e2R (vt, |
cp, g, |
г), |
j |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.36) |
^ - = e \g + e2S ( v t , cp, g , e).
192 |
г л . IV. П Р И М Е Н Е Н И Е к И С С Л Е Д О ВА Н ИЮ |
Р Е Ш Е Н И Й |
||
|
Таким образом, видим, что, как в случае а), |
так и в |
||
случае |
б) система уравнений (3.28) может |
быть |
записана |
|
в виде |
(3.36). |
|
|
|
|
Система уравнений (3.36) аналогична системе уравнений |
|||
(2.24). Следовательно, произведя рассуждения, аналогич ные тем, которые мы проводили при рассмотрении уравне ний (2.24), приходим к выводу, что стационарные решения системы уравнений (3.36) могут быть представлены в виде
<Р(0 = V (е) t + |
Ф + |
Fx (vt, |
v(e)Z + ф, |
e), |
g(0 = |
^ 2 « |
v(e)Z |
ф, e), |
(3.37) |
где Z7! (p, Ѳ) и F2 (p, Ѳ) — непрерывные периодические функ
ции p, Ѳ с периодом 2я, при этом Ѳ = ѵ (e)t + ф, v (е) — непрерывная функция е.
При иррациональных значениях v (е) F±и F2непрерывно зависят от постоянной ф; в случае рационального ѵ (е)
эти функции образуют относительно ф дискретное множе ство.
Так как один характеристический показатель уравнений в вариациях, соответствующих системе (3.14), является отрицательным (другой равен нулю), то, следовательно, всегда найдется такое положительное е0, что для любых положительных е < е0 любое решение системы уравнений (3.36), начальное значение которого достаточно мало, с течением времени будет приближаться к решению (3.37).
Принимая во внимание выражение для точного решения исходного уравнения на многообразии
л = х°(ф, а) Н— (Ѳ(ф, a)f{t, ф, о, е) + Ѳ(ф, а) X
К f(t, Ф, а, е)},
учитывая при этом формулы перехода от а, ф к g, tp — (3.29) в случае а) или (3.30) в случае б), а также выражения (3.5), (3.37), видим, что точное стационарное решение урав нения (3.2) на многообразии S может быть представлено в случае а) в виде
x = Z1(vt, |
v(e)t, |
е) |
(3.38) |
и в случае б) в виде |
|
|
|
X — Z2(vZ, |
V(е) t, |
е), |
(3.39) |
§ 3. Р Е З О Н А Н С Н Ы Й С ЛУЧ АЙ |
193 |
где Zx (а, ß, е), Z2 (а, ß, е) — непрерывные периодические функции а, ß с периодом 2л,, структура которых, так же, как и структура приближенных решений (3.22) и (3.23), зависит от того, какой из случаев а), б) мы рассматриваем.
Резюмируя изложенное, можем сформулировать теоре му, обобщающую соответствующую теорему Крылова — Боголюбова [78] на дифференциальные уравнения вида (3.2).
Т е о р е м а 3.1. Пусть для уравнения
- ^ - = X(x) + sX*(vt, |
X, |
г), |
|
|
кроме условий |
теоремы 2.1 гл. |
Ill |
(в |
данном случае |
X* (ѵ/, X, е) есть |
2л/ѵ-периодическая функция |
t), выполняют |
||
ся условия:
а) правые части уравнений (3.4) являются аналитическими функциями е;
б) при некоторых значениях а £ Ш выполняется соот ношение
Тогда справедливы следующие утверждения.
1.Если уравнения (3.14) имеют устойчивое статиче ское решение а — а0, Ѳ = Ѳ0, то всегда можно найти такие положительные постоянные е0, Oj (ох ■< р '), что при любом положительном е < е0 на многообразии St существует стационарное периодическое решение уравнения (3.2) с периодом 2я/ѵ относительно t, аналитически зависящее от г. Любые решения уравнения (3.2), начальные значения кото рых лежат в а^окрестности начальных значений этого стационарного решения, приближаются к нему при t ->■ со.
2.Если уравнения (3.14) имеют периодическое решение
сколеблющейся фазой (3.18), причем характеристический показатель уравнений в вариациях, составленных для этого решения,— отрицательный (один равен нулю), то
всегда |
найдутся такие |
положительные |
постоянные е0, |
|||||
о3 (а2 <1 р'), |
что для |
любого положительного е < |
е0 урав |
|||||
нение |
(3.2) |
имеет |
на |
многообразии |
семейство |
точных |
||
стационарных решений |
вида |
(3.38); |
начальные |
значения |
||||
этих |
стационарных |
решений |
лежат |
в |
а^-окрестности |
|||
начальных значений приближенных стационарных реше ний (3.22).
