Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 248
Скачиваний: 1
196 ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К ИСС ЛЕД ОВАН ИЮ Р Е Ш Е Н И Й
и вводя новую |
переменную |
|
|
|
|
= |
|
|
( 4 -8 > |
можем записать |
уравнение (4.6) |
в стандартной |
форме |
|
7 Г = е{л + F [vt, # + - £ - < |
в і| - |
(4.9) |
||
Согласно принципу усреднения, первым приближением |
||||
к решению уравнения (4.9) будет |
|
|
|
|
|
Ф = Ф , |
|
|
( 4 . 1 0 ) |
где О определяется из уравнения |
|
|
|
|
= |
гД + М jeF (vt,О + |
|
(4.1 і> |
|
(здесь символом |
tМ, как и обычно,обозначаем |
операцию |
||
усреднения по явно содержащемуся времени). |
|
|||
Запишем уравнение (4.11) в явном |
виде. Для этого |
|||
разложим функцию F [vt, О + |
е| |
в ряд |
Фурье: |
|
Очевидно, что выражение М j/71'vt, О -J- |
ѵ/, ejj бу- |
дет отлично от нуля только в том случае, если выполняется соотношение
— т 4 - п = 0, |
т. е. -j- = |
— |
(п, т = |
± |
1, ± |
2, ...). |
|
В этом случае имеем |
|
|
|
|
|
||
М [FIvt, |
# + Ч |
vt, 8)1 = F ^ e r W + |
F -P,qeW ] |
||||
M V |
q |
|
11 |
|
|
|
|(4.13) |
(p — n, |
q = — m; |
p ~ — n, q = m) |
|
|
|||
или, переходя к действительным функциям, |
|
|
|||||
М If [vt, |
vt, e )I = |
Apacos (qb + |
Ър„), |
(4.14) |
|||
где 'дрд — постоянная. |
|
|
|
|
|
|
|
§ 4. В Л И Я Н И Е МАЛОГО В ОЗ М УЩ Е НИ Я |
197 |
Таким образом, |
если |
|
то уравнение (4.6) |
вырождается в следующее: |
|
|
|
|
~ |
= еД, |
(4.15) |
откуда |
|
(ф = |
const), |
Ф = eAt + ф |
|||
или, согласно (4.7) |
и (4.8), |
|
|
|
тр = |
at + ф. |
(4.16) |
Подставляя значение ф из (4.16) в выражение (4.5), имеем
X = х° (at + ф) +
+ -і- (Ѳ (at + ф) f (vt, at + ф, e) + Ѳ (at + ф) / (vt, at + Ф, e)}.
(4.17)
Замечая, что / (vt, a t + ф. e), вообще говоря, величина малая (порядка е), можем резюмировать следующее.
Если |
то |
в первом приближении |
решение |
уравнения |
(4.4) будет иметь вид |
|
|
|
X = |
х° (at 4~ ф), |
(4.18) |
т. е. будет таким же, как если бы на систему не воздейст вовали внешние возмущающие силы еХ* (vt, х,г). Воздей ствие этих сил мы можем обнаружить при рассмотрении улучшенного первого приближения
X = х° (at + ф) +
+ ~2 іѲ |
+ Ф) /і « |
+ |
ф) + |
Ѳ И + ф) /і « |
+ Ф)}- |
|
|
|
|
|
(4.19) |
Здесь влияние внешнего возмущения сказывается в |
|||||
появлении |
слагаемого |
|
|
|
|
~2 ~{® (°^ + ф) /х (vt, |
+ |
ф) + |
Ѳ (at -f- ф) /х (vt, at 4- ф)|, |
||
|
|
|
|
|
(4.20) |
характеризующего наличие гармоник с частотами возму щающей силы, а также высших и комбинационных гармоник.
