Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 251
Скачиваний: 1
§ 5. И С С Л ЕД О ВА Н ИЕ К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И И 205
Тогда система уравнений (5.6) допускает существова ние единственного тороидального интегрального многообра зия S t:
h ~ f ( ф), |
(5.10) |
где *) f (cp) — периодическая функция с периодом 2п, удов летворяющая неравенству
ІІ/(ф )[|< 4 _ |
для |
і ігпф ! < р- |
(5.і і ) |
||||||
Если для любого решения, не лежащего на многообразии, |
|||||||||
начальные значения hti, ф0 |
удовлетворяют условиям |
|
|||||||
|
І І Ч І К 1- |
|
|
|
| І п і ф 0| < р , |
|
|||
то для любого t >• t0 выполняется неравенство |
|
||||||||
\ h t — |
/ ( ф / ) I С |
2г]е |
- Т |
' |
t |
> |
0 |
( 5 Л 2 > |
|
|
* |
, |
|||||||
при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|А /І<Л , |
|
|
* > 0 . |
|
решение |
ин |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим |
||||||||
тегрального уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
h /= |
j e H V ~ x)Q ( y |
+ |
ют, hx, e) d r , |
(5.13) |
|||||
|
—©о |
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющее дифференциальному уравнению (5.6). |
|||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
h t = |
f ( ф + |
|
соО- |
|
|
( 5 . 1 4 ) |
||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( ( p + ( n t ) = |
( е н ( , - T ) Q ( ф + |
с о т , f ( ф + |
с о т ) , е ) d x . |
( 5 . 1 5 ) |
|||||
Произведем в (5.15) замену |
переменных |
|
|
||||||
|
Ф —>■ ф — (at, |
|
t — |
т = |
г. |
|
|
||
В результате вопрос о существовании искомого инте грального многообразия (5.10) сводится к рассмотрению уравнения
оо |
|
/(ф) = i eH*Q(q> — ш, f(qj — (oz), г) dz. |
(5.16) |
о |
|
*) В дальнейшем для простоты зависимость функции f (<р) от в указывать не будем.
80Ѳ ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К И СС ЛЕ ДОВАН ИЮ Р Е Ш Е Н И Й
Решение уравнения (5.16) ищем с помощью обычного
итерационного |
процесса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
/о (Ф) = |
°> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ і ( ф ) |
= |
I |
e Il2Q ( ф |
— |
Ö 2 , |
0 , е ) |
dz, |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.17) |
|
|
|
©о |
|
|
|
|
|
е) dz. |
|
|
|
fs+i ( ф ) = |
j eH2Q ( ф |
— (ог, Д ( ф |
— (0 2 ) , |
|
|
|||||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая |
неравенства (5.8), имеем |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І/і(ф )1<^Іе-0В^ = 4 < г і - |
|
|
(5Л8> |
||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Допустим, что для всех /, ( ф ) |
(г = |
1 |
, , |
s) выполняется |
||||||||
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.19) |
Докажем |
его справедливость для г = s -f- |
1. Так |
как |
|||||||||
|
I/.(ф )I< % I I m ( ф — ( o z ) I = |
IІ ш ф I < р , |
|
|
||||||||
ТО |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
SД+і (ф) II < |
W Je~°*dz = |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
, Установим |
сходимость |
последовательностей |
Д. |
Для |
||||||||
бтого рассмотрим разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
fs+i (ф) — |
Д( ф ) = |
J |
{Q(ф — (02, Д (ф — (02), е ) — |
|
|
|||||||
|
|
|
О |
|
8 )}d2 |
|
|
|
|
|
|
|
— Ф(ф — |
(02, Д_і(ф— сог), |
|
( s = l,2 , ...). |
(5.20) |
||||||||
Принимая во внимание оценку |
ÖQ (ф, h, е) |
•<Т, |
находим |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dh„ |
|
|
|
|
|| / и - і ( ф ) |
— Д ( ф ) I< |
J |
|
( фIIД— <М ) |
— Д -1 ( Ф — |
(0 2 |
) II dz. |
|||||
(5.21)
§ 5. ИСС ЛЕ ДО ВА Н ИЕ |
К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й 207 |
Пусть |
|
sup |
|/,(X )-/,_ i(X )|| = Dg. |
I Imx I s;p |
|
Тогда |
|
D S+ I < ~ D S < - L D s.
Таким образом, имеем
° * < 4 ( - г Г ' ' |
<5-22> |
откуда следует равномерная сходимость последовательности /, (Ф);
/5(ф)->-/(ф) в области |1 ш ф |с р . |
(5.23) |
Остановимся теперь на доказательстве неравенства (5.12), характеризующего свойство притяжения многообразием ^траекторий любых решений, не лежащих на нем, для ко торых ||/і0| < і] , j Im фо I < р.