7 Ю А. Митропольский, О. Б. Лыкопа
194 |
г л . IV. П Р И М Е Н Е Н И Е к И С 6 Л Е Д О В А Н И Ю Р Е Ш Е Н И Й |
Любое решение уравнения (3.2), начальное значение ко торого лежит в указанной о%-окрестности, при t — оо стре мится к одному из точных стационарных решений вида
(3.38).
3. Если уравнения (3.14) имеют периодическое решение в вращающейся фазой вида (3.19) и соответствующий харак теристический показатель — отрицательный, то верно утверждение предыдущего пункта, причем соответствующее стационарное решение будет иметь вид (3.39).
§ 4. Влияние малого возмущения на релаксационную систему [129]
1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение
-2Г = *<*>. « •»
где X, X — «-векторы.
Пусть для уравнения (4.1) известно устойчивое перио
дическое решение |
(4.2) |
X -= х° (at + ф) |
|
с периодом 2я относительно ф = a t + |
ср, зависящее от |
одной произвольной постоянной ф. Пусть это периодиче ское решение соответствует релаксационному колебанию системы в невозмущенном состоянии.
Под релаксационными колебаниями мы здесь подразу меваем колебания, сильно отличающиеся от синусоидаль ных, в которых скорость в моменты достижения величи ной X максимального и минимального значения меняет свой знак почти мгновенно. Если в системе (4.1) существу ет устойчивый релаксационный режим (4.2), то п — 1 со ответствующих характеристических показателей а 1( а 2 , . . .
..., а„_і имеют отрицательные действительные части. Если эти отрицательные действительные части достаточно боль шие по абсолютной величине, то в этом случае в системе (4.1) будет достаточно быстро устанавливаться одноча стотный релаксационный колебательный режим (4.2).
Предположим теперь, что на рассматриваемую релак сационную систему воздействуют малые возмущающие силы, характеризующиеся функциями еХ * (vt, х, е), 2л-периоди- ческими по vt и достаточное число раз дифференцируемыми
§ 4. В Л И Я Н И Е МАЛОГО В О З М У ЩЕ Н ИЯ |
195 |
по X и е в области |
|
R X ßp„ X ^е0, |
(4-3) |
где DРо — р0-окрестность |
решения (4.2). |
|
|
В результате придем |
к рассмотрению уравнения вида |
||
|
*L = X (x)+ eX *(vt, X, е), |
(4.4) |
|
где |
X, X, X* — гс-векторы, е — малый |
положительный |
|
параметр. |
|
|
|
Исследование частных решений уравнения (4.4) в окрест |
|||
ности |
решения (4.2) значительно облегчается и может быть |
||
проведено достаточно подробно, если мы найдем для урав нения (4.4) интегральное многообразие St и исследуем
решения на |
этом многообразии. |
|
|
Для дифференциальных уравнений (4.4) при выполнении |
|||
условий, приведенных в гл. Ill (стр. 99—100), |
существует |
||
устойчивое |
однопараметрическое |
интегральное многооб |
|
разие S t, представимое в виде |
|
|
|
X = *°(Ф) + -J- (Ѳ ( Ф ) /« Ф\ е) + |
Ѳ (Ф )/« |
Ф, е)}, (4.5) |
|
где / (vt, ф, в), / (vt, ф, е) — комплексно сопряжены, Q (ф) —
— ln X (« — 1)]-матрица, элементы которой являются 2лпериодическими функциями ф.
На многообразии S, исследование уравнения (4.4) сво дится к исследованию уравнения относительно скалярной переменной ф:
~ = а>+ Р (vt, ф, f (vt, ф, в), е) = со -f &F (vt, ф, е), (4.6)
где F (vt, ф, е) — периодическая функция vt и ф с перио дом 2л.
Применим для исследования уравнения (4.6) метод усреднения.
2. Первое приближение. Исследуем уравнение (4.6)
в резонансном случае, т. е. в предположении, что о близко к ~ ѵ , где р и q — целые, вообще говоря, небольшие, взаимно простые числа.
Тогда, полагая |
|
|
со = |
V ф- еД |
(4.7) |
Т