Рассмотрим теперь случай, когда
Р________ п_
ц |
т |
' |
198 |
ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е |
К |
ИСС Л ЕД О ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Й |
|
||
и, следовательно, |
уравнение |
(4.6) принимает вид |
|
|||
|
|
— |
= еД + |
sApq cos (q® + $РЧ) |
(4.21) |
|
или, |
учитывая |
(4.7), |
|
|
|
|
|
_ ^ |
= |
ю _ -£ -ѵ + |
еЛ„со8(<7Ф + Фи ). |
(4.22) |
|
Уравнение (4.22) интегрируется в квадратурах, однако характер его решений можно обнаружить и не прибегая
кинтегрированию.
Пусть
со — |
Р_ |
< \гА PQ |
(4.23) |
|
я |
|
|
Тогда, как известно, существуют постоянные решения уравнения (4.22) й = üt-, являющиеся корнями уравнения
F{p) — со---- V -f- гАрЧcos (дЪ ЪРЧ) — 0. |
(4.24) |
Для исследования устойчивости этих решений составля ем уравнение в вариациях
= — eqApg sin (q&{ + &pq) б#£, |
(4.25) |
согласно которому устойчивыми будут те корни Ф<( для ко торых
АРдsin (qfti + |
f)'pg) > |
0, |
(4.26) |
и неустойчивыми — те, для которых |
|
|
|
Ардsin (qft( + |
Ърд) < |
0. |
(4.27) |
Итак, если выполняется условие (4.23), решения урав нения (4.4) с течением времени приближаются к установив шимся решениям вида
X = X ° [ - ^ - v t -\г |
+ |
|
|
+ 4 - (ѳ ( т v t + |
f (vt - T |
v t + ^ e) + |
|
+ Ѳ (у |
vt + |
j f [vt, |
~ v t + $ h ej}, (4.28) |
где dt- — один из устойчивых корней уравнения (4.24).
§ 4. В Л И Я Н И Е МАЛОГО В ОЗ М У ЩЕ Н И Я |
199 |
Такое явление квазисинхронизации (мы добавляем при- • ставку «квази», так как здесь синхронизация может быть только приближенная, если пренебречь слагаемыми поряд ка е) будет наблюдаться только при выполнении условия (4.23), т. е. в случае, если частота внешней силы ѵ лежит Внутри резонансной полосы
|
-t-(ü — eAMq < v < -l-ü > + eApqq. |
(4.29) |
|||||
Пусть теперь условие (4.23) не выполняется. Тогда, |
|||||||
интегрируя уравнение |
(4.22), получаем |
|
|||||
|
/==-Ür + |
4 - f W |
+ |
#0’ |
(4-30) |
||
где / (0) — периодическая |
функция |
Ф с периодом 2л, |
|||||
|
|
р |
|
|
|
о2Д2 |
|
|
а = ко |
|
|
|
6 А РЧ |
(4.31) |
|
|
q |
! V |
4 |
(со —pv/q)2 |
|||
|
|
|
|||||
Из |
(4.30) находим |
|
|
|
|
|
|
|
б = а (t — Ф0) -Ь F (а {t — Ф0)), |
(4.32) |
|||||
где F (ß) — периодическая функция |
ß с периодом 2л. |
||||||
Учитывая введенное обозначение (4.8) и пренебрегая |
|||||||
величинами второго порядка малости, находим |
|
||||||
ф = |
и (е) t -f F |
|
|
|
|
|
(4.33) |
причем |
со (е) = со, |
ѵ (е) = |
ѵ при |
е = 0. |
когда не |
||
Таким образом, |
в |
рассматриваемом случае, |
|||||
выполняется условие (4.23), решение уравнения (4.4) будет
иметь |
следующий |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
х = х |
со (е) t -j- |
F w (g) — ~ |
V(£)) * + |
- у |
Ф о ) + |
4>o| + |
|||
+ |
|
со (в) t + |
F ((и (в) — |
у ѵ ( е ) ) і / + у ф |
0) + Фо^ |
X |
|||
|
|
X f(vt, со{г)1 + |
F |
(•*■) + ф0, е) + |
|
|
|||
+ |
Ѳ |
со(е) t + F Цсо(е)---- £-v(e)Jf + -^-ф0) + ф 0| X |
|||||||
|
|
|
X / « |
со(е)t |
+ F (• • •) |
+ ф 0, е)|. (4.34) |
|||