Подставляя значение h — f (ф < af) в уравнения (5.6), получаем
■+ ^ . = Hf (ф + соt) + Q (ф + cot, f (ф + со*), е). (5.24)
Пусть |
h = |
h0 удовлетворяет |
неравенству |
|
|
|
1*1 <ті- |
|
|
Тогда |
из |
выражения |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
ht = j ен (,_T)Q (ф -f- сот, hx, е) dx -f- eHth0 |
(5.25) |
|
видно, |
|
о |
|
|
что |
|
|
||
|
|
II hi (I < т], |
t> 0. |
(5.26) |
Действительно, |
|
|
||
И М < <?-а1*оі + — і ---- N <Се~аіУ]+ л(1 — e~at) < |
r\. |
|||
Далее |
имеем |
|
|
|
■ ^ - = Hht +Q(<p + a t , h t,e). |
(5.27) |
208 |
ГЛ. |
IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К ИСС ЛЕ ДО ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Й |
|||
|
Вычитая из уравнений (5.27) уравнения (5.24), по |
||||
лучаем |
|
|
|
|
|
|
|
Ю-- ■= |
H(ht — f (ф + со0) + Q(Ф + ©/, ht, е) — |
||
|
|
|
— Q (ф 4- чЛ, /(ф + со/), е). |
(5.28) |
|
|
Разрешая систему уравнений (5.28), находим |
|
|||
А/ — /(Ф + |
со/) = ені (h — / (ф)) + |
|
|
||
|
I |
|
|
|
|
+ |
j em t- я /<2 (ф |
о)Ті /гХ) е) — Q (ф + |
сот, /(ф + сот), в)} dx. |
||
|
|
|
|
|
(5.29) |
|
Отсюда |
после |
мажорации правой |
части получаем |
|
|
|
|
t |
|
|
Ih, — /(ф + с о / ) I < е ~ “'2г) 4- I e~a {t~x)L | hx— /(qp+ |
сот) | dx |
||||
или |
|
о |
|
|
|
|
IА/ — / (ф + со/)J C G (/), |
(5.30) |
|||
где |
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
t |
|
|
|
|
G(/) = |
eat2r\ + L J e _ a ('~T)G (T ) C/T , |
(5.31) |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
G(0) = |
2 T ). |
|
|
Дифференцируя выражение (5.31) по / как по параметру, получаем
-^G = — aG+LG = — (a — L)G. |
(5.32) |
||||
Принимая во |
внимание, что |
a — L >- a ---- ~ = |
|
||
G (0) — 2rj, из уравнений |
(5.32) |
находим |
|
||
G(/) = 2-пе- <вг- А) 4< |
2г)е |
2 . |
(5.33) |
||
Сопоставление неравенств |
(5.30) и |
(5.33) дает нам требуе |
|||
мое неравенство |
__ |
_ |
|
|
|
IА* — / (ф ~Ь со/)IIС 2т]е 2 |
, |
(5.34) |
|||
что и завершает доказательство теоремы.
§ 5 . ИСС ЛЕ ДО ВА Н ИЕ К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й ' |
209 |
П р и м е ч а н и е 5.1. Если Н — вещественная |
мат |
рица, Q (ф, h, е) — вещественная функция при веществен ных ф, h, е, то и функция f (ф) — вещественная при ве щественных ф.
Возвратимся к рассмотрению уравнений (5.4). Для отыскания Д = (Д1( ... , Am) и нахождения искомого пре образования ф, h Ѳ, h, приводящего уравнения (5.4) к виду (5.6), Н. Н. Боголюбовым построен итерационный процесс с ускоренной сходимостью. Доказана законность замены
Ф = Ѳ+ 0>(OQ>(Ѳ, h, 0), |
(5.35) |
|
посредством которой при Д = |
система уравнений |
(5.4) |
приводится к системе (5.6), правые части которой удовлет воряют условиям теоремы 5.1 *).
Согласно теореме |
5.1 система уравнений (5.6) обладает |
квазипериодическим решением с частотами со вида |
|
ft = f (ѳо + |
І Л К д г ПРИ |Іт Ѳ 0| < - | - . (5.36) |
Тогда, согласно формулам (5.35), приходим к заключе
нию, что для системы уравнений (5.4) при Д = Di00* суще ствует квазипериодическое решение вида
Ф = Ѳ0 4* |
)(Ѳо Т" |
f (Ѳо ю^)» 0), h ~ f (Ѳ0 |
(5.37) |
|
|
|
|
Заметим, что преобразование (5.35) обратимо в области |
|||
|
||A ||< J - , |
ІІШ ф К - f (1 — -^F ) , |
(5.38) |
поэтому |
можем написать **) |
|
|
|
Ѳ = |
ф -f ф (ф, К). |
(5.39) |
Покажем теперь, что квазипериодическое решение (5.37) обладает свойством притяжения близких к нему решений.
Рассмотрим решения ф*, ht уравнений (5.4), началь ные значения которых ф0, h0 принадлежат области (5.38). Принимая во внимание утверждения теоремы 5.1, по лучаем следующие оценки, обеспечивающие притяжение
*) Подробное описание итерационного процесса и определение функций Ф(оо>, D(1K,) см. [14], а также [22].
**) Доказательство этого утверждения см. в [22].
