Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 247

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

200 ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К ИСС ЛЕД ОВАН ИЮ Р Е Ш Е Н И Й

Рассматривая первое слагаемое, стоящее в правой части (4.34), видим, что в данном случае уже в первом неулуч­ шенном приближении решение уравнения (4.4) будет квазииериодическим с двумя основными частотами: с частотой

о) (е) — измененной собственной

частотой, и

с частотой

со (е)---- рѵ-

 

(е),

представляющей

разностный

тон

между

измененной

 

собственной

частотой

и

—---- тоном внешней

частоты.

 

 

 

 

 

 

 

 

Я

 

 

 

 

 

приближение.

Рассмотрим вначале

случай,

3.

Второе

когда

7

 

т . Тогда

 

 

 

 

 

 

(4.35)

где

 

 

 

й

=

fr

-f-

EU (6-, t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш ( # ,

t) = = е

 

 

 

F„

eim®

 

i ( nvt+m— V/

(4.36)

 

У .

 

 

m

V

e

V

4

 

 

 

п,т

i (nv +

m —

 

 

 

 

 

 

 

п+т— ф0

 

 

 

P

\

 

 

 

 

 

 

 

 

\

 

я

!

 

 

 

 

а Ф должно быть определено из уравнения второго

прибли­

жения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dS

л

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~3Г =

сл +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ е‘ М

п,т

 

 

\

те1т»

/(nvc+miw) El

 

 

 

t

 

і^пѵ + т — ѵ

 

 

 

 

 

 

 

п+т —

фО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

___ . • ÄH

 

1КѴ/+ — SV/1

 

 

 

 

 

 

feä

 

 

 

 

 

 

 

V

isetb®Fr se

\

i

' . (4.37)

 

 

 

 

 

 

 

r,s

 

 

 

 

 

или.из уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

: еД +

е2у,

 

 

 

(4.38)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

трп,т '

F—n,—m

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

(4.39)

 

 

 

п,т

 

nv + т— V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я

 

 

 

("+ т m^°)

§ 4. В Л И Я Н И Е МАЛОГО В О З М У ЩЕ Н ИЯ

201

Интегрируя уравнение (4.38) и учитывая обозначение (4.8), находим

Ф — (^со------- V + b3y j / + ер,

( 4 . 4 0 )

где ф — произвольная постоянная.

Подставляя (4.40) в выражение (4.35) и принимая во

внимание формулу

(4.9),

получаем

ф = (со + е2у) t +

ф +

ей

---- 2_v + eayj t + ф, t) (4.41)

или, учитывая (4.36), с той же степенью точности имеем

ф = (со +

е2у) t +

 

р

 

 

+

ф + е

У,

(4.42)

-гг----g«'l.nv(+m «а+Е»ѵ )/+<р]

1

т

'

4U

I (/IV -f- та)

'

'

 

 

 

п , т

 

 

 

n + tn —Q ф О

Итак, во втором приближении решением уравнения

(4.4) в

нерезонансном

случае

будет

 

 

д: =

л;0(ф) -f

{Ѳ (ф) ft (vt,

ф) +

Ѳ (ф) /\ (vt, ф)},

(4.43)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф=хЙ/ +

Ф +

е

 

У

 

 

е‘^пѵІ+'пШ+^,

(4.44)

 

 

 

 

п5?

‘ («ѵ + та>)

 

 

 

 

п +

т

S - ф О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

при этом, с

принятой

нами

точностью,

 

 

£2 =

 

 

т,п

mFп,т

. F~п,—т

(4.45)

 

 

 

 

(пѵ

ф та)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п- -т ~ фО

 

 

 

Из выражения (4.43) видно, что в нерезонансном случае

стечением времени в системе установятся асинхронные колебания с двумя основными частотами £2 и ѵ.

Изменение фазового угла ф будет состоять из вращения

сугловой скоростью £2, на которое налагаются колебания ей ($, t) с малыми амплитудами и частотами (пѵ -f- m£2).

202 г л . IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К И СС ЛЕ ДОВАН ИЮ Р Е Ш Е Н И Й

Пусть теперь имеет место соотношение — ---- ^-, где

п и т — целые, взаимно простые числа. Тогда, составляя уравнения второго приближения, можем либо уточнить по­ ложение и ширину резонансной зоны, значение изменен­ ной собственной частоты асинхронных колебаний и т. д., либо обнаружить дополнительные резонансные зоны, не на­ блюдаемые в первом приближении.

Итак,

 

пусть

 

= ----.

Раскладывая

функцию

F (ѵ£, ft +

 

vt, ej в ряд Фурье, имеем

 

 

 

 

 

 

 

F

е

[nvl+mfiw+oj]

 

i\n,t+*Uvt+«

 

 

 

 

1п,тс

-

-----------

V isFr,se 1

' ’

 

 

п,т

 

 

і

пѵ + т---V

 

 

 

 

п+т+

Р

1

 

V

<7

 

 

 

 

 

 

=ÄOJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г s v H - 6 ( —

v H - < H

 

 

 

 

 

 

 

 

V ф 50е

U

•

(4.46)

Для определения Ф во втором приближении получаем

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

а

е Д

+

егу +

е [Fp,—qS

‘4® +

F ^ p<qeiq®] +

 

 

или

 

 

 

 

 

 

+

е2 [ФРі_,е-М> + Ф_р.,<?'9*]

(4.47)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ З Г

=

еА +

E*V +

l’APqC0S (Я® +

ftPC) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

e2Bpqcos (q$ -f фр?).

(4.48)

Если

APfq

Ф 0,

T. e.

если

п и т

таковы, что уже в

первом приближении можем обнаружить резонанс и про­ анализировать его и, кроме того, Вм Ф 0, то с помощью уравнения (4.48) можем уточнить полученную ранее ре­

зонансную зону

(4.29).

 

Если же Ap,q

= 0, a BPiq Ф 0, то получаем уравнение

да

еД -f t2y + &ВР'Яcos (q$ + фР9),

(4.49)

—- »

при помощи которого можем построить зону синхронизации, обнаруживаемую только во втором приближении.

§ Б. И С С ЛЕ ДО ВА Н ИЕ К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й 203

§ 5. Исследование квазипериодических решений нелинейных дифференциальных уравнений

1.Квазипериодические режимы в нелинейных системах.

Впредыдущих параграфах мы изложили результаты, от­ носящиеся к исследованию структуры решений на одно­ параметрических и двупараметрических интегральных мно­ гообразиях. В настоящем параграфе будут рассмотрены многообразия высших размерностей.

Изложим вначале результат Н. Н. Боголюбова *), от­ носящийся к исследованию структуры решений на ш-мер- ном тороидальном многообразии, когда исходное уравнение

 

=

е),

 

 

 

(5.1)

где X, X — (я -(- яг)-векторы,

сводится

на

многообразии

St к яг-уравнениям

 

 

 

 

 

 

= V +

Я(ф, ѵ),

ѵ = (ѵ1(

. . . ,

v j.

(5.2)

Вместо уравнения (5.1) будем рассматривать эквивалент­

ные ему уравнения специального вида

 

 

<

 

J*L = Hh + Q(ф, h, г),

 

 

 

 

■$- = ѵ + Р (Ф> А, е),

 

 

 

(5.3)

 

 

 

 

где h, Q и cp, Р — соответственно я-

и

m-векторы,

Я —

(я X я)-постоянная

матрица,

спектр

которой располо­

жен в левой полуплоскости.

 

 

 

 

 

Прежде всего преобразуем уравнения (5.3). Введем

поправку на частоту А по формуле А =

ѵ — со, где

со —

истинные частоты системы. Тогда вместо системы уравне­ ний (5.3) придем к рассмотрению уравнений

= Hh -f- Q (cp, h, А, е),

~dj~ — ® + А + Р (ф, h, А, е),

) Подробное изложение результата см. в [14], а также [22].

204 гл.

IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ РЕШЕНИЙ

где Q (ф,

/г, А, е), Р (q>, h, А, е) — аналитические функции

в области

 

 

 

 

||/г||<ті, I Im ф

і - С р, |Д |< ст,

0 < е < е 0,

 

2л-периодические по

ф; частоты ш =

(<й1( , сот)

вещест­

венны и удовлетворяют условиям

 

 

\{k,w)\>K\k\-(m+1)

(|/г|^0,|/г|Н М +

+|fe«|).

 

 

 

 

(5.5)

Требуется подобрать такое А, при котором уравнения (5.4) с помощью некоторой замены переменных свелись бы к уравнениям

-$L = Hh + Q(Ф, А, е),

Доказав затем для уравнений (5.6) существование инвариант­

ного тороидального

многообразия

St,

Н.

Н. Боголюбов

доказывает существование

квазипериодического

решения

исходной системы уравнений.

 

 

 

 

Имеет место следующая

теорема.

 

 

 

Т е о р е м а

5.1. Пусть относительно уравнений (5.6)

выполняются следующие условия.

 

*)

 

 

1 °. Функция Q (ф,

h, е)

в области

 

 

Ц/гЦС-щ

|ІШ ф |< р ,

0 <

е С е0,

(5.7)

удовлетворяет

неравенствам

 

 

 

 

(|Ф(ф, h, е)[|<;УѴ

И дО (ф, h, е)

II

(5.8)

n[

-щ

- L [< L .

где n, р, N , L — некоторые постоянные, при этом, N/a <; т],

L -< а/2.

2°. Спектр матрицы Н не пересекается с мнимой осью и расположен слева от нее, и, следовательно, выполняется

неравенство

 

\eHt\ < Р е~ а‘,

(5.9)

 

 

где Р = const >

1,

і > 0, а >

0.

 

*) II /і I = sup

I eHthk I ea t,

где

| eHt | <

Pe~a‘, t > 0,

k=i, .... n

 

 

 

 

 

0S«oo

а

> 0, P =

const > 1.

 

 

 

Смотрите также файлы